工程力学第六章答案 梁的变形

第五章 梁的变形

测试练习

1. 判断改错题

5-1-1 梁上弯矩最大的截面,挠度也最大,弯矩为零的截面,转角亦为零. （ ） 5-1-2 两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。 （ ） 5-1-3 悬臂梁受力如图所示，若A点上作用的集中力P在AB段上作等效平移，则A截面的转角及挠度都不变。 （ ） 5-1-4 图示均质等直杆（总重量为W），放置在水平刚性平面上，若A端有一集中力P作用，使AC部分被提起，CB部分仍与刚性平面贴合，则在截面C上剪力和弯矩均为零。 （ ） P P A B

A C B

题5-1-3图 题5-1-4图

5-1-5 挠曲线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移。 （ ） 5-1-6 等截面直梁在弯曲变形时，挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。 （ ） 5-1-7两简支梁的抗刚度EI及跨长2a均相同，受力如图所示，则两梁跨中截面的挠度不等而转角是相等的。 （ ） 5-1-8 简支梁在图示任意荷载作用下，截面C产生挠度和转角，若在跨中截面C又加上一

个集中力偶M0作用，则梁的截面C的挠度要改变，而转角不变。 ( )

2q q(x) q P

C B A A C B B A C q a a a a l/2 l/2

题5-1-7图

题5-1-8图

5-1-9 一铸铁简支梁，在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力及变形均相同。 （ ） 5-1-10 图示变截面梁，当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有三个，则通常有6个积分常量。 （ ）

q q P

题5-1-9图 题5-1-10图

2．填空题

5-2-1 挠曲线近似微分方程y\(x)??M(x) 的近似性表现在 和 。 EIP1? 。 P25-2-2 已知图示二梁的抗弯度EI相同，若使二者自由端的挠度相等，则

P1 P2

a 2a

题5-2-2图

5-2-3 应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是： 。 5-2-4 在梁的变形中挠度和转角之间的关系是 。

5-2-5 用积分法求图示的外伸梁（BD为拉杆）的挠曲线方程时，求解积分常量所用到的边界条件是 ，连续条件是 。

5-2-6 用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时，求解积分常量所用到边界条件是 ，连续条件是 。

5-2-7 图示结构为 次超静定梁。

D

EA P x C x P B A B A C a l l l/2 y 题5-2-5图 题5-2-6图 题5-2-7图

5-2-8 纯弯曲梁段变形后的曲率与外力偶矩M的关系为 ，其变形曲线为 曲线。 5-2-9 两根EI值相同、跨度之比为1：2的简支梁，当承受相同的均布荷载q作用时，它们的挠度之比为 。

5-2-10 当梁上作用有均布荷载时，其挠曲线方程是x的 次方程。梁上作用有集中力时，挠曲线方程是x的 次方程。梁上作用有力偶矩时，挠曲线方程是x的 次方程。 5-2-11 图示外伸梁，若AB段作用有均布荷载，BC段上无荷载，则AB段挠曲线方程是x的 次方程；BC段挠曲线方程是x的 次方程。 q

A B C

题5-2-11图

5-2-12 减小梁变形的主要途径有： ， ， 。

Px25-2-13 已知梁的挠度曲线方程为y(x)?(3l?x)，则该梁的弯矩方程为 。

6EI5-2-14 梁的变形中，挠度和截面弯矩M的关系是 ,挠度和截面剪力Q的关系是 。 5-2-15 为使图示AB段的挠曲线为一直线，则x= 。

5-2-16 要使图示简支梁的挠曲线的拐点位于距A端l/3处，则M1:M2= 。 5-2-17 图示静定梁，其BD上无荷载作用，若已知B截面的挠度yB,则C截面的挠度yC= ，D截面的转角θD= 。 P P M1 A C B A M2 B B D D A C x 3l/2 l/3 a a a l a

题5-2-16图 题5-2-17图 题5-2-15图

3．选择题

5-3-1 简支梁长为l，跨度中点作用有集中力P，则梁的最大挠度f=( ) （EI=常量）

Pl3Pl45Pl5Pl3 A. B. C. D.

384EI48EI48EI3EI5-3-2 悬臂梁长为l，梁上作用有均布荷载q，则自由端截面的挠度为。 ( )

ql4ql3ql4ql3 A. B. C. D.

