高考数学考前10天每天必看(1)

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一、基本知识篇

（一）集合与简易逻辑

1.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如： x|y lgx 与 y|y lgx 及

(x,y)|y lgx

2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；

4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；

5.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若A B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系"A B B A"判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；

6.（1）含n个元素的集合的子集个数为2n，真子集（非空子集）个数为2n－1； （2）A B A B A A B B;

（3）CI(A B) CIA CIB,CI(A B) CIA CIB。 二、思想方法篇

（一）函数方程思想

函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。

1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；

2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想；

3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。

（二）函数

1.复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：若已知f(x)的定义域为［a，b］,其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域（即 f(x)的定义域）；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 （2）复合函数的单调性由“同增异减”判定； 2.函数的奇偶性

（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=f(x);

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（2）若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0) 0（可用于求参数）； （3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或

f( x)

f(x) (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；

（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；

3.函数图像（或方程曲线的对称性）

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然；

（3）曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);

（4）曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;

（5）若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a－x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称；

1（f(x)≠0）;

（6）函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=

a b2

对称；

4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x－a) 或f(x－2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数；

（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数； （3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数； （4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2a b的周期函数；

（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2a b的周期函数； （6）y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= 1，则y=f(x)是周期为2a的周期函数；

f(x)

5.方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域)；

6.a≥f(x) 恒成立 a≥［f(x)］max,; a≤f(x) 恒成立 a≤［f(x)］min; 7.（1）log

a

b log

a

n

b (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N=

n

loglog

bb

Na

( a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a= N ( a>0,a≠1,N>0 ); 8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。 9.判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A中元素必须都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象； 10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(5) y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f-－1(x)]=x(x∈B),f-－1[f(x)]=x(x∈A).

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系； 12.恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解；

13.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：

log a N

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f(a) 0 f(a) 0

（或 ）； f(u) g(x)u h(x) 0(或 0)(a u b)

f(b) 0f(b) 0

ax bb aca

14.掌握函数y a (b ac 0);y x (a

0)的图象和性质；

15．实系数一元二次方程f(x) ax2 bx c 0(a 0)的两根x,x的分布问题： 上实根分布的情况，得出结果，在令x n和x m检查端点的情况。 三、思想方法篇

（二）数形结合思想

数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形

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的数量关系使问题得以解决（以数助形），这种解决问题的方法称之为数形结合。

1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。 2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。

3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质。 4.华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.

5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）。而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。 6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领：

(1) 对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；

(2) 对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点，顶点是关键点），作好知识的迁移与综合运用； (3) 对于以下类型的问题需要注意：

(1)(x a) (y b);(2)

2

2

y ax b

;(3)Ax By;(4)F(cos ,sin );(5)a ab b;可分别

22

通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点(cos ,sin )及余弦定理进行转化达到解题目的。

三）数列

1.由Sn求an，an={2.等差数列

｛an｝ an 1 an d(d为常数） 2an an 1 an 1(n 2) an an b sn An

2

S1(n 1)

Sn Sn 1(n 2,n N)

*

注意验证a1是否包含在后面an 的公式中，若不符

合要单独列出。一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式；

Bn；

3.等比数列｛an｝

an 1an

2

q(q为常数） an an 1an 1(n 2) an a1q

n 1

；

4.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化

an

为解不等式

0 a 0 解决；

或 n a 0a 0 n 1 n 1

5.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，

勿忘分类讨论思想；

6. 在等差数列中，an am (n m)d，d an amq

n m

an amn

m

；在等比数列中，

,q

n7. 当m n p q时，对等差数列有am an ap aq；对等比数列有am an ap aq；

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8.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+pbn}(k、p是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、{anbn}等也是等比数列；

9. 若数列{an}为等差（比）数列，则Sn,S2n Sn,S3n S2n, 也是等差（比）数列； 10. 在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇 nd；项数为奇数2n 1时，

S奇 S偶 a中（即an）；

11.若一阶线性递归数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:an

bk 1

k(an 1

bk 1

)

(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；

四、思想方法篇

（三）分类讨论的数学思想

分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。

1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：

（1）涉及的数学概念是分类讨论的；

（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的； （3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；

