第13-16课时三角问题的题型与方法

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第13－16课时 课题：三角问题的题型与方法

一．复习目标：

1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等．

2．熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等．并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明．

3．掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题． 4．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质． 5．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、

6．理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．

二．考试要求：

1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。

2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。

3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用―五点法‖画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图，理解A、ω、ψ的物理意义。

6．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x表示。

7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题。

三．教学过程： （Ⅰ）基础知识详析

（一）三角变换公式的使用特点

1．同角三角函数关系式 (1)理解公式中―同角‖的含义． (2)明确公式成立的条件。

例如，tanα+1=secα，当且仅当?≠k

22

(3)掌握公式的变形．特别需要指出的是 sinα=tanα·cosα， cosα=cotα·sinα．它使得―弦‖可以用―切‖来表示．

(4)使用这组公式进行变形时，经常把―切‖、―割‖用―弦‖表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法．

(5)几个常用关系式

①sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示．)

同理可以由sinα-cosα或sinα·cosα推出其余两式．

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??????②1?sin???1?sin?． ③当x??0,?时，有sinx?x?tanx．

2??2??2．诱导公式

(1)诱导公式中的角是使公式成立的任意角． (2)正确使用诱导公式的关键是公式中符号的确定． (3)sin(kπ+α)=(-1)ksinα；cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)． ⑷熟记关系式sin?x?2????????????????；?cos?x?cosx?cosx??sin?????????x?．

4?4?4??4????4?3．两角和与差的三角函数

(1)公式不但要会正用，还要会逆用． (2)公式的变形应用要熟悉． 熟记：tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanα·tanβ)，它体现了两个角正切的和与积的关系．

(3)角的变换要能灵活应用，如α=(α+β)-β，β=α-(α-β)，2α=(α+β)+(α-β)等． 4．倍角公式，半角公式

(2)使用二倍角的正弦、余弦公式时，公式的选择要准确． 如已知sinα，cosα，tanα求cos2α时，应分别选择cos2α=1?

(3)余弦的二倍角公式的变形——升幂公式、降幂公式必须熟练掌握．要明确，降幂法是三角变换中

非常重要的变形方法．

对sin3α，cos3α的公式应记住．

(4)使用正弦、余弦的半角公式时，要注意公式中符号的确定方法．正

在使用无理表达式时，须要确定符号；在使用两个有理表达式时，无须确定符号，这是与选用无理表达式最大的区别，因此在化简、证明题中，

5．和差化积、积化和差公式，这两组公式现在不要求记忆，但要会使用． (1)要明确，这两组公式是解决正、余弦的加、减、乘的运算关系式．

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(3)对下列关系式要熟记：

6．三角变换：

三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．

三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础．

三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决．

7．三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点． (1)角的变换

因为在△ABC中，A+B+C=π，所以

sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC．

(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理．

r为三角形内切圆半径，p为周长之半．

在非直角△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC． (4)在△ABC中，熟记并会证明：

∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°．

△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列． 8．三角形的面积公式：

111aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）． 222111（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB．

222a2sinBsinCb2sinCsinAc2sinAsinB（3）△＝＝＝．

2sin(B?C)2sin(C?A)2sin(A?B)（1）△＝

（4）△＝2R2sinAsinBsinC． （R为外接圆半径） （5）△＝

abc． 4R金榜试题

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（6）△＝s(s?a)(s?b)(s?c)；?s?（7）△＝r·s．

9．直角三角形中各元素间的关系：

如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a．

2

（1）三边之间的关系：a＋b2＝c2．（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）

??1?(a?b?c)?． 2?ab，cosA＝sinB＝， ccabtgA＝ctgB＝，ctgA＝tgB＝．

basinA＝cosB＝

10．斜三角形中各元素间的关系:

如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边．

（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π．

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

abc???2R sinAsinBsinC（R为外接圆半径）

（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．

a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC． （4）射影定理：a＝b·cosC＋c·cosB，

b＝a·cosC＋c·cosA， c＝a·cosB＋c·cosA．

11．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形．

解斜三角形的主要依据是：

设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C． （1）角与角关系：A+B+C = π，

（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b． （3）边与角关系：

正弦定理

余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA．

abc． ???2R（R为外接圆半径）

sinAsinBsinCb2?c2?a2sinAa它们的变形形式有：a = 2R sinA，． ?，cosA?2bcsinBb（4）面积公式：

S??111111aha?bhb?chc?absinC?acsinB?bcsinA． 222222解斜三角形的常规思维方法是：

（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b．

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（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角．

（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．

（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C． （二）三角函数性质的分析

1．三角函数的定义域

这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在y轴上的角．

函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角．

(2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 2．三角函数的值域

(1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是|cscx|≥1、|secx|≥1．

(2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域．

常用的一些函数的值域要熟记．

③y=tanx+cotx∈(-∞，-2]∪[2，+∞)． 3．三角函数的周期性

(1)对周期函数的定义，要抓住两个要点：

①周期性是函数的整体性质，因此f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个x成立时，非零常数T才是f(x)的周期．