6EI6EI8EI8EI5-3-3 两梁尺寸及材料均相同，而受力如图示，则两梁的

A． 弯矩相同，挠曲线形状不相同 B． 弯矩相同，挠曲线形状相同 C． 弯矩不相同，挠曲线形状不相同 D． 弯矩不相同，挠曲线形状相同

5-3-4 图示(a)、(b)两梁，长度、截面尺寸及约束均相同，图(a)梁的外力偶矩作用在C截面，图(b)梁的外力偶矩作用在B支座的右作侧，则两梁AB段的内力和弯曲变形的比较是 ( )。

A。内力相同，变形不相同 B．内力及变形均相同 C．内力及变形均不相同

B C M0 A D．内力不相同，变形相同

(a)

a l M0=Pl B M0 A C l (b)

a l

l P

题5-3-3图 题5-3-4图

5-3-5 当用积分法求图示梁的挠度曲线方程时，在确定积分常量的四个条件中，除x=0, θA=0;x=0,yA=0外，另两个条件是 ( ) 。

A．（yc）左= (yc)右，（θC）左=（θC）右 B．（yc）左= (yc)右，yB=0 C．yC=0，yB=0 D．yB=0，θC=0

5-3-6 图示简支梁在分布荷载q（x）=f（x）作用下，梁的挠度曲线方程为

EIy(x)????M(x)dxdx?Cx?D,，其中，积分常量 ( )。

A.C?0,D?0 B.C?0,D?0

C.C?0,D?0 D.C?0,D?0

q q(x) M0 B A B A C x y y

题5-3-6图 题5-3-5图

5-3-7 挠曲线方程中的积分常梁主要反映了 A． 对近似微分方程误差的修正 B． 剪力对变形的影响 C． 约束条件对变形的影响

D． 梁的轴向位移对变形的影响 5-3-8 图示悬臂梁在B、C两截面上各承受一个力偶矩作用，两力偶矩大小相等，转向相反，使梁产生弯曲变形。B截面的变形为 ( )。 A．y?0,??0 B. y?0,??0

B C．y?0,??0 D。y?0,??0

题5-3-8图

5-3-9 图示简支梁受集中力作用，其最大挠度f发生在（ ）。 A．集中力作用处 B。跨中截面 C．转角为零处 D。转角最大处

5-3-10 两简支梁EI及l均相同，作用荷载如图所示。跨中截面C分别产生挠度yC和转角θC,则两梁C点的挠度及两梁C点的转角有 （ ）。 A．θC相等，yC不相等 B。θC不相等，yC相等 C．θC和 都不相等 D。θC和yC都相等 2q q

A B A B C C

l l

题5-3-10图

M0 M0 C 4．计算题

5-4-1 试画出图示各梁挠曲线的大致形状。 q MM0 0

P P a l l/2 l/2 l/3 l/3 l/3

(b) (c) (a)

P q P P P

l/2 l/2 a a a a l/2 l/2 (d) (e) (f)

题5-4-1图

5-4-2 一简支梁承受图示分布荷载q=Kx2（K为已知），试求此梁的挠曲线方程（设EI=常量）。

5-4-3 已知图示梁的带积分常量的挠曲线方程为

3ql22ql31EIy1(x)?x1?x1?C1x1?D1(0?x1?)16122

3ql22ql3qlEIy2?x2?x2?(x2?)4?C2x2?D21612242l(?x2?l)2

试求方程中的积分常量。

5-4-4 试用叠加法求图示梁B点的挠度和转角。（EI=常量） P=ql q q q(x)=Kx2 A A B B x C C x B A l/2 l/2 l/2 l/2 y

y 题5-4-4图 题5-4-3图 题5-4-2图

5-4-5 外伸梁受图示荷载作用，试求C截面的挠度和A截面的转角。（EI=常量。）

5-4-6 矩形截面梁AB的抗弯刚度为EI，受力如图示。试问B端支座向上抬高Δ为多少时，梁的A截面的弯矩和C截面的弯矩绝对值相等。（材料的抗拉与抗压性能相同）

5-4-7 图示弯曲的钢板梁AB，截面为矩形，宽度为b，高度为h，钢板放在刚硬地面上时原有曲率半径为ρ，在两端受力P作用使其平直，则将有均布压力作用于刚硬地面C-C上。已知刚梁E（弹性模量），试求所需的P力及其在压平时梁内的最大正应力。 P P P 2 M0=ql/2 Δ A B C B A C C δ C l/2 l/2 l l l/2 题5-4-6图 题5-4-5图 题5-4-7图

