离散数学习题集（十五套）

离散数学试题与答案试卷一

3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（ c ）个。

A． 23 ； B． 32 ； C． 23?32?2； D． 3。

5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下

R?{?s,t?|s,t?p(A)?(|s|?|t|}则P（A）/ R=（ d ）

A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}； D．{{?}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}

试卷二试题与答案

1、 设S={a1 ，a2 ，?，a8}，Bi是S的子集，则由B31所表达的子集是 6、设 ?,? 为普通加法和乘法，则（ a ）?S,?,??是域。 A．S?{x|x?a?b3,C．S?{x|x?2n?1,a,b?Q} B．S?{x|x?2n,a,b?Z}

n?Z} D．S?{x|x?Z?x?0}= N 。

1、 设R是A上一个二元关系，

S?{?a,b?|(a,b?A)?(对于某一个c?A,有?a,c??R且?c,b??R)}试证

明若R是A上一个等价关系，则S也是A上的一个等价关系。（9分）

一、 证明 46%

1、（9分）

（1） S自反的

?a?A，由R自反，?(?a,a??R)?(?a,a??R)，??a,a??S

（2） S对称的

?a,b?A?a,b??S?(?a,c??R)?(?c,b??R)?(?a,c??R)?(?c,b??R)??b,a??S（3） S传递的

?S定义?R对称?R传递

?a,b,c?A?a,b??S??b,c??S?(?a,d??R)?(?d,b??R)?(?b,e??R)?(?e,c??R)?(?a,b??R)?(?b,c??R)??a,c??S由（1）、（2）、（3）得；S是等价关系。

?R传递?S定义

试卷三试题与答案

一、 选择 20% （每小题 2分）

1、 设

R

和

S

是

P

上的关系，P

是所有人的集合，

R?{?x,y?|x,y?P?x是y的父亲}，S?{?x,y?|x,y?P?x是y的母亲}则S?1?R表示关系 （ a ）。

}； A、{?x,y?|x,y?P?x是y的丈夫}； B、{?x,y?|x,y?P?x是y的孙子或孙女}。 C、 ?； D、{?x,y?|x,y?P?x是y的祖父或祖母试卷四试题与答案

一、 选择 25% （每小题 2.5分）

1、 公式A??x(P(x)?Q(x))的解释I为：个体域D={2}，P(x)：x>3, Q(x)：x=4则A

的真值为（ a ）。

A、1； B、0； C、可满足式； D、无法判定。 2、 下列等价关系正确的是（ b ）。 A、?x(P(x)?Q(x))??xP(x)??xQ(x)； B、?x(P(x)?Q(x))??xP(x)??xQ(x)； C、?x(P(x)?Q)??xP(x)?Q； D、?x(P(x)?Q)??xP(x)?Q。 3、 下列推理步骤错在（ d ）。 ①?x(F(x)?G(x)) ②F(y)?G(y) ③?xF(x) ④F(y) ⑤G(y) ⑥?xG(x)

P US① P ES③ T②④I EG⑤

A、②；B、④；C、⑤；D、⑥ 1、 五、谓词逻辑推理 15%

符号化语句：“有些人喜欢所有的花，但是人们不喜欢杂草，那么花不是杂草”。并推证

其结论。

五、谓词逻辑推理 15%

解：M(x):x是人;F(x):x是花;G(x):x是杂草;H(x,y):x喜欢y

?x(M(x)??y(F(y)?H(x,y))) ?x(M(x)??y(G(y)??H(x,y))) ??x(F(x)??G(x))

证明：

⑴?x(M(x)??y(F(y)?H(x,y))) ⑵M(a)??y(F(y)?H(a,y)) ⑶M(a)

⑷?y(F(y)?H(a,y))

⑸?x(M(x)??y(G(y)??H(x,y))) ⑹M(a)??y(G(y)??H(a,y)) ⑺?y(G(y)??H(a,y)) ⑻?y(H(a,y)??G(y)) ⑼F(z)?H(a,z) ⑽H(a,z)??G(z) ⑾F(z)??G(z) ⑿?x(F(x)??G(x))