②周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值．

因为sin(2kπ+x)=sinx对定义域中任一个x成立，所以2kπ(k∈Z，k≠0)是y=sinx的周期，最小正周期是2π．

同理2kπ(k∈Z，k≠0)是y=cosx的周期，最小正周期是2π．

因为tan(kπ+x)=tanx对定义域中任一个x成立，所以kπ(k∈Z，k≠0)是y=tanx的周期，最小正周期是π．

同理kπ(k∈Z，k≠0)是y=cotx的周期，最小正周期是π．

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解法二：∵sin3α≤sin2α,cos3α≤cos2α ∴sin3α+cos3α≤sin2α+cos2α=1

3??sin??sin?等号当且仅当?时成立， 3??cos??cos??sin??0?cos??0或? ??cos??1??sin??1∴sinα+cosα=sin4α+cos4α=sin6α+cos6α=1 说明：（1）凡是遇到sinx+cosx与sinx·cosx类的问题，均应采用换元法，令sinx+cosx=t，得

t2?1sinx·cosx=。

2（2）三角中的恒等变形与初中所学整式的恒等变形结合是解本题的关键所在。

－－

（3）本题还可推广到一般情形：若k≥2且sin2k1α+cos2k1α=1，则sinα=1，cosα=0或sinα=0,cosα=1，若sin2kα+cos2kα=1，则sinα=±1，cosα=0或sinα=0,cosα=±1。

??),若x1，x2∈(0,),且x1≠x2,证明： 22x?x21[ f(x1)+ f(x2)]>f(1) 22sinx1sinx2sinx1?cosx2?sinx2?cosx1证明:tanx1+ tanx2=+=

cosx1cosx2cosx1?cosx22sin(x1?x2)?= ∵x1,x2∈（0，），且x1≠x2

2cos(x1?x2)?cos(x1?x2)例6、设f(x)=tanx,x∈(0,

∴2sin(x1+x2)>0,cosx1·cosx2>0,0

从而有0

x?x22sin(x1?x2)=2tan1

21?cos(x1?x2)?sin?另证：以上是采用化弦，放缩后利用公式tan=加以证明的，也可以利用正切的和差角公式加

21?cos?∴tan x1+tanx2>以证明。

121=21=21=2=

x?x21[tanx1+tanx2]－tan1 22x?x2x?x2 [tanx1－tan1+tanx2－tan1]

22x?x2x?x2x?x2x?x2[tan(x1－1)·(1+tanx1·tan1)+tan(x2－1)·(1+tanx2·tan1)]

2222x?x2x?x2x?x2tan1·(1+tanx1tan1－1－tanx2·tan1)

222x?x2x?x2x?x2x?x2?tan1tan1(tanx1－tanx2) ，∵1∈(0, ) ∴tan1>0

22222x?x2x?x2又∵tan1和tanx1－tanx2在x1>x2时，同为正，在x1

22左边－右边=综上

tanx2）>0。

x?x2x?x2x?x211tan1tan1·(tanx1－tanx2)>0，即[f(x1)+f(x2)]>f(1) 22222说明：在三角函数恒等式、条件等式、不等式证明中，常采用化弦法。本题解法一是化弦，了解决把

两个分数的单角转化为和角，同时又使函数值适当缩小。

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例7、如图，A、B是一矩 OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°,OE=1,EF=3，设∠AOE=α.

（1）写出△AOB的面积关于α的函数关系式f(α); （2）写出函数f(x)的取值范围。

解：（1）∵OE=1，EF=3 ∴∠EOF=60° 当α∈[0，15°]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，且AE=tanα,BE=tan(45°+α)

∴f(α)=S△AOB=

1[tan(45°+α)－tanα] 22sin45?== 2cos?·cos(45??α)2cos(2α?45?)?213，OB= cos?cos(45??α)当a∈（15°,45°]时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=∴f(?)=S△AOB=

1163OA·OB·sin45°=··sin45°=

?22cos?cos(45??α)2cos(?2α)?24?2?　　??[0,]??12?2cos(2α?)?2?4综上得：f(α)= ?

6???　　??(,]??124α?)?2?2cos(24?（2）由（1）得：当α∈[0，f(α)=

22cos(2α??41?且当α=0时，f(α)min=；α=时，f(α)max=3－1；

212?????63当α∈(,]时,－≤2α－≤，f（α）=∈[6－3,]

?124124422cos(2α?)?24??3且当α=时，f(α) min=6－3；当α=时，f(α) max=

84213所以f(x) ∈[,]。

22说明：三角函数与其他数学知识有着紧密的关系，它几乎渗透了数学的每一个分支。练习时注意三角函数的综合应用。 例8、 已知函数y=

)?2?]时 121∈[,3－1] 213cos2x+sinx·cosx+1 （x∈R）, 22（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