5-4-8 长度为l、抗弯刚度为EI的悬臂梁AB，受均布荷载q作用而弯曲时，与半径为r的刚性圆柱面接触，如图所示。试求当梁上某一段AC与刚性圆柱面在C点接触（假设C点与梁左端A的距离为x）时，B点的挠度。

5-4-9 单位长度重量为q、抗弯刚度为EI的矩形截面钢条，放置在水平刚性面上，刚条的一端伸出水平面一小段CD，如图所示。若伸出长度为a，试求刚条翘起而不与水平面接触的CD段的长度b。

ql45-4-10 超静定梁如图所示，AB段内作用有均布荷载q，当C支座向下沉陷??时，

96EI试求梁的反力。 q q BC A C BA BΔ A D x C l/2 l b a r 题5-4-10图 题5-4-8图 题5-4-9图

5-4-11 矩形截面悬臂梁如图所示，梁长为l，在沿其截面高度h承受非均匀加热，设梁顶部温度改变为t1，底部温度改变为t2，且t2>t1。温度沿截面高度呈线形改变。材料的线膨胀系数为a，弹性模量为E,由于不均匀受热而使梁发生弯曲变形，当梁的悬臂端施加偶矩M0时，能使梁展直。问应施加多大的外力偶矩?

M0 t1 h A B t2 b l

题5-4-11图

5-4-12 悬臂梁AB和CD的自由端处用拉杆BC相连,受力如图所示,若AB梁和CD梁的抗弯刚度EI相等，试求在下列两种情况下C点的挠度. (1) 当BC杆为刚性杆,即EA= 时； (2) 当BC杆长为

lEI，EI?2时。 2lA B8 P C EID l l/2 l/2 题5-4-12图

l/2 A B EI C l

P l/2

l/2 l/2 5-4-13 AB与BC两梁铰接于B，如图所示。已知两梁的抗弯度相等，P=40kN/m,，试求B点的约束力。

5-4-14 悬臂梁和简支梁材料和截面均相同。已知E及未受力前AB梁B点与CD梁中点之间的间隙Δ（垂直距离），如图所示，当受P力后AB梁在B点的挠度大于Δ，试求各梁的支座反力。

5-4-15 具有初始挠度的AB梁如图所示，梁的EI和l均为已知。当梁上作用有三角形分布荷载时（q0已知），梁便呈直线形状。试求梁的初始挠曲线方程。

l P

D q0 B Δ A q P C l/2 B B C A A xl/2 l h x 4m 2m 2m y b

l/2 题5-4-15图 题5-4-13图

题5-4-14图

题5-4-9解图

5-4-16 试根据对称性求图示梁的挠曲线方程。EI=常量

5-4-17 两端固定的等截面梁，梁上作用一外力偶矩M0 ，如图所示。欲使在固定端A的反

力偶矩MA为零，则力偶矩M0应作用在梁上何位置？（即x =？）

8

A M0 l/2 题5-4-16图 qa2/2

C B

A

M0 l 题5-4-17图 x C B

测试练习解答

1． 判断改错题

5-1-1 ×。挠度和转角不仅与弯矩有关，而且与边界位移条件也有关，例如，当悬臂梁自由端作用有集中力P时，自由端的M=0，但挠度和转角都是最大值。 5-1-2 ×。凡弹性变形均与材料的弹性模量值有关。

5-1-3 √。外力在研究的梁段以外，用等效力系代替不影响研究段的内力及变形。 5-1-4 ×。在C截面上弯矩为零而剪力不为力零。 5-1-5 ×。可以用于变截面梁，只是分母中的Iz不同。 5-1-6 ×。根据