P ES⑴ T⑵I T⑵I P US⑸ T⑶⑹I T⑺E US⑷ US⑻ T⑼⑽I UG⑾

试卷五试题与答案 试卷六试题与答案

一、 填空 15% （每小题 3分）

1、 设n阶图G中有m条边，每个结点的度数不是k的是k+1，若G中有Nk个k度顶

点，Nk+1个k+1度顶点，则N k = n(k+1)-2m 。

试卷七试题与答案

一、填空 15% （每小题 3分）

1. 已知一棵无向树T有三个3顶点,一个2度顶点,其余的都是1度顶点,

则T中有 5 个1度顶点。 试卷八试题与答案

试卷九试题与答案

一、 选择 20% （每小题 2分）

1、 设S={N，Q，R}，下列命题正确的是（ c ）。 A、2?N,N?S 则2?S； B、N?Q,Q?S 则N?S； C、N?Q,Q?R 则N?R； D、??N,??S 则??N?S。 2、 下列语句不是命题的有（ ae ）。

A、 x=13； B、离散数学是计算机系的一门必修课； C、鸡有三只脚； D、太阳系以外的星球上有生物； E、你打算考硕士研究生吗？ 3、 下列关系中能构成函数的是（ b ）。

2{?x,y?|(x,y?N)?(x?y?10)}{?x,y?|(x,y?R)?(y?x)}； A、；B、

{?x,y?|(x,y?I)?(x?ymod3)}。{?x,y?|(x,y?R)?(y?x)}；C、 D、

10、N是自然数集，定义f:N?N, f(x)?(x) mod3（即x除以3的余数），

则f是（ d ）。

A、满射不是单射；B、单射不是满射；C、双射；D、不是单射也不是满射。 试卷十试题与答案

2一、 填空 10% （每小题 2分）

P?Q真值为1，1、 若P，Q为二命题，当且仅当 。

2、 对公式(?yP(x,y)??zQ(x,z))??xR(x,y)中自由变元进行代入的 公

为 。 3、 ?xF(x)??(?xG(x))的

前

束

范

式式

为 。

4、 设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A（x）关于y的自由的，

则

被称为全称量词消去规则，记为US。

5、 与非门的逻辑网络为

。

二、 选择 30% （每小题 3分）

1、 下列各符号串，不是合式公式的有（ ）。 A、(P?Q)??R； B、((P?Q)?(R?S)； C、P?Q??R； D、(?(P?Q)?R)?S。 2、 下列语句是命题的有（ ）。

A、2是素数；B、x+5 > 6；C、地球外的星球上也有人；D、这朵花多好看呀！。 3、 下列公式是重言式的有（ ）。

A、?(P?Q)；B、(P?Q)?Q；C、?(Q?P)?P；D、(P?Q)?P 4、 下列问题成立的有（ ）。

A、 若A?C?B?C，则A?B； B、若A?C?B?C，则A?B； C、若?A??B，则A?B； D、若A?B，则?A??B。 5、 命题逻辑演绎的CP规则为（ ）。 A、 在推演过程中可随便使用前提；

B、在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果；

C、如果要演绎出的公式为B?C形式，那么将B作为前提，设法演绎出C； D、设?(A)是含公式A的命题公式，B?A，则可用B替换?(A)中的A。 6、 命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为（ ）。 设D：全总个体域，F（x）：x是花，M(x) ：x是人，H(x,y)：x喜欢y

A、?x(M(x)??y(F(y)?H(x,y)))；B、?x(M(x)??y(F(y)?H(x,y)))； C、?x(M(x)??y(F(y)?H(x,y)))；D、?x(M(x)??y(F(y)?H(x,y)))。 7、 公式?x?y(P(x,y)?Q(y,z))??xP(x,y)换名（ ）。