（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的； （5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。

2.分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏 ，包含各种情况，同时要有利于问题研究。

（四）三角函数

1.三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦； 2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；

3.记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图像、性质；

4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于1800，一般用正余弦定理实施边角互化；

5.正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点；正(余)切型函数的对称中心是图象和渐近线分别与x轴的交点，但没有对称轴。

22

6.（1）正弦平方差公式：sinA－sinB=sin(A+B)sin(A－B);（2）三角形的内切圆半径

abc

2S ; ABCr=；（3）三角形的外接圆直径2R=

sinAsinBsinCa b c

（五）平面向量

1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2), 为实数。（1）向量式：a∥b(b≠0) a= b;

（2）坐标式：a∥b(b≠0) x1y2－x2y1=0;

2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), （1）向量式：a⊥b(b≠0) a b=0; （2）坐标式：a⊥b x1x2+y1y2

3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a b= =x1x2+y1y2;其几何意义是a b等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积；

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4.设A（x1,x2）、B(x2,y2)，则S⊿AOB＝5.平面向量数量积的坐标表示：

12

x1y2 x2y1；

（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a b=x1x2+y1y2

（2）若a=(x,y),则a2=a a=x2+y2,a

x y;

2

2

22

(x1 x2) (y1 y2);

五、思想方法篇

（四）向量法

向量法是运用向量知识解决问题的一种方法，解题常用下列知识： （1）向量的几何表示，两个向量共线的充要条件； （2）平面向量基本定理及其理论；

（3）利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题； （4）两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式

（六）不等式

1.掌握不等式性质，注意使用条件；

2.掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式）的解法，尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法，零点分区间法； 3.掌握用均值不等式求最值的方法，在使用a+b≥2ab(a>0,b>0)时要符合“一正二定三相等”；注意均值不等式的一些变形，如六、思想方法篇

（五）配方法

配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式，其基本形式是：

2

ax+bx+c=a(x b)2 4ac b(a 0).高考中常见的基本配方形式有：

2

a b2

22

(

a b2

);ab (

2

a b2

2

)。

2a4a

（1） a+b= (a + b)- 2a b = (a -b) + 2 ab; （2） （2） a2+ b2+ ab =(a 1b)2 (3b)2;

2

2

2222

（3） （3）a2+ b2+c2= (a＋b + c)2- 2 ab – 2 a c – 2 bc; （4） (4) a2+ b2+ c2- a b – bc – a c = （5） x2

1x

2

12

[ ( a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2];

(x

1x

) 2;

2

配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论，求解与证明及二次曲线的讨论。

（七）直线和圆的方程

1.设三角形的三顶点是A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3）,则⊿ABC的重心G为（

x1 x2 x3

3

,

y1 y2 y3

3

）；

2.直线l:Ax+By+C=0与l: Ax+By+C=0垂直的充要条件是AA+BB=0；

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3.两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是d C1 C2

A B

2

2

2

；

2

4.Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 ：A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0； 5.过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2;

6.以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0; 7.求解线性规划问题的步骤是：（1）根据实际问题的约束条件列出不等式；（2）作出可行域，写出目标函数；（3）确定目标函数的最优位置，从而获得最优解； 七、思想方法篇 （六）换元法

换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量（或代数式），对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题。其理论根据是等量代换。高中数学中换元法主要有以下两类：

（1）整体换元：以“元”换“式”； （2）三角换元 ，以“式”换“元”；

（3）此外，还有对称换元、均值换元、万能换元等；换元法应用比较广泛。如解方程，解不等式，证明不等式，求函数的值域，求数列的通项与和等，另外在解析几何中也有广泛的应用。运用换元法解题时要注意新元的约束条件和整体置换的策略。

（八）圆锥曲线方程

22

1.椭圆焦半径公式：设P（x0,y0）为椭圆x y 1（a>b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),

22

ab

则PF1 a ex0,PF2 a ex0（e为离心率）； 2.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线

xa

22

yb

22

1（a>0,b>0）上任一点，焦点为

F1(-c,0),F2(c,0),则:（1）当P点在右支上时，PF1 a ex0,PF2 a ex0； （2）当P点在左支上时，PF1 a ex0,PF2 a ex0；（e为离心率）；

