初中数学经典几何模型

初中数学几何模型 中点模型 【模型1】倍长 1、 倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交 AABDCBEDCFE ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【模型2】遇多个中点，构造中位线 1、 直接连接中点；2、连对角线取中点再相连 【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF的中点，连接GC、GE． （1）如图1，当点E在BC边上时，若AB=10，BF=4，求GE的长； （2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明； （3）如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明. DGFEABAGGFBABECDCDCE图1图2图3F 1 【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AE=AF，?DAE??BAF． (1)求证：CE=CF； (2)若?ABC?120?，点G是线段AF的中点，连接DG，EG．求证：DG上GE． 【例3】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD中点，BA交EF延长线于G，CD交EF于H．求证：∠BGE=∠CHE． AGFDHECB 角平分线模型 【模型1】构造轴对称 【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 【例4】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，交AD边于H，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF．若BC=7，DF=3，EH=3AE，则GF的长为. GADHFBEC 手拉手模型 【条件】OA?OB，OC?OD，?AOB??COD 【结论】OAC?OBD； ?AEB??OAB??COD（即都是旋转角）；OE平分?AED； D O OOC C ED EBA C ABAB导角核心图形：八字形 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【例5】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为 . 3 【例6】如图，ABC中，?BAC?90?，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连结BE，AG⊥BE于F，交BC于点G，求?DFG AEFBCDG 【例7】如图，在边长为62的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG于点H，交AD于点F，连接CE、BH。若BH＝8，则FG＝. AFDGHEBC 18题图 邻边相等对角互补模型 【模型1】 【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，?BAD??BCD??ABC??ADC?180? 【结论】AC平分?BCD A AEBBCDE CFD 4 【模型2】 【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，?BAD??BCD?90? 【结论】①?ACB??ACD?45 ②BC?CD??2AC AE AB B E DCDCF ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【例8】如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=5，G为CD中点，DE=DG，FG⊥BE于F，则DF为. GDC E F AB 【例9】如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M，使BM=1，连接AM，过点B作BN?AM，垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON，则ON的长为. NM AB O DC 【例10】如图，正方形ABCD的面积为64，BCE是等边三角形，F是CE的中点，AE、BF交于点G，则DG的长为. DC F E G 5 AB

【模型1】 半角模型 【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，?BAD??BCD??ABC??ADC?180?， 1?EAF??BAD，点E在直线BC上,点F在直线CD上 2【结论】BE、DF、EF满足截长补短关系 BADF E C【模型2】 【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足∠EAF=45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N. 【结论】 (1) BE+DF=EF；(2) S△ABE+S△ADF=S△AEF；(3) AH=AB；(4) C△ECF=2AB； (5) BM2+DN2=MN2； (6) △ANM∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM； (由AO：AH=AO：AB=1：2可得到△ANM和△AEF的相似比为1：2)； (7) S△AMN=S四边形MNFE；(8) △AOM∽△ADF，△AON∽△ABE； (9) △AEN为等腰直角三角形，∠AEN=45°；△AFM为等腰直角三角形，∠AFM=45°. (1. ∠EAF=45°；2.AE：AN=1：2)； (10)A、M、F、D四点共圆，A、B、E、N四点共圆，M、N、F、C、E五点共圆. AD N F MH BEC 6 【模型2变型】 【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是边CB、DC延长线上的点，且满足∠EAF=45° 【结论】BE+EF=DF AD B CE F【模型2变型】 【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是边CB、DC延长线上的点，且满足∠EAF=45° F【结论】DF+EF=BE A D BCE 【例11】如图，?ABC和?DEF是两个全等的等腰直角三角形，?BAC??EDF?90?，?DEF的顶点E与?ABC的斜边BC的中点重合．将?DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，射线EF与线段AB相交于点G，与射线CA相交于点Q．若AQ=12，BP=3，则PG=. 来源:学科网] 【例12】如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF.连接BF与DE交于点G，连接CG与BD交于点H，若CG=1，则S四边形BCDG?. 源:学 FGDHCAEB 7 一线三等角模型 【条件】?EDF??B??C，且DE?DF 【结论】BDE?CFD AEFBDC ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【例13】如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB=3，GC=4，连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为. 源:学 AEDGBFC 8 弦图模型 【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段 【结论】新构成了同心的正方形 HAELEGBFCBIDAH DKGJFC ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【例14】如图，点E为正方形ABCD边AB上一点，点F在DE的延长线上，AF=AB，AC与FD交于点G，∠FAB的平分线交FG于点H，过点D作HA的垂线交HA的延长线于点I.若AH?3AI，FH?22，则DG=. IADGHFEBC【例15】如图，ABC中，?BAC?90?，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E是AC重点，连结BE，作AG⊥BE于F，交BC于点G，连接EG，求证：AG+EG=BE. AEFBDGC 9 【两点之间线段最短】 1、将军饮马 AP'BBPPB'CAAA' 最短路径模型 P'BPQA'PCDQBB' 2、费马点 【垂线段最短】 bACAPBP 【两边之差小于第三边】 10

【例16】 如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口．现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l．求l的最小值． A1000mDP600m BHC 【例17】 如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是. EFAD H G BC 【例18】 如图所示，在矩形ABCD中，AB?4,AD?42，E是线段AB的中点，F是线段BC上的动点，?BEF沿直线EF翻折到?B'EF，连接DB'，DB'最短为. AB'DEBFC 11 【例19】如图1，点F，连接AF． ABCD中，AE⊥BC于E，AE=AD，EG⊥AB于G，延长GE、DC交于(1)若BE=2EC，AB =13，求AD的长； (2)求证：EG=BG+FC； (3)如图2，若AF=52，EF=2，点M是线段AG上的一个动点，连接ME，将?GME沿ME翻折得?G'ME，连接DG'，试求当DG'取得最小值时GM的长． 12 课后练习题 ?AEB?90?，AC、【练习1】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，BD交于O。已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积． CB O E 【练习2】 DA问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，∠MBN=1∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜2想； 问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=1∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有2怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明. 【练习3】已知：如图1，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． ⑴求证：EG=CG且EG⊥CG； ⑵将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．问⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ⑶将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？ AADADD G FG EEFE CCCBBFB 图1图2图3 13 附录 14

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