四川省成都市石室中学高2012级“三诊”模拟考试理科数学试题

四川省成都市石室中学高2012级“三诊”模拟考试

石室中学高2012级“三诊”模拟考试理科数学试题

一、选择题（答案填到机读卡上）

1.已知(a i)2 2i，其中i 是虚数单位，则实数a =（ ）

A．－2

B．－1

C．1

D．2

2. 已知sin（

4

）=

2

，则cos（ ）的值等于( ) 34

B.

A.

2

32

3

C.

3

D.

3

3. 设{an}为递增等比数列，a2010和a2011是方程4x2—8x+3=0的两根，则a2012=( ) A. 9

B. 10

C.

uuruuuruuurr

4.设G为△ABC的重心，且sinA GA sinB GB sinC GC 0，则B的大小为( )

A． 450 B． 600 C．300 D． 150

5．设函数f(x) g(x) x，曲线y g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y 2x 1，则曲线y f(x)在

点(1,f(1))处切线的斜率为( )

A．

C．4

D．

2

9

2

D. 25

1

4

B．2

1 2

6. 下面四个命题：

①“直线a∥直线b”的充分条件是“直线a平行于直线b所在的平面”； ②“直线l 平面 ”的充要条件是“直线l 平面 内无数条直线”； ③“直线a、b不相交”的必要不充分条件是“直线a、b为异面直线”；

④“平面 ∥平面 ”的必要不充分条件是“平面 内存在不共线三点到平面 的距离相等”． 其中正确命题的序号是( ) A.①② B. ②③ C. ③④ D. ④

2

7．设f (x)=|2－x|，若0＜a＜b且f (a)=f (b)，则a+b的取值范围是（ ） A．(0，2)

B．(2, 2)

C．(2,4)

D．(2，22)

3x y 6 0

8. 若变量x，y满足约束条件 x y 2 0，且z kx y(k 0)的最大值为14，则k=( )

x y 3

A.1

B.2

C.23

D.

53 9

x2y2

9．已知F1,F2是椭圆2 2 1(a b 0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且 F1PF2 ，记线段PF1

2ab

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与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于( )

A

．2 B

． 3

C

．4 D

1

10. 某校为全面实施素质教育，大力发展学生社团，2014级高一新生中的五名同学准备参加“文学社”、“戏

剧社”、“动漫社”、“民乐社”四个社团，若每个社团至少有一名同学参加，每名同学必须参加且只能参加一个社团，若同学甲不参加“动漫社”，则不同的参加方法的种数为( ) A. 72 B. 108 C. 180 D. 216 11.已知a为常数，函数f x x 2 x a的图象关于x 3对称，函数

an x2n*

g x x b limn(n N)在 0, 上连续，则常数b=( ) 2nn a x

A.0 B.2 C.3 D.4

12.函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x M(M D)，有x l D，且

f(x l) f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数。如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x 0时，f(x) |x a2| a2，且f(x)为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是( ) A.0 a 1 B. 2 a 2 C. 1 a 1 D. 2 a 2

二、填空题（答案填到第3页指定位置）

13.若(1 2x)n的二项展开式中x的系数是x的系数的8倍，则n

3

14．P、A、B、C是球面O上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且PA = PB= PC = 1，则球的表面积为. 15．两定点的坐标分别为A( 1,0)，B(2,0)，动点满足条件 MBA 2 MAB，动点M的轨迹方程是 .

1

③y f x 与它的反函数y fx 的图象若相交，则交点必在直线y=x 上；

其中所有题的代号有___________. 假命

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填空题答案：13.__________ 14.__________ 15.__________ 16 .__________ 17．已知函数f x sin( x) msin(

2

x) m 0, 0 的图像上两相邻最高点的坐标分

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别为

4

（Ⅰ）求m与 的值；（Ⅱ）在 ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且,2 和 ,2 ．

3 3

b 2c

f(A) 2,求的取值范围．

a

18. 学校要用三辆车从北湖校区把教师接到文庙校区，已知从北湖校区到文庙校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为

13

，不堵车的概率为；汽车走公路②堵车的概率为p，不堵车的概率为1 p，若甲、44

7

，求走公路②堵车的概率；（Ⅱ）在（I）的条件下，求三辆车中被堵车辆16

乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响。（I）若三辆车中恰有一辆车被堵的概率为

的个数 的分布列和数学期望。

19. 如图，在三棱锥S ABC中，平面SBC 平面

S

ABC，

SB SC AB

2，BC BAC 90°，O为

点．（Ⅰ）求点B到平面SAC的距离；（Ⅱ）求二面角A SC B的余弦值．

BC

中

OB

C

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20．已知函数f(x) x2eax,x R,其中e为自然对数的底数， a R.(Ⅰ)设a 1,x [ 1,1]，求函数

x2 ax a2 1ax

e成立，求x的取值（Ⅱ）若对于任意的a 0，都有f(x) f(x) y f(x)的最值；

a

'

范围.