1???y\(x)?M(x)1,可知曲率最大值应在M最大的截面处（EI=常量EI?时）。

5-1-7 √。若将2q分解成正对称和反对称两组，就可明显看出，在正对称的q作用下C点有挠度，转角等于零。

5-1-8 ×。在C截面加上一力偶矩后C截面的挠度不变，而转角改变。

5-1-9 ×。应力不同，变形相同。因为变形只与Iz有关，而T形截面无论┬是┴还是，其惯

性矩Iz是相等的。而应力不仅与Iz有关而且还与ymax（上下边缘到中性轴的距离）有关，┬这种方法的最大拉应力比┴这种方法的最大拉应力要大。

5-1-10 ×弯矩方程式有三个，但积分时要分成四段，因截面改变处要分段。 2．填空题

5-2-1 忽略剪力Q的影响；1?(y)?1

'P1(2a)3P1a3P2(2a)3??8 5-2-2 8。因，所以?33P23EIaa5-2-3 小变形及材料为线弹性 5-2-4 y(x)??(x) 5-2-5 x?0,5-2-6

'yA?0x?l,yB?0;yB??lBD;

yA?0,(?1)A?(?2)A,(y1)A?y2)A5-2-7 二次 5-2-8

1???M；圆弧线 EI5q(l)45q(2l)45-2-9 1：16。因/?1/16

384EI384EI5-2-10 4；3；2 5-2-11 4；1

5-2-12 合理安排受力，减小M ；减小l；加大EI 5-2-13 M(x)?P(l?x) 5-2-14 y(x)??5-2-15 l-a 5-2-16 1/2 5-2-17 yC?\M(x);EIy'''(x)??Q(x) EI1yB/2a 23．选择题

5-3-1 A 5-3-2 C 5-3-3 A 5-3-4 B 5-3-5 B 5-3-6 D 5-3-7 C 5-3-8 D 5-3-9 C 5-3-10 B 4 计算题

5-4-2 梁的挠曲线方程为

Kl3（1） 求分布荷载的合力 P??q(x)dx?

03tq(x)dx?x3??l 求合力作用点到点的距离：d?0tP4PKl33PKl3（2） 求反力：RA? ?,RB??41244Kx3x（3） 列M(x)?RA?x??

34Kl5M(x)（4） 代入y??中并积分，由边界条件确定C??,D?0

90EI\所以 y(x)?5-4-3 （1）边界条件：

Kx(5l3x2?x5?4l5)

360EIx1?0,y'1??1?0,解出C1?0

x1?0,y1?0,，解出D1?0

（2）连续光滑条件：

l,2l x1?x2?,2 x1?x2?(y'1)C?(y'2)C,解出 C2?0 (y1)C?(y2)C,，解出D2?0

ql3ql4,(yB)q?5-4-4 （1）只有q作用时，(?B)q? 6EI8EI（2）只有P=ql作用时:

lP()2(?B)P??C)P?2,2EIllP()3P()2ll(yB)P?(yC)P?(?C)P??2?2?23EI2EI2（3）然后两者叠加：

7ql3??(?B)q?(?B)P? B24EI

11ql4yB?(?B)q?(?B)P?48EI

5-4-5 （1）只有M0?Ml12ql作用时，(?A)M0?0(?),3EI2?yC?M0l?(?B)M0?(?)

21(ql2)?l（2）只有q作用时，(?A)q?8( )

6EI1l(ql2)?lq()4l (yC)q?8??2( )

3EI28EI（3）叠加：

7ql3?A?(?A)M0?(?A)q?,48EI 45qlyC?(yC)M0?(yC)q?(?)384EI5-4-6 （1）将B约束解除，用反力RB代替。 （2）由A、C两截面的弯拒绝对值相等可列方程（3）在 P和RB?1lPRBl?P?RBl，解出RB?(?) 223P作用下，求B点的挠度。 3llP()3P()2RBl3l22??[??]? 3EI2EI23EI

Pl3??(负号表示向上)144EI

5-4-7 这是一个求变形和应力的综合题。

（1） 求压力P：依题意，当两端加上力P后使其平直且在C-C面上产生均布压力q，因

此可以将其简化为两端铰支的简支梁，其反力均为P，C-C面上的均布压力q?2P。 l5ql416Eb?h3（2） 简支梁在均布压力q作用下中点的挠度等于δ，解出P???，()

384EI5l (3) Mmax?M1224Ehql,?max?max?? 28Wz5l5-4-8 当q=0 时，AB梁上没有外力，梁轴线平直，A端曲率为零。当荷载q由0增加，到q0时，梁A端的弯矩为?111?，即有 q0l2，A端曲率

?Ar212ql1M(x)20 ???,rEIEI得q0?2EI 2rl

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