2222

yyx

另：双曲线x （a>0,b>0）的渐近线方程为 1 2 0； 222

abab

3.抛物线焦半径公式：设P（x0,y0）为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则

PF x0

p2

；y2=2px(p＜0)上任意一点，F为焦点，则PF x0

ba

x

x的双曲线标准方程为 2

a

2

p2

；

4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题； 5.共渐进线y

yb

22

(

为参数， ≠0）；

6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，

一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长 AB k2 x2 x1

1

1k

2

22

(1 k)[(x1 x2) 4x1x2]

y2 y1

(1

1k

2

2

) [(y1 y2) 4y1y2],这里体现了解析几何“设而不求”的解

题思想；

7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为2b，焦准距为p=b，抛物线的通径为2p，焦准距为

2

2

ac

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22

p; 双曲线x y 1（a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b;

22

8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx2＝1；

9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1）

2

2

AB＝x1+x2+p;（2）y1y2=－p，x1x2=p;

ab

4

10.过椭圆x y 1（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则AB 2a e(x1 x2)，过右焦点

22

a

b

22

的弦AB 2a e(x1 x2)；

11.对于y=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为（

2

y0

2

2p

，y0）,以简化计算;

12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆

xa

22

yb

22

1（a>b>0）上不同的两点，M(x0,y0)是AB的中点，则KABKOM=

ba

22

；对于双曲

222

b

线x y 1（a>0，b>0），类似可得：KAB.KOM=；对于y2=2px(p≠0)抛物线有KAB＝

222

aba

2py1 y2

13.求轨迹的常用方法：

（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法； （2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可； （3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；

（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；

（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。 八、思想方法篇

（七）向量法

向量法是运用向量知识解决问题的一种方法，解题常用下列知识： （1）向量的几何表示，两个向量共线的充要条件；（2）平面向量基本定理及其理论； （3）利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题； （4）两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式。

（九）直线、平面、简单几何体

1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；

2. 已知:直二面角M－AB－N中，AE M，BF N,∠EAB= 1,∠ABF= 2，异面直线AE与BF所成的角为 ，则cos cos 1cos 2;

3.立平斜公式：如图，AB和平面所成的角是 1，AC在平面内，AC和AB的射影AB成 2，设∠BAC= 3,则cos 1cos 2=cos 3；

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4.异面直线所成角的求法：

（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；

（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系； 5.直线与平面所成的角

斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键； 6.二面角的求法

（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；

（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；

（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；

（4）射影法：利用面积射影公式S射＝S原cos ,其中 为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；

特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。 7.空间距离的求法

（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；

（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；

（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解； 8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为 ，则S侧cos =S底；

9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 , , ,因此有

cos2 +cos2 +cos2 =1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为

222

, , ,则有cos +cos +cos =2;

10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长； 11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F－E=2；并且棱数E＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半；

12.球的体积公式V= R3，表面积公式S 4 R；掌握球面上两点A、B间的距离求法：

34

2

（1）计算线段AB的长（2）计算球心角∠AOB的弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧AB的长。 九、思想方法篇

（八）分析法、综合法

（1）分析法是从所求证的结果出发，逐步推出能使它成立的条件，直至已知的事实为止；分析法是一种“执果索因”的直接证法。

（2）综合法是从已经证明的结论、公式出发，逐步推出所要求证的结论。综合法是一种“由因导果”，叙述流畅的直接证法。

（3）分析法、 综合法是证明数学问题的两大最基本的方法。分析法“执果索因”的分析方法，思路清晰，容易找到解题路子，但书写格式要求较高，不容易叙述清楚，所以分析法、综合法常常交替使用。分析法、 综合法应用很广，几乎所有题都可以用这两个方法来解。

111

（十）排列组合二项式定理和概率

1.排列数公式:Anm=n(n-1)(n-2) (n-m＋1)=(n m)!(m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列

An=n(n-1) 2 1;

m

2.组合数公式：Cnm An

n!

n

n (n 1) (n m 1)m (m 1) (m 2) 3 2 1

m!