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解：（1）y=

11133cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx·cosx）+1 24442151??53=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+ 44266441?5=sin(2x+)+ 264所以y取最大值时，只需2x+

所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=（2）将函数y=sinx依次进行如下变换： （i）把函数y=sinx的图像向左平移

???=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。 626?6+kπ,k∈Z}

??，得到函数y=sin(x+)的图像； 661?倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像； 2611?（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图

226（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的像；

（iv）把得到的图像向上平移综上得到y=

51?5个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。 426413cos2x+sinxcosx+1的图像。 22说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=a2?b2sin (ωx+?)+k的形式，二

是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，

1313cos2x?sinxcosx?tanx22y=2+1=2+1 22sinx?cosx1?tan2x化简得：2(y－1)tan2x－3tanx+2y－3=0

∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：∴ymax=

37≤y≤ 447?，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z} 46xxxcos?3cos2. 333 （Ⅰ）将f(x)写成Asin(?x??)的形式，并求其图象对称中心的横坐标；

例9、已知函数f(x)?sin （Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.

12x32x12x32x32x?3 f(x)?sin?(1?cos)?sin?cos??sin(?)?2323232323322x?2x?3k?1?)=0即??k?(k?z)得x??333323k?1?，k?z 即对称中心的横坐标为2由sin(（Ⅱ）由已知b2=ac

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k?z

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a2?c2?b2a2?c2?ac2ac?ac1cosx????，2ac2ac2ac21??2x?5? 即??cosx?1，0?x?，???233339??5???2x?2x?3?|?|?|?|，?sin?sin(?)?1，?3?sin(?)?1?，32923333323f(x)的值域为(3,1?].

2?3综上所述，x?(0,] ， f(x)值域为(3,1?] .

32说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数

值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。

例10、设二次函数f(x)?x2?bx?c(b,c?R)，已知不论?,?为何实数恒有

f(sin?)?0,f(2?cos?)?0. （1） 求证：b?c??1； （2） 求证：c?3；

（3） 若函数f(sin?)的最大值为8，求b,c的值.

s?[1,3]， 又?f(si?n)?0 ， f(2?co?s)?0 恒成立. (1) ?sin??[?1,1]， 2?co??f(1)?0 ， f(1)?0， 即 f(1)?0 恒成立. ?1?b?c?0， 即 b?c??1.

（2）?f(3)?0， ?9?3b?c?0， ?9?3(?1?c)?c?0， ?c?3. （3）由题意可知： f(x)在[?1，1]上为减函数，

?8?f(?1)?1?b?c ①， ?b?c??1 ② ，

由 ① ，② 可得 b = ?4 ,c = 3 .

说明：赋值法在解决有关恒成立问题时经常用到，利用函数的单调性往往能使问题得以顺利解决。

例11、已知函数y?13cos2x?sinxcosx?1(x?R) 22（1） 求函数y的最大值，并求此时x的值.

（2） 该函数的图象可由y?sinx(x?R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：（1） y?131?5cos2x?sinxcosx?1?sin(2x?)?， 22264?7?当x?k??,k?Z时,ymax?；

64（2）将函数y?sinx的图象依次进行如下变换：

??① 把函数y?sinx的图象向左平移，得到函数y?sin(x?)的图象；

661② 把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数

2?y?sin(2x?)的图象；

61③ 把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数

2金榜试题

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1?sin(2x?)的图象； 2651?5④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y?sin(2x?)+的图象；

4264132综上得函数y?cosx?sinxcosx?1的图象.

22y?说明：图象变换是否熟练、准确是解决三角函数问题的关键，要求学生要熟练掌握。

B 例12、化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚？（设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面1.2米）. 1 m 解：如图，CD?2?1.2?0.8，设AD?x，则

BD1?0.81.8tan????，

ADxxCD1.8tan???，

A ADx1.2 m tan??tan??tan??tan(???)?，

1?tan?tan?1.80.8?111x?， ?tan??x??1.80.81.442.41.441??x?2x?xxxx1.44当x?，即x?1.2时，

?? x? A 1tan?达到最大值，?是锐角，tan?最大时， 1.2 m 2.4?也最大，所以值班人员看表盘最清楚的位置为AD?1.2米. C 2 m D B 1 m C 2 m D 说明：欲在表盘看得清楚，人眼距表盘水平距离AD应使视角达到最大。合理利用角的关系，建立目标函数，是本题的关键。

例13、平面直角坐标系有点P(1,cosx),Q(cosx,1),x?[???,] 44（1） 求向量OP和OQ的夹角?的余弦用x表示的函数f(x)； （2） 求?的最值. 解：（1）?OP?OQ?OP?OQ?cos?，

?cosx?cosx?(1?cos2x)cos? 2cosx?cos??1?cos2x2cosx??(??x?) 即 f(x)? 21?cosx441322?[2,]， （2）?cos?? ， 又 cosx?1cosx2cosx?cosx2222s?[,1] ， ??min?0 ， ?max?arccos. ?co?33说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。

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