河北省石家庄市辛集中学2020届高三数学上学期期中试题文(含解析)

河北省石家庄市辛集中学2020届高三数学上学期期中试题 文（含解

析）

第I 卷选择题部分

一、单选题（每题5分）

1.设集合{}2|340M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N ?等于（ ）

A. (0,4]

B. [0,4)

C. (1,0)-

D. [1,0)- 【答案】B

【解析】

【分析】

化简集合M ，进而求交集即可.

【详解】由题意可得：{}

{}2|340|14M x x x x x =--<=-<<， 又{|05}N x x =≤≤，

所以M N =I [0,4)，

故选：B

【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.

2. 下列3个命题中，正确的个数为（ ）

①命题“2,10x R x ?∈->”的否定是“200,10x R x ?∈-≤”；

②“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分条件；

③“若p 则q 为真”是“若q ?则p ?为真”的充要条件.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3 【答案】D

【解析】

试题分析：全称命题的否定需注意量词的变化以及结论的否定，所以①正确；若“p q ∧为真”则都为真，若“p q ∨为真”则有可能一真一假，所以②正确；“p 则q 为真”与“q ?则p ?为真”互为逆否命题，所以③正确.

考点：简易逻辑.

3.已知i 是虚数单位，则复数

122i i +-等于（ ） A. i

B. i -

C. 5i

D. 45

i + 【答案】A

【解析】

【分析】 根据复数的运算,化简即可得解. 【详解】复数122i i

+-化简可得 122i i

+- ()()()()

122+=22+i i i i +- 2

2+52=5

i i + =i

所以选A

【点睛】本题考查了复数的乘法、除法和加法运算，属于基础题。

4.要得到函数2sin 2y x x =+2sin 2y x =的图象（ ）

A. 向左平移

3π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移

6π个单位 D. 向右平移6π个单位 【答案】C

【解析】

【分析】

化简函数2sin 2y x x =+-.

【详解】依题意2ππsin 22sin 22sin 236y x x x x ??????=+=+

=+ ? ??????

???，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位.所以选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.

5.如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，对角线,AC DB 相交于点O ，若,AD a AB b ==u u u r r u u u r r ，则OC =u u u r （ ）

A. 36

a b -r r B. 36a b +r r C. 233

a b +r r D. 233

a b -r r 【答案】B

【解析】

【分析】 根据图形以及相似关系将未知向量用已知向量表示，注意比例运用.

【详解】由题意得，BD AD AB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ，：CDO ABO QV V ∽，12CO DO CD OA OB AB ∴===，22()33BO BD a b ∴==-u u u r u u u r r r ，221()333AO AB BO b a b a b =+=+-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r ，111236

OC AO a b ∴==+u u u r u u u r r r . 故选：B.

【点睛】本题考查向量线性运算，难度一般.关键是能通过图形将未知的向量用已知的向量表示出来，这里比例关系的运用很重要.

6.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2578220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列且

77b a =，则212b b 等于（ ） A. 49 B. 32 C. 94 D. 23

【答案】C

【解析】

由题意可得：()()222

5787777722222320a a a a d a a d a a -+=--++=-=， 7730,2a a ≠∴=Q ，则：222127794b b b a ===.

本题选择C 选项.

7.已知x ，y 满足10,0,3,x y x y x --≥??+≥??≤?

则22(1)(2)x y -+-的取值范围是（ ）

A. []5,25

B. []1,25

C. []2,29

D.

5,292??????

【答案】C

【解析】

作出不等式组表示的平面区域，如图所示，()()22

12x y -+-表示点(),x y 与点()1,2P 的距离，()()

2212x y -+-的最小值就是点()1,2P 到直线10x y --=的距离，()()()22221212,1211x y --=-+-+-B 与点P 的距离，由

30x x y =??+=?，可得()3,3B -，()()

22313229PB ∴=-+--=，()()()()2222

21229,21229x y x y ≤-+-≤∴≤-+-≤，()()2212x y ∴-+-的取值范围是[]2,29，故选C.

【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；

（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，或者根据目标函数的几何意义）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

8.若两个正实数x ，y 1

=26m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是

A. (8,2)-

B. (,8)(2,)-∞+∞U

C. (2,8)-

D. (,2)(8,)-∞-+∞U

【答案】C

【解析】

【分析】

=，展开后利用基本不等式即可得解. 【详解】因为两个正实数x ，y 1

=

8816

+==≥+=，

=时取等号，

26m m >-恒成立，故2166m m >-，

解得(2,8)m ∈-．故选C ．

【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用．

9.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*112,(2)n n n a a a n N +=+=∈，则13S =（ ） A. 13243

- B. 13223+ C. 14243- D. 14223

+ 【答案】D

【解析】

【分析】

由12n n n a a ++=并项求和结合等比数列求和即可得解

【详解】由题()()2412

1312312132222S a a a a a =+++++=++++L L ()2

6214214-=+

=- 14223+ 故选：D 【点睛】本题考查数列求和，等比数列求和公式，准确计算是关键，是基础题

10.如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积为1V ，E 为棱1CC 上的点,且113

CE CC =

，三棱锥E －BCD 的体积为2V ，则21V V =（ ）

A. 13

B. 16

C. 19

D. 118

【答案】D

【解析】 【分析】

分别求出长方体1111ABCD A B C D -和三棱锥E －BCD 的体积，即可求出答案.