（m≤n）,Cn0 Cnn 1；

3.组合数性质：Cn Cn

mn m

;Cn Cn

rr 1

Cn 1；

r

1nrrrr 1

4.常用性质：n.n!=(n+1)!-n!;即nAnn Ann An;Cr Cr 1 Cn Cr 1;（1≤r≤n）; 1

5.二项式定理：（1）掌握二项展开式的通项：Tr 1 Cnran rbr(r 0,1,2,...,n); （2）注意第r＋1项二项式系数与第r＋1系数的区别； 6.二项式系数具有下列性质：

(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等； (2) 若n为偶数，中间一项（第和

n 12

n2

＋1项）的二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第

n 12

＋1项）的二项式系数最大；

012nn0213n 1（3）Cn Cn Cn Cn 2;Cn Cn Cn Cn 2;

n

7.F(x)=(ax+b)展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为[f(1) f( 1)]；偶数项的系数

1

2

和为

12

[f(1) f( 1)]；

nm

8.等可能事件的概率公式：（1）P（A）＝；（2）互斥事件分别发生的概率公式为：

P(A+B)=P(A)+P(B)；（3）相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)＝P(A)P(B)；（4）独

kkn k

立重复试验概率公式Pn(k)=Cn p(1 p);(5)如果事件A、B互斥，那么事件A与B、（6）如果事件A、B相互独立，那么事件A、BA与B及事件A与B也都是互斥事件；

至少有一个不发生的概率是1－P（AB）＝1－P(A)P(B)；（7）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（A B）＝1－P(A)P(B)；

（十一）抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差

1.掌握抽样的二种方法：（1）简单随机抽样（包括抽签符和随机数表法）；（2）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；

2.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图； 3.总体特征数的估计：（1）学会用样本平均数（2）学会用样本方差S2

2

2

1n

(x1 x2 xn)

2

1

n

n

i

xi

去估计总体平均；

2

i 1

1n

[(x1 ) (x2 ) (xn )]

2

1

n

(x

n

i 1

)

1

n

2i

(xn

i 1

n)

2

去估计总体方差 及总体标准差；

111

十、思想方法篇

（九）反证法

反证法是数学证明的一种重要方法，因为命题p与它的否定非p的真假相反，所以要证一个命题为真，只要证它的否定为假即可。这种从证明矛盾命题（即命题的否定）为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。 ㈠ 反证法证明的一般步骤是：

（1）反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

（2）归谬：从命题的条件和所作的结论出发,经过正确的推理论证,得出矛盾的结果； （3）结论：有矛盾判定假设不正确，从而肯定的结论正确； ㈡ 反证法的适用范围：（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少时的命题； （2）结论的反面是比原结论更具体、更简单的命题，特别是结论是否定形式（“不是”、“不可能”、“不可得”）等的命题；（3）涉及各种无限结论的命题；（4）以“最多（少）、若干个”为结论的命题；（5）存在性命题；（6）唯一性命题；（7）某些定理的逆定理； （8）一般关系不明确或难于直接证明的不等式等。 ㈢ 反证法的逻辑依据是“矛盾律”和“排中律”。 十一、

（十二）导数及应用

1.导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作y

y x

f(x x) f(x)

x

x x0

f (x0) lim

f(x0 x) f(x0)

x

；

x 0

2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量 y f(x x) f(x);(2)求平均变化率

;(3)取极限,得导数f (x) lim y;

x 0

x

3.导数的几何意义：曲线y＝f（x）在点P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是f (x0).相应地，切线方程是y y0 f (x0)(x x0);

4.常见函数的导数公式：C 0(C为常数);(x) mx(m Q); 5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f（x）在某个区间内可导，如果f (x) 0,那么f(x)为增函数；如果f (x) 0,那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有f (x) 0,那么f(x)为常数； （2）求可导函数极值的步骤：①求导数f (x)；②求方程f (x) 0的根；③检验f (x)在方程f (x) 0根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；

（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。 十二、 思想方法篇

（十）7.另外:还有数学归纳法、同一法、整体代换法等.

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