A、?x?u(P(x,u)?Q(u,z))??xP(x,y)；B、?x?y(P(x,u)?Q(u,z))??xP(x,u)；

?x?y(P(x,y)?Q(y,z))??xP(x,u)；?u?y(P(u,y)?Q(y,z))??uP(u,y)。C、D、

8、 给定公式?xP(x)??xP(x)，当D={a,b}时，解释（ ）使该公式真值

为0。

A、P(a)=0、P(b)=0；B、P(a)=0、P(b)=1；C、P(a)=1、P(b)=0；D、P(a)=1、P(b)=1 9、 下面蕴涵关系成立的是（ ）。 A、?xP(x)??xQ(x)??x(P(x)?Q(x))； B、?xP(x)??xQ(x)??x(P(x)?Q(x))； C、?xP(x)??xQ(x)??x(P(x)?Q(x))；

D、?x?yA(x,y)??y?xA(x,y)。 10、下列推理步骤错在（ ）。 ①?y?yF(x,y) ②?yF(z,y) ③F(z,c) ④?xF(x,c) ⑤?y?xF(x,y)

P US① ES② UG③ EG④

A、①→②；B、②→③；C、③→④；D、④→⑤。

三、 逻辑判断 28%

1、（8分）下列命题相容吗？A?B, ?(B?C), A

2、（10分）用范式方法判断公式 (P?Q)?(P?R),P?Q?R 是否等价。 3、（10分）下列前提下结论是否有效？

今天或者天晴或者下雨。如果天晴，我去看电影；若我去看电影，我就不看书。故我在看书时，说明今天下雨。

四、 计算 12%

1、（5分）给定3个命题：P：北京比天津人口多；Q：2大于1；R：15是素数。 求复合命题：(Q?R)?(P??R)的真值。

2、（7分）给定解释I：D={2，3}，L（x,y）为L( 2 , 2 ) = L ( 3 , 3 ) = 1 , L ( 2 , 3 ) = L (3 , 2 )=0 ,求谓词合式公式?y?xL(x,y)的真值。

五、 逻辑推理20%

1、（10分）所有有理数是实数，某些有理数是整数，因此某些实数是整数。

2、（10分）符号化语句：“有些病人相信所有的医生，但是病人都不相信骗子，所以医生都不是骗子”。并推证其结论。 答案

二、 填空 15%（每小题3分）

(?yP(u,y)??zQ(u,z))??xR(x,v)；?x(F(x)??G(x))；1、P，Q的真值相同；2、3、

4、?xA(x)?A(y)；5、

三、 选择 30%（每小题 3分）

题目 1 2 3 B 4 C、D 5 C 。

6 D 7 A 8 9 10 C 答案 B、C A、C

四、 逻辑判断 28% 1、（8分） ①A?B ②A ③B ④?(B?C) ⑤?B??C ⑥?B ⑦F

B、C B、D P P T①②I P T④E T⑤I T③⑥I

所以A?B, ?(B?C), A不相容。

2、（10分）

(P?Q)?(P?R)?(?P?Q)?(?P?R)?((?P?Q)?(R??R))?((?P?R)?(Q??Q))?(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P??Q?R)?M100?M101?M110P?Q?R??P?(Q?R)?(?P?Q)?(?P?R)?((?P?Q)?(R??R))?((?P?R)?(Q??Q))?(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P??Q?R)?(?P?Q?R)?(?P?Q??R)?(?P?Q?R)?M100?M101?M110所以两式等价。