22

21. m，n，p

C1：mx ny 1上的动点P到两焦点的

2

距离之和的最小值为C2：x 2py(p 0)的焦点与双曲线C1的一顶点重合。(Ⅰ)求

抛物线C2的方程；（Ⅱ）过直线l：y a（a为负常数）上任意一点M向抛物线C2引两条切线，切点分别为A、B，坐标原点O恒在以AB为直径的圆内，求实数a的取值范围。

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22．已知数列{an}满足a1 1,an 2an 1 n 2(n 2).（I）求数列{an}的通项公式； （II）若数列{bn}中b2 4，前n项和为Sn，且4Sn n (an n)bn(n N*).证明：

bn1152

(1 ) .

bn3

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石室中学高2012级三诊模拟考试理科数学试题参考答案

一、选择题：CBCB CDDB DCBC

二、填空题：13. 5 14.3 15. 3x2 y2 3(x 1) 16. ①②③ 17．解：（Ⅰ）f

x sin x mcos x 2msin x

所以由题意知：m 1， 2；

（Ⅱ）f(A) 2,，即sin 2A

则2A

， 6

3

11 2A ，又， 1 6666

，

6

2

，解得A

所以

b 2csinB 2sinC 2

sin C 2sinC 2sin C a 3 6 sin

3

2 b 2c

2,1 ，所以 C ，所以

3266a

2

因为0 C

17 3 11318. 解：（I）由已知条件得C2 ，即3p 1，则p的值为。 (1 p) p

34416 4

（Ⅱ） 可能的取值为0，1，2，3 P( 0)

33237

， P( 1) 443816112111111131P( 2) C2 ，P( 3) 443443644348

的分布列为：（1分）

所以E 0 1

387115

2 3 166486

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O为BC中点，19. 解：（Ⅰ）因为SB SC，所以SO BC

而平面SBC 平面ABC，所以SO 平面ABC，

再由题设条件知道可以分别以OB、OA、OS为x，y， 立直角坐标系，

得B

，A

，S

，

S

z轴建

C(，

SA ，SC (，

故平面SAC的法向量n ( 1,1,1)

BO

C

而SB ，故点B到平面SAC

（Ⅱ）由已知得平面SBC的法向量m (0,1,0)，平面SAC的法向量n ( 1,1,1)

故二面角A SC

B 20．解：（Ⅰ)当a 1时，f(x) x2 e x，f (x) x (x 2) e x．

当x在[ 1,1]上变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：

∴x [ 1,1]时，f(x)max f( 1) e，f(x)min f(0) 0． (Ⅱ)∵f(x) x2 eax，f (x)

(2x ax2)eax，

x2 ax a2 1ax

e, ∴原不等式等价于：x e (2x ax) e

a

2

ax

2

ax

1x2 3x122

即(a ) (x 1) x 3x, 亦即a 2．

aax 1

1x2 3x∴对于任意的a 0，原不等式恒成立,等价于a 2对a 0恒成立,

ax 1

∵对于任意的a 0时, a

1 2（当且仅当a 1时取等号）． ax2 3x

2，即x2 3x 2 0，解之得x 2或x 1. ∴只需2

x 1

因此，x的取值范围是( , 2] [ 1, ).

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21.解：(Ⅰ)

由已知易得双曲线焦距为

2，故双曲线的上顶点为(0,1)，

所以抛物线C2的方程x2 4y （Ⅱ）设M为(m,a)，A(x1,

121

x1)，B(x2,x22)， 44121

故直线MA的方程为y x1 x1(x x1)，即4y 2x1x x12，

42

所以4a 2x1m x12，同理可得：4a 2x2m x22，

即x1，x2是方程4a 2xm x的两个不同的根，所以x1x2 4a 由已知易得x1x2 y1y2 x1x2

2

122

x1x2 4a a2 0，即 4 a 0 16

22．解：（I） 解法二、 an 2an 1 n 2(n 2)， an n 2(an 1 n 1)

∴数列{an n}是以首项a1+1，公比为2的等比数列，即an n 2 2n 1 2n an 2n n,(n 1)

（II） 4Sn n (an n)bn

4Sn n 2nbn

2Sn 2n nbn ②

由②可得： 2Sn 1 2(n 1) (n 1)bn 1 ③

③－②，得2(bn 1 1) (n 1)bn 1 nbn 即(n 1)bn 1 nbn 2 0 ④ 又由④可得nbn 2 (n 1)bn 1 2 0 ⑤ ⑤－④得nbn 2 2nbn 1 nbn 0 即bn 2 2bn 1 bn 0

bn 2 bn 1 bn 1 bn(n N*) {bn}是等差数列

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