【详解】由题意，11ABCD V S CC =?，

21111113321318

BCD ABCD ABCD V S CE S CC S CC ????=?==? ???????V ， 则21118

V V =. 故选D.

【点睛】本题考查了长方体与三棱锥的体积的计算，考查了学生的计算能力，属于基础题.

11.若三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，且1PA =，2PB =，

3PC =，则该三棱锥外接球的表面积为（） A. 72π B. 14π C. 28π D. 56π

【答案】B

【解析】

【分析】

将棱锥补成长方体，根据长方体的外接球的求解方法法得到结果.

【详解】根据题意得到棱锥的三条侧棱两两垂直，可以以三条侧棱为长方体的楞，该三棱锥补成长方体，两者的外接球是同一个，外接球的球心是长方体的体对角线的中点处。设球的

半径为 R ，则()2222227123242

R R R ++==?= 表面积为2414.S R ππ==

故答案为：B.

【点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.

12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A. 2+2

B. 2

C. 1+22

D. 5 【答案】A

【解析】

【分析】

先得到几何体的立体图形，再计算表面积. 【详解】

1234511221222222

S S S S S S =++++=+

+++=+ 故答案选A 【点睛】本题考查了几何体的三视图，将三视图还原为立体图是解题的关键.

13.已知点(,)x y 满足1122x y x y x y +≥??-≥-??-≤?

，目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则a

的范围为（ ）

A. (1,2)-

B. (4,2)-

C. (2,1)-

D. (2,4)-

【答案】B

【解析】

【分析】

画出不等式组对应的可行域，分0,0a a >≤两类讨论即可.

【详解】不等式组对应的可行域如图所示：其中()1,0C

若0a >，因目标函数2z

ax y =+仅在点()1,0处取得最小值， 所以动直线22

a z y x =-+的斜率102a -<-<，故02a <<. 若0a ≤，因目标函数2z

ax y =+仅在点()1,0处取得最小值， 所以动直线22

a z y x =-+的斜率022a ≤-<，故40a -

【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如34x y +表示动直线340x y z +-=的横截距的三倍 ，而21

y x +-则表示动点(),P x y 与()1,2-的连线的斜率．含参数的目标函数的最值问题，注意根据斜率分类讨论. 14.已知α∈（π

π4，），若sin2α45

=，则cosα＝（ ） A. 25 25 C. 55 【答案】D

【解析】

【分析】

先根据三角函数的值，缩小α的范围，根据4sin25α=

和22sin cos 1αα+=得到sin a 和cos α

【详解】,4παπ??∈ ???

Q ，2,22παπ??∴∈ ??? 而4sin25α= 22，παπ??∴∈ ???即42ππα??∈ ???

， sin cos 0αα∴>>

22425sin cos 1sin cos αααα?=???+=?，两式相加、相减得()()229sin cos =51sin cos 5αααα?+????-=??

sin cos sin cos αααα?+??∴??-=??

，解得sin cos αα?==????==??

故选D 项. 【点睛】本题考查通过三角函数值的正负缩小角的范围，对三角函数求值，属于中档题.

15.已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且120AOB ∠=?，若

(,)OC OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的取值范围为（ ）

A. [2,2]-

B.

C. D. [1,2] 【答案】D

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系利用设参数用三角函数求解最值即可．

【详解】解：设半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中A （12-

，B （1，0），C （cos θ，sin θ）（其中∠BOC ＝θ203πθ??≤≤ ??? 有OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r （λ，μ∈R ）即：（cos θ，sin θ）＝λ（12-

+μ（1，0）； 整理得：12-λ+μ＝cos θ

；2λ＝sin θ，解得：

λ=，μ＝cos

θ，

则λ+μ3=+cos θ33+

=sin θ+cos θ＝2sin （θ6π+），其中203πθ??≤≤ ???； 易得其值域为[1，2]

故选：D ．

【点睛】本题考查了向量的线性运算，三角函数求值域等知识，属于中档题．

16.已知函数2

()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ?∈，12,(0,)x x e ?∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（）

A. 16(,)e e

B. 746[,)e e

C. 741[,)e e

D. 7

416(0,][,)e e e

U 【答案】B

【解析】

【分析】

对?x ∈（0，e ），f （x ）的值域为[

114，5），g ′（x ）＝a 11ax x x --=，推导出a ＞0，g （x ）min ＝g （1a

）＝1+lna ，作出函数g （x ）在（0，e ）上的大致图象，数形结合由求出实数a 的取值范围．

【详解】当()0,x e ∈时，函数()f x 的值域为11,54??????