3、设P：今天天晴，Q：今天下雨，R：我不看书，S：我看电影 符号化为：P?Q , P?S,①P?S ②S?R ③P?R ④?R??P

P P T①②I T③I

S?R??R?Q

⑤P?Q ⑥?P?Q ⑦?R?Q 结论有效。

五、 计算 12%

P T⑤E T④⑥I

1、（5分）解：P，Q是真命题，R是假命题。

(Q?R)?(P??R)?(1?0)?(1?1)?0?1?0

2、（7分）

?y?xL(x,y)??y(L(2,y)?L(3,y))?(L(2,2)?L(3,2))?(L(2,3)?L(3,3))?(1?0)?(0?1)?0?0?0

六、

1、（10分）解：设R(x)：x是实数，Q(x)：x是有理数，I(x)：x是整数 符号化：前提：?x(Q(x)?R(x))，?x(Q(x)?I(x))结论：?x(R(x)?I(x)) ①?x(Q(x)?I(x)) ②Q(c)?I(c) ③?x(Q(x)?R(x)) ④Q(c)?R(c) ⑤Q(c) ⑥R(c) ⑦I(c) ⑧R(c)?I(c) ⑨?x(R(x)?I(x))

P ES① P US③ T②I T④⑤I T②I T⑥⑦I EG⑧

逻辑推理 20%

2、解：F(x)：x是病人，G(x)：x是医生，H(x)：x是骗子，L(x,y)：x相信y

符号化：前提：?x(F(x)??y(G(y)?L(x,y)))?x(F(x)??y(H(y)??L(x,y))) 结论：?x(G(x)??H(x)) ⑴?x(F(x)??y(G(y)?L(x,y))) ⑵F(a)??y(G(y)?L(a,y)) ⑶F(a)

P ES⑴ T⑵I

⑷?y(G(y)?L(a,y))

⑸?x(F(x)??y(H(y)??L(x,y))) ⑹F(a)??y(H(y)??L(a,y)) ⑺?y(H(y)??L(a,y)) ⑻?y(L(a,y)??H(y)) ⑼G(z)?L(a,z) ⑽L(a,z)??H(z) ⑾G(z)?H(z) ⑿?x(G(x)??H(x)) 卷十一试题与答案

T⑵I P US⑸ T⑶⑹I T⑺E US⑷ US⑻ T⑼⑽I UG⑾

一、 填空 20% （每小题 2分）

1、 称为命题。 2、命题P→Q的真值为0，当且仅当 。 3、一个命题含有4个原子命题，则对其所有可能赋值有 种。 4、所有小项的析取式为 。 5、令P（x）：x是质数，E（x）：x是偶数，Q（x）：x是奇数，D（x，y）：x除尽y. 则

?x(E(x)??y(D(x,y)?E(y)))的汉语翻译为

。

6、设S={a，b, c} 则S6的集合表示为 。 7

、

P

（

P(?)）

= 。 8

、

A?B。

=

9、设R为集合A上的关系，则t（R）= 。 10

、

若

R

是

集

合

A

上

的

偏

序

关

系

，

则

R

满

足 。

二、 选择 20% （每小题 2分）

1、 下列命题正确的有（ ）。

A、 若g,f是满射，则g?f是满射； B、若g?f是满射，则g,f都是满射； C、若g?f是单射，则g,f都是单射；D、若g?f单射，则f是单射。 2、 设f，g是函数，当（ ）时，f=g 。

A、?x?domf 都有 f(x)?g(x)； B、domg?domf 且 f?g； C、f与g的表达式相同； D、domg?domf,rangef?rangef。 3、 下列关系，（ ）能构成函数。

