高一上数学各知识点梳理：反函数

归海木心 QQ:634102564

7、反函数

一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）

1．设函数f(x)＝1－1?x2(－1≤x≤0)，则函数y＝f－1(x)的图象是 （ ） A. y B. y 1 C. y D. y 1 1 x 1 O x

－1 －1 －1 O x O 1 x 2．函数y=1－x?1(x≥1)的反函数是 A．y=(x－1)2＋1，x∈R B．y=(x－1)2－1，x∈R C．y=(x－1)2＋1，x≤1

D．y=(x－1)2－1，x≤1

3．若f(x－1)= x2－2x＋3 (x ≤1)，则f－

1(4)等于

A．2 B．1－2 C．－2 D．2－2 4．与函数y=f(x)的反函数图象关于原点对称的图象所对应的函数是

A．y=－f(x) B．y= f-1(x) C．y =－f-1(x) D．y =－f-1(－x) 5．设函数f?x??x2?4?x??2,4??，则f?1?x?的定义域为

A．??4,??? B．?0,??? C．?0,4?

D．?0,12?

6．若函数y?f?x?的反函数是y?g?x?，f?a??b,ab?0，则g(b)等于 A．a B．a?1 C．b D．b?1

7．已知函数f?x??ax?1x?3的反函数就是f?x?本身，则a的值为 A．?3 B．1 C．3 D．?1 8．若函数f?x?存在反函数，则方程f?x??c?c为常数? A．有且只有一个实数根 B．至少有一个实数根 C．至多有一个实数根

D．没有实数根

9．函数f(x)=－

22·x2?1(x≤－1)的反函数的定义域为 A．(－∞，0］ B．(－∞，＋∞)

C．(－1，1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

10．若函数f(x)的图象经过点(0，－1)，则函数f(x＋4)的反函数的图象必经过点

A．(－1，4) B．(－4，－1)

C．(－1，－4) D．(1，－4)

11．函数f(x)＝

1 (x≠0)的反函数f－1x(x)＝

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（ ）

（ ）

（ ）

（ ）

（ ） （ ）

（ ）

（ ）

（ ）

（ ）

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11 (x≠0) C．－x(x≠0) D．－ (x≠0) xx1b12、点(2，1)既在函数f(x)=x?的图象上，又在它的反函数的图象上，则适合条件的数

aa

A．x(x≠0)

B．

组(a，b)有 A．1组

二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上）

13．若函数f(x)存在反函数f1(x)，则f1[f(x)]=___ ； f[f1(x)]=___ __．

－

－

－

（ ）

B．2组

C．3组

D．4组

14．已知函数y＝f(x)的反函数为f－1(x)＝x－1(x≥0)，那么函数f(x)的定义域为__ _． 15．设f(x)=x2－1(x≤－2)，则f1(4)=__ ________．

－

16．已知f(x)＝f1(x)＝

－

2x?1(x≠－m)，则实数m = ． m?x

三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．（1）已知f(x) = 4x－2x1 ，求f1(0)的值．

＋

－

（2）设函数y= f(x)满足 f(x－1) = x2－2x＋3 (x ≤ 0)，求 f1(x＋1)．

－

18．判断下列函数是否有反函数，如有反函数，则求出它的反函数．

（1）f(x)?x2?4x?2(x?R)； （2）f(x)?x?4x?2(x?2)． （3）y??

19．已知f(x)=

2?x?1,(x?0)

x?1,(x?0)?ax?3 x?1－

（1）求y=f(x)的反函数 y= f1 (x)的值域;

