高等数学.厦门大学出版社徐荣聪.高数课后习题详细参考答案
更新时间:2024-06-08 17:40:01 阅读量: 综合文库 文档下载
第三章参考答案
习题3-1(P66) 1、(1)不满足,在x?1处不连续;(2)不满足,在x?2处不可导; 2、(1)、??e?1;(2)??4???;
3、证明:设任意区间[a,b]?(??,??),显然函数在[a,b]上连续,在(a,b)内可导, 所以函数满足拉格朗日中值定理的条件,
(pb2?qb?r)?(pa2?qa?r)?p(a?b)?q 所以有f?(?)?b?a又f?(?)?(px?qx?r)?2x???2p??q
a?b 2所以p(a?b)?q?2p??q,从而??所以命题成立。
4、方程有2个根,分别位于区间(1,2)和(2,3)内; 5、(2,4);
6、证明:设f(x)?arctanx,显然函数f(x)在(??,??)内处处连续,处处可导, 设区间[b,a]?(??,??),则f(x)在[b,a]上满足拉格朗日子中值定理的条件 所以(b,a)内至少存在一点?,使arctana?arctanb?1(a?b), 21?? 所以arctana?arctanb?1?a?b?a?b, 21??即arctana?arctanb?a?b
习题3-2(P70)
1、(1)1;(2)2;(3)cosa;(4)?31;(5)?; 58121(6)0;(7)?;(8);(9)0;(10);
22?2、(1)1,不能;(2)1,不能;
习题3-3(P77)
1、(1)(??,1)增加,(1,??)减少;(2)(??,??)减少;
(3)(??,?1)和(1,??)增加,(?1,1)减少;(4)(0,2)减少,(2,??)增加;
2、(1)(??,3)减少,(3,??)增加; (2)(0,e?1)减少,(e?1,??)增加; (3)(??,0)增加,(0,??)减少; (4)(??,1)和(3535,??)增加,(1,)减少; 27273、证明:设f(x)?ex?x?1,则f?(x)?ex?1,当x?0时,f?(x)?0 所以函数f(x)在(0,??)上单调增加,
xx 所以当x?0时,f(x)?f(0)?0,即e?x?1?0,从而e?1?x
4、证明:设f(x)?x3?3x2?1,
显然函数f(x)在[0,1]上连续,且f(0)?1?0,f(1)??1?0
由零点存在定理知,函数f(x)在(0,1)至少有一个零点,
又当x?(0,1)时,f?(x)?3x2?6x?3x(x?2)?0,函数单调减少
所以函数f(x)在(0,1)至多只有一个零点,即方程x?3x?1?0在(0,1)至多
只有一个实根,
因为f(0)?0,f(1)?0,所以x?0,x?1不是方程的根,
所以方程x?3x?1?0在[0,1]至多只有一个实根。 5、(1)极小值f(?1)??5,无极大值; (2)极小值f(2)??3,极大值f(?1)?32323; 2(3)极小值f(3)??47,极大值f(?1)?17; (4)极小值f()?345,无极大值; 44; 2e(5)极小值f(0)?0,极大值f(2)?(6)无极值;
(7)极小值f(0)?0,极大值f(?1)?1; (8)提示:y?x?1?1,极小值f(0)??2,极大值f(2)?2; x?16、解:显然函数f(x)在(??,??)上可导, 要使函数f(x)在x?即acos?3处取得极值,须有f?()?0,
?3?3?cos??0,解得a?2
因为f??()?(?2sinx?3sin3x)x????3?0
?33所以函数f(x)在x??3处取得极大值,此时f()?2sin??31?sin??3 33所以当a?2时,函数f(x)在x??3处取极大值3。
7、(1)最大值f(4)?80,最小值f(?1)??5; (2)最大值f(3)?11,最小值f(?2)?f(2)??14; (3)最大值f(1)?1,最小值f(0)?f(2)?0; (4)最大值f(0)?0,最小值f()??ln2; (5)最大值f(1)?1411,最小值f(?1)??; 224(6)最大值f(?4)?16e,最小值f(0)?0;
8、解:设车间靠墙壁的长为x米,则不靠墙壁的长为(10?面积S(x)?x(10?),0?x?20
x)米, 2x2 S?(x)?10?x,令S?(x)?0,得唯一驻点x?10,因为S??(x)??1?0 所以S(x)在x?10处取极大值,又驻点唯一, 所以S(x)在x?10处取最大值,
所以当小屋靠墙壁的长为10米,不靠墙壁的长为5米时,面积最大。 9、解:设经过x小时两船相距为y海里,则
22??(75?12x)?(6x),0?x?6.25 y??
22??[12(x?6.25)]?(6x),x?6.25 当0?x?6.25时,y??360x?1800180x?1800x?56252?360x?1800180(x?5)?11252,
令y??0,得驻点x?5,没有不可导点,
依题意知目标函数存在最小值,且驻点唯一,所以当x?5时,函数y取最小值155 当x?6.25时,y?(6?6.25)2?37.5?155
综上可知,经过5小时,两船距离最近。 10、解:设BM?x(m),那么AM?600?x,CM?x2?2002,
所以掘进费y?5(600?x)?13x2?2002(0?x?600) y??13xx2?2002?5,令y??0,得唯一驻点x?250,没有不可导点 3250.2;x?600时,y?8221.9 时,y?47173250?516.7, .2最小,此时AM?600? 比较得y?47173 当x?0时,y?5600;当x?所以从A处沿水平掘进516.7米后,再斜向下沿直线掘进到C处,掘进费最省,为4717.2元。
11、解:矩形底宽为x米,高为h米,则周长y?2h?x(??2) 2 由xh??x28?5得h?5?x10x(??4)?,所以y??(x?0) x8x4 y????44?1040?y?0,令,得驻点 x?x2??4 依题意目标函数存在最小值,且驻点唯一,所以当x?最小。
40米时,截面的周长??412?r?h 3R?R224?2??2 由2?r?R?,得r?,h?R?r?2?2?12、解:设漏斗的地面半径为r,高为h,则V?12R3?24?2??2(0???2?) 所以V??r?h?2324?R3?(8?2?3?2)8?V?0? V??,令,解得???
2224?234??? 依题意,目标函数存在最大值,且驻点唯一,所以当??8 ?时,函数取最大值,
3 即当??8?时,做成的漏斗容积最大。 3213、解:设内接直圆柱的底半径为r,高为2h,则圆柱的体积V?2?rh 因为球内接圆柱,所以有r?h?R,得h? 所以V?2?rR?r(0?r?R), V??426222R2?r2
,
2?r(2R2?3r2)R?r22令V??0,得r?2R,此时2h?34R 32函数取最大值, R时,
3依题意,函数
存在最大值,且驻点=唯一,所以当r?所以内接直圆柱的半径为
24R、高为R时,体积最大。 3314、解:如图h?DA?DC?2?15sin??3tan? 因为DA?15sin??1.5,DC?3tan?, 所以h?15sin??3tan??0.5(0???2?2)
115cos3??33?h?0 h??15cos??3sec??,令,解得 cos??25cos? 此时sin??1?cos2??1?31?0.81, 253tan??sec2??1?1?1?2cos?25?1?1.39
1时,函数取最大值 5 依题意知,函数存在最大值,且驻点唯一,所以当cos??3 h?15sin??3tan??0.5?15?0.81?3?1.39?0.5?7.48?6 所该吊车能把屋架吊上去。
15、解:利润L(x)?R(x)?C(x)??0.01x?150x?500
L?(x)??0.02x?150,令L?(x)?0,得唯一驻点x?7500
2
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