A、f?{?x1,x2?|x1,x2?N且x1?x2?10}； B、f?{?x1,x2?|x1,x2?R,x1?x2}；

2}； C、f?{?x1,x2?|x1,x2?N,x2为小于x1的素数的个数 D、f?{?x,x?|x?R}。

4、 下列函数（ ）满射；（ ）单射；（ ）双射（ ）；

一般函数（ ）。

A、f:N?N,f(x)?x?2； B、f:N?N,f(x)?x(mod3)（x除以3的余数）；

2f:N?{0,1},C、

?1x?偶数集f(x)???0x?奇数集；D、f:R?R,f(x)?2x?5。

5、 集合A={1，2，3，4}上的偏序关系为，则它的Hass图为（ ）。

6、 设集合A={1，2，3，4，5}上偏序关系的Hass图为

则子集B={2，3，4}的最大元（ ）；最小元（ ）；极大元（ ）；极小元（ ）；上界（ ）；上确界（ ）；下界（ ）；下确界（ ）。

A、 无，4，2、3，4，1，1，4，4； B、无，4、5，2、3，4、5，1，1，4，4； C、无，4，2、3，4、5，1，1，4，4； D、无，4，2、3，4，1，1，4，无。 7、 设R，S是集合A上的关系，则下列（ ）断言是正确的。

A、 R,S自反的，则R?S是自反的；B、若R,S对称的，则R?S是对称的； C、若R,S传递的，则R?S是传递的；D、若R,S反对称的，则R?S是反对称的 8、 设X为集合，|X|=n，在X上有（ ）种不同的关系。

2nA、n； B、2； C、2； D、2。

2

n

n29、 下列推导错在（ ）。 ①?x?y(x?y) ②?y(z?y) ③(z?Cz) ④?x(x?x)

P US① ES② UG③

A、②； B、③； C、④； D、无。

10、“没有不犯错误的人”的逻辑符号化为（ ）。 设H（x）：x是人， P（x）：x犯错误。

A、?x(H(x)?P(x))； B、?(?x(H(x)??P(x)))； C、?(?x(H(x)??P(x)))； D、?x(H(x)?P(x))。

三、 命题演绎28%

1、（10分）用反证法证明(P?Q)?(P?R)?(Q?S)?S?R。 2、（8分）用CP规则证明P?(Q?R),R?(Q?S)?P?(Q?S)。

3、（10分）演绎推理：所有的有理数都是实数，所有的无理数也是实数，虚数不是实数。

因此，虚数既不是有理数，也不是无理数。

四、 8%

将wff?x(?(?yP(x,y))?(?zQ(z)?R(x)))化为与其等价的前束范式。

五、8%

A={a,b,c,d}，R={,,,}为A上的关系，利用矩阵乘法求R的传递闭包，并画出t（R）的关系图。

六、证明16%

1、 （8分）设A={1，2，3，4}，在 P（A）上规定二元关系如下：

R?{?s,t?|s,t? P（A）?(|s|?|t|)}

证明R是P（A）上的等价关系并写出商集P（A）/R。 2、 （8分）设f是A到A的满射，且f?f?f，证明f=IA 。 答案

一、 填空 20%（每小题2分）

1、 能够断真假的阵述句；2、P的真值为1，Q的真值为0；3、24=16；4、永真式； 5、任意两数x、y,如果x是偶数且能除尽y，则y一定是偶数；6、S110={a,b}；

