质点组的质心公式的应用

数学教学通讯》2005年8月(上半月)(总第225期) 42 重庆　　　　　　　　　　　　　　《

质点组的质心公式的应用

(重庆市开县中学　405400)　袁　华　(西师附中　400700)　戴　宇

在中学的解析几何中,经常要求多边形(特别是三角形)的心.

在学生掌握了定比分点公式的基础上,我们就可将学生已熟知的△ABC的重心坐标公xA+xB+xCyA+yB+yC

,)推广到质点

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组的质心公式:式(

如果点A、B、C处放的质点的质量分别为mA,mB,mC,这时质心M的坐标

x=

AABBCC

mA+mB+mC

=

4+3+1219

x=

y==

4+3+1219,).1919

说明:(1)当A的质量故P(x,y)=(为4,C的质量为12时,由于4 AF =12 CF ,故A、C的质心为F,所以A、B、C的质心在BF上,同理又在AE

,

AABBCC

y=

mA+mB+mC

交点坐标问题时的应用.

　(Ⅰ)

上,故P就是A、B、C的质心,故可用公式.

图1

下面举例说明公式(Ⅰ)在处理△ABC内

(2)此题用常规方法,通常是用定比分点公式分别求出E、F的坐标,再写出AE、BF的直线方程,联立求解从而得到P点的坐标,显然要复杂得多.

(3)这样作,还可教会学生将已学会的数学和物理知识,进行联系和比较,从而扩大他们的知识面,有利于创新精神和实践能力的培养.

新教材引入了平面问题,从而可得公式(Ⅰ)的向量表示:

=

ABC(Ⅰ′)

mA+mB+mC

(这里的O点可为坐标原点,也可以是平面例2　已知:B=a,C=b,=3C,=2,直线AE与BF交于点P(如图2),试用a,b表示P.

解:因为=2,=3C,

例1　已知△ABC中,A(0,0),B(1,0),C(3,4),点E、F分别在BC、AC边上,且 BE =4 CE , AF =3 FC ,求AE与BF的交点P的坐标.

分析:当解题时,适当赋予点A、B、C的质量,使F、E分别是A与C和B与C的重心时,那么AE与BF的交点P就是质点组A、B、C的质心,从而就可以用公式(Ⅰ)来解决问题.

解:如图1,由于 BE =4 CE , AF =3 FC ,

故可令A点的质量为4,B点质量为3,C点质量为12,

则由公式(Ⅰ)得AE与BF的交点P(x,y):

上任意一点).

《数学教学通讯》2005年8月(上半月)(总第225期)　　　　　　　　　　　　重庆 43

故可令A、B、C三点处的质量分别为3,2,6.

则由公式(Ⅰ′)得P=

=

3+2+6

体积为1的三棱锥A-BCD的侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G,使AE∶EB=AF∶FC=AG∶GD=2∶1,记O为三平面BCG,CDE,DBF的交点,求三棱锥O-BCD的体积.

图2

(2B+6C)11

因为B=a,C=b,(a+3b).11

说明:此题的通常的作法是:故P=

设P= ,　 ∈R,

可得P= =a+ b(用定

1+344

比分点的向量式)

再设=k =

k =(-a+2)=

1+23-ka+kb

3

故B=ka-kb.3

两式相加得

B=(4+k)a+(4 -3k)b

即a=(4+k)a+(4 -3k)b,

+k=14得

-k=0

43

解得 =,

11所以P=×a+×b=a

41141111

+b=(a+3b).1111

这种作法思维要求高,运算复杂,显然比前面解法慢得多.

例3　(重庆2005年高考-10)如图3,在

图3

解:设A的高为15h,因为AE∶EB=AF∶FC=2∶1,

所以可令A、B、C的质量分别为1,2,2,所以CE与BF交点H的高,H===3h,同理BG与

1+2+25DE的交点K的高也等于3h,而E的高为5h.

又在△ECD中,O为DH与CK的交点,故可令E、C、D的质量分别为3,2,2,所以O点的高=

=h,

3+2+27

所以VA-BCD=1,

O-BCDh所以VO-BCD===.

VA-BCD15h7

实际上,质点组的质心公式,还可用在求内心,外心,多边形内的线段交点等许多解析几何和立体几何问题上.但它的最大的好处在于启发了学生将数学知识和物理知识进行了有机的结合,启迪了思维的开放性,及实际应用的能力.如果读者有兴趣,不妨动手试一试,一定会大有收获.

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