（2）若(2，7)是 y = f1 (x)的图象上一点，求y=f(x)的值域．

－

20．已知函数f(x?1)?x?2x(x?0)，

（1）求f?12(x)及其f?1(x?1)；

（2）求y?f(x?1)的反函数．

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?x?1?21．己知f?x???? (x≥1)，

?x?1?（1）求f?x?的反函数f?1(x)，并求出反函数的定义域； （2）判断并证明f?1(x)的单调性．

22．给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数y?数的图象关于直线y=x成轴对称图形．

2x?1?1??x?R,且x??．试证明：这个函ax?1?a?参考答案

一、选择题： DCCDD ACCAC BA

二、填空题：13.x，x，14.x≥－1，15.－5，16.m＝－2

三、解答题：

－

17.解析：（１）设f1(0)=a，即反函数过(0，a)， ∴原函数过(a，0)．

代入得 ：0=4－2

a

a＋1

，2a(2a－2)=0，得a=1，∴f

?1(0)=1．

（２）先求f(x)的反函数f?1(x)??x?2(x?3),?f?1(x?1)??x?1(x?2)．

18.解析：⑴令y?f(x)?0,得到对应的两根：x1?0,x2?4

这说明函数确定的映射不是一一映射，因而它没有反函数． ⑵由f(x)?x?4x?2?(x?2)?2，得(x?2)?y?2

∵x?2，∴ x?2??y?2,x?2?归海木心 QQ:634102564

222y?2，

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互换x,y得y?2?x?2,

又由f(x)?x2?4x?2(x?2)的值域可得反函数定义域为??2,??), ∴反函数为f?1(x)?2?x?1,x???2,??)． ⑶由y?x?1(x?0)得其反函数为y?x?1(x?1)； 又由y?x?1(x?0)得其反函数为y?x?1(x??1)．

综上可得，所求的反函数为y???x?1(x?1)．

x?1(x??1)?注：求函数y?f(x)的反函数的一般步骤是：

⑴反解，由y?f(x)解出x?f?1(y)，写出y的取值范围； ⑵互换x,y，得y?f?1(x)；

⑶写出完整结论(一定要有反函数的定义域)．

⑷求分段函数的反函数，应分段逐一求解；分段函数的反函数也是分段函数．

19.解析：

（１）反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．∴反函数的值域为{y|y?R,y?1}

（２）∵(2，7)是y=f1(x)的图象上一点，∴(7，2)是y=f(x)上一点．

－

∴7?2a?3?a?22?1?f(x)?2x?32(x?1)?55??2??2, x?1x?1x?1∴f(x)的值域为{y|y≠2}．

20．解析：⑴∵f(x?1)?x?2x?1?1?(x?1)?1(x?0)，

2∴f(x)?x?1(x?1)，其值域为{y|y?0}，

222又由y?1?x(x?1) 得x?∴f?1(x)?2y?1，

x?1(x?0)， ∴f?1(x?1)?x?2(x??1)．

⑵由y?f(x)?x?2x(x?0)，解得x?∴y?f(x?1)的反函数为y?说明：y?f题中有y?f?1y?1?1(y??1)

x?1?1(x??1)．

(x?1)并不是y?f(x?1)的反函数，而是y?1?f(x)的反函数．

?1(x?1)的形式，我们先求出y?f?1(x)，才能求出y?f?1(x?1)．

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21.解析：⑴设y?(1?y1?yx?12)?x?,?x?1,??1?0?y?1， x?11?y1?y即f?1(x)的定义域为?0,1?；

⑵设0?x1?x2?1,?0?x1?x2?1,?f?1(x1)?f?1(x2)?2(x1?x2)(1?x1)(1?x2)?0，

f?1(x1)?f?1(x2)，即f?1(x)在?0,1?上单调递增．

22、证法一:

设点P(x?,y?)是这个函数的图象上任意一点,则x??y??

1,且 ax??1.……① ax??1易知点P(x?,y?)关于直线y?x的对称点P?的坐标为(y?,x?).

由①式得

即

?y?(ax??1)?x??1……② ????x(ay?1)?y?1,?由此得a=1，与已知矛盾，?ay??1?0. 又由②式得 x??y??1

ay??1这说明点P′（y′,x′）在已知函数的图象上，因此，这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形.

证法二:先求所给函数的反函数:由

y?x?11(x?R,x?), ax?1a得 y(ax－1)=x－1， 即 (ay－1)x=y－1．

假如ay?1?0,则y?11x?1,代入所给函数的解析式,得? aaax?1即 ax－a=ax－1，

由此得a=1，与已知矛盾，所以ay－1≠0． 因此得到

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y?11,其中y?,ay?1ax?11这表明函数y?(x?R,且x?)的反函数是

ax?1ax?11y?,(x?R,且x?).ax?1ax?由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f－1(x)的图象关于直线y=x对称，所以函数

y?

x?11(x?R,且x?)的图象关于直线y=x成轴对称图形. ax?1a归海木心 QQ:634102564

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y?11,其中y?,ay?1ax?11这表明函数y?(x?R,且x?)的反函数是

ax?1ax?11y?,(x?R,且x?).ax?1ax?由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f－1(x)的图象关于直线y=x对称，所以函数

y?

x?11(x?R,且x?)的图象关于直线y=x成轴对称图形. ax?1a归海木心 QQ:634102564

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