.由()11'ax g x a x x -=-=可知：当0a ≤时，()'0g x<，与题意不符，故0a >.令()'0g x =，得1x a

=，则()10,e a ∈，所以()min 11ln g x g a a ??==+ ???

，作出函数()g x 在()0,e 上的大致图象如图所示，

观察可知()111415lna g e ae ?+

故选：B

【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．

第II 卷非选择题部分

二、填空题（每小题5分）

17.设(0,)2π

θ∈，向量(cos ,2)a θ=r ，(1,sin )b θ=-r ，若a b ⊥r r ，则tan θ=__________． 【答案】12

【解析】

从题设可得cos 2sin 0θθ-+=，即1tan 2θ=，应填答案12

。 18.已知数列{}n a 满足11111,111n n

a a a +=-=++，则10a =__________. 【答案】1719

-

【解析】

【分析】 数列11n a ????+??为以12 为首项，1为公差的等差数列。 【详解】因11,a =所以11112

a =+ 又111111n n

a a +-=++ 所以数列11n a ????+?

?为以12 为首项，1为公差的等差数列。 所以11=12

n n a -+

所以1010111917=10==12219

a a -?-+ 故填1719

- 【点睛】本题考查等差数列，属于基础题。

19.已知函数3

2y x x =+-在点P 处的切线平行于直线44y x =-，则点P 的横坐标为_______________．

【答案】1-

【解析】

【分析】

先求出导函数，由切线斜率就是切点处的导数求出切点横坐标．

【详解】由题意2()31x f 'x =+， 2314x +=，1x =±，

1x =时，0y =，点(1,0)在直线44y x =-上，不合题意；

1x =-时，2y =-，切线方程为24(1)y x +=+，即42y x =+符合题意．

故答案－1．

【点睛】本题考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数为函数图象在该点处的切线斜率．

20.已知数列{}n a 的前n 项和1

22n n n S a +=-，若不等式2

23(5)n n n a λ--<-，对n N +?∈恒成立，则整数λ的最大值为______．

【答案】4

【解析】

【详解】当1n =时，21122S a =-，得14a =， 当2n ≥时，122n n n S a -=-，

又122n n n S a +=-，

两式相减得1222n n n n a a a -=--，得122n n n a a -=+，

所以11

122n n n n a a ---=． 又1122a =，所以数列2n n a ??????

是以2为首项，1为公差的等差数列， 12

n n a n =+，即(1)2n n a n =+?． 因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352n

n λ-->． 记122311,,224

n n n b b b -==-=， 2n ≥时，1121

21223462n n n n

n b n n b n ++--==--． 所以3n ≥时，1max 331,()8

n n n b b b b +<==． 所以3

3375,5888

λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4． 考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．

三、解答题

21.已知函数()2

sin22cos f x x x =+． （1）求函数()y f x =的单调递增区间；

（2）求函数()y f x =在区间0,2π??????

上的值域。 【答案】(1)()3,88k k k Z ππππ??-

+∈????

;(2)(

)1f x ??∈+?? 【解析】

【分析】 （1）利用降幂公式、辅助角公式，对()f x 进行化简，得到正弦型函数，然后求其单调区间.

（2）根据（1）中求出的正弦型函数，求出在区间0,

2π??????的值域. 【详解】（1）()2sin22cos f x x x =+sin 2cos21x x =++

214x π??=++ ??

? ()f x 单调递增 222242k x k πππππ-

≤+≤+，k Z ∈ 解得：388

k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 所以()f x 单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ??-+∈???

? （2）由（1）知(

)214f x x π??=++ ??

? 因为0,2x π??∈????，所以52,444x πππ??+∈???? 所以(

)2114f x x π????=++∈ ?????

【点睛】本题考查通过公式的运用对三角函数进行化简，以及正弦型函数的单调区间和值域，属于简单题.

22.已知数列{}n a 为递增的等差数列，其中35a =，且125,,a a a 成等比数列．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设()()1111n n n b a a +=

++记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得n m T 5<成立的m 的最小正整数．

【答案】（1）21n a n =-；（2）2.