7、；8、；9、；

10、自反性、反对称性、传递性

二、选择 20%（每小题 2分）

题目 答案

三、命题演绎 28% 1、（10分）证明： ⑴⑵⑶

P（附加前提） T⑴E P

1 A、D 2 B 3 4 5 C 6 A 7 A 8 D 9 C 10 B、D C、D C、D；A、D；D；B ⑷ T⑶E ⑸

P

⑹ T⑷⑸E ⑺

T⑹E ⑻

T⑺I ⑼ T⑵⑻I ⑽ P ⑾ T⑽E

⑿

T⑾E ⒀

T⑼⑿I

2、（8分） ①

P（附加前提） ②

P ③

T①②I ④ P ⑤

T③④I ⑥

T⑤E ⑦

CP

3、证明：设Q（x）：x是有理数，R(x)：x是实数，N(x)：x是无理数，前提：

结论：

⑴

P ⑵

US⑴ ⑶ P ⑷

US⑶ ⑸ P ⑹ US⑸ ⑺ T⑹E ⑻

T⑵⑺I C(x)：x是虚数。

⑼⑽⑾⑿

四、 8% 解：

T⑷⑺I T⑻⑼I T⑽E UG⑾

五、8% 解：

所以t（R）={,,,,,,,,}

关系图为

六、证明16% 1、（8分） 证明：⑴⑵⑶

P（A），由于P（A），若P（A），若：

，所以，则

，即R自反的。 ，，即：

，R是对称的。

所以R是传递的。

由⑴⑵⑶知，R是等价关系。

P（A）/R = {[

2、（8分）

]R，[{1}]R，[{1，2}]R，[{1，2，3}]R，[{1，2，3，4}]R}

证明：因为f是满射，所以

即

所以

卷十二试题与答案

，又

，存在使得 由

，又因为f是函数，所以

，所以

由a的任意性知：f=IA 。

五、 填空 20% （每空 2分）

1、 设集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，定义A上的二元关系“≤”为

x ≤ y = x|y , 则x?y= 。 2、 设A?{x|x?2,n?N}，定义A上的二元运算为普通乘法、除法和加法，则代

数系统中运算*关于 运算具有封闭性。 3、 设集合S={α，β，γ，δ，δ}，S上的运算*定义为

* α β γ δ α α β γ δ β β δ α α γ γ α β γ δ δ γ α δ δ δ δ β γ n

δ

δ δ α γ δ 则代数系统中幺元是 ，β左逆元是 ， 无左逆元的元素是 。

4、 在群坯、半群、独异点、群中 满足消去律。 5、 设是由元素a?G生成的循环群，且|G|=n，

则G = 。 6、 拉格朗日定理说明若是群的子群，则可建立G中的等价关系

R= 。

若|G|=n, |H|=m 则m和n关系为 。 7、 设f是由群到群的同态映射，e?是G?中的幺元，

则f的同态核Ker(f )= 。

六、 选择 20% （每小题 2分）

1、设f是由群到群的同态映射，则ker (f)是（ ）。

A、G?的子群； B、G的子群 ； C、包含G?； D、包含G。

2、设 是环，?a,b?A，a·b的关于“+”的逆元是（ ）。

A、(-a)·(-b)； B、(-a)·b； C、a·(-b)； D、a·b 。

3、设 是一代数系统且是Abel群，如果还满足（ ）是域。

A、是独异点且·对+可分配；

B、是独异点，无零因子且·对+可分配； C、是Abel群且无零因子 ； D、是Abel且·对+可分配。

4、设是一代数系统，+、·为普通加法和乘法运算，当A为（ ）

时，是域。

} ；{x|x?a?b35,a,b均为有理数}；A、 {x|x?a?b5,a,b均为有理数B、

C、

{x|x?a,a,b?I?,且a?kb}b ； D、{x|x?0，x?I}。

5、设是一个格，由格诱导的代数系统为?A ,? ,??，则（ ）成立。

A、?A,?,??满足?对?的分配律；B、?a,b?A,a?b?a?b?b； C、 ?a,b,c?A,若a?b?a?c 则b?c ； D、?a,b?A,有a?(a?b)?b且 a?(a?b)?b。

6、设是偏序集，“?”定义为：?a,b?A,a?b?a|b，则当A=（ ）

时，是格。

A、{1,2,3,4,6,12}； B、{1,2,3,4,6,8,12,14}； C、{1,2,3,?，12}； D、{1,2,3,4}。 7、设?A ,? ,??是由格诱导的代数系统，若对?a,b,c?A，当b?a时，

有（ ）是模格。 A、a?(b?c)?b?(a?c)； B、c?(a?c)?a?(b?c)； C、a?(b?c)?b?(a?c)； D、c?(a?c)?b?(a?c)。 8、在（ ）中，补元是唯一的。

A、有界格； B、有补格； C、分配格； D、有补分配格。

9、在布尔代数?A ,? ,?,??中，b?c?0当且仅当（ ）。

A、b?c； B、c?b； C、b?c； D、c?b。

10、设?A ,? ,?,??是布尔代数，f是从An到A的函数，则（ ） 。 A、 