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法，设出首项1a 和公差d ，依照题意列两个方程，即可求出{}n a 的通项公式；

（2）由()()1111n n n b a a +=++，容易想到裂项相消法求{}n b 的前n 项和为n T ，然后，恒成立问题最值法求出m 的最小正整数．

【详解】（1）在等差数列中，设公差为d ≠0，

由题意，得， 解得．

∴a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1；

（2）由（1）知，a n ＝2n ﹣1． 则＝， ∴T n ＝＝．

∵T n +1﹣T n ＝＝＞0， ∴{T n }单调递增，而

， ∴要使成立，则，得m ， 又m ∈Z ，则使得成立的m 的最小正整数为2．

【点睛】本题主要考查等差、等比数列的基本性质和定义，待定系数法求通项公式，裂项相消求数列的前n 项和，以及恒成立问题的一般解法，意在考查学生综合运用知识的能力。

23.如图，在四边形ABCD 中，34ABC π∠=，AB AD ⊥，2AB =.

（1）若5AC =ABC ?的面积；

（2）若6ADC π∠=，42CD =，求AD 的长. 【答案】（1）12

；（226【解析】

【分析】

（1）由余弦定理求出BC ，由此能求出△ABC 的面积．

（2）设∠BAC ＝θ，AC=x ，由正弦定理得sin sin 4x AB ABC πθ=∠??- ???从而1=sin 4x πθ??- ???

，在ACD ?

中，由正弦定理得=cos x θ

，建立关于θ的方程，由此利用正弦定理能求出sin∠CAD ．再利用余弦定理可得结果.

【详解】（1）因为34

ABC π∠=

，AB =

，AC = 所以2222cos AC AB BC AB BC B =+-?，即2230BC BC +-=，

所以1BC =.

所以111222

ABC S =?=V . （2）设04BAC πθθ?

?

∠=<< ???，AC x =，则2CAD π

θ∠=-，

在ABC ?中，由正弦定理得：sin sin 4x AB ABC πθ=∠??- ???

， 所以1

sin 4x πθ=??- ???

； ACD ?中，sin sin 62x CD π

πθ=??- ???

，所以cos x θ=.

即1

cos sin 4πθθ=??- ???，化简得：1tan 2θ=，

所以sin cos 5CAD θ∠==

，

所以AC x ===

cos 5CAD ∠=， 所以在ACD ?中，2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-?∠.

即2220AD --=，解得AD =或AD =（舍）.

【点睛】本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，考查了引入角的技巧方法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

24.已知函数22

()3ln ()f x x ax a x a R =-+∈.

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意的2x e ≥（e 为自然对数的底数），()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.

【答案】（I ）当0a ≤时， ()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为0,2a ?? ???和(),a +∞，单调递减区间是,2a a ?? ???

；（II ）)

22,,2e e ???-∞?+∞ ???? 【解析】

【分析】

（Ⅰ）求出()'f x ，分两种情况讨论，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（Ⅱ）对a 分四种情况讨论，分别利用导数求出函数()f x 最小值的表达式，令()f x 最小值不小于零，即可筛选出符合题意的a 的取值范围.

【详解】（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,∞+.

()222

23'23a x ax a f x x a x x -+=-+= ()()2x a x a x

--=. （1）当0a ≤时，()'0f x >恒成立，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；

（2）当0a >时，由()'0f x >解得()0,,2a x a ?

?∈?+∞ ???，由()'0f x <解得,2a x a ??∈ ???

. ∴()f x 的单调递增区间为0,2a ?

? ???和(),a +∞，单调递减区间是,2a a ?? ???

. （Ⅱ）①当0a ≤时，()'0f x >恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增，

∴()()2422320f x f e e ae a ≥=-+≥恒成立，符合题意.

②当0a >时，由（Ⅰ）知，()f x 在0,

2a ?

? ???、(),a +∞上单调递增，在,2a a ?? ???上单调递减. （i ）若202a e <≤，即22≥a e 时，()f x 在2,2a e ??????上单调递增，在,2a a ??????

上单调递减，在(),a +∞上单调递增.

∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需()20f e ≥，且()0f a ≥.

而当22≥a e 时，

()()()2224222320f e a ae e a e a e =-+=--≥且

()()22223ln ln 20f a a a a a a a =-+=-≥成立.

∴22≥a e 符合题意.

（ii ）若22a e a <≤时，()f x 在)2,e a ??上单调递减，在[),a +∞上单调递增.

∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需()0f a ≥即可，

此时()()22223ln ln 20f a a a a a a a =-+=-≥成立，

∴222e a e ≤<符合题意.

（iii ）若2e a >，()f x 在)

2

,e ?+∞?上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需()2422320f e e ae a =-+≥， 即()()()2422223220f e e ae a a e a e =-+=--≥， ∴2

02

e a <≤符合题意. 综上所述，实数a 的取值范围是)22,,2e e ???-∞?+∞ ???

?. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方

即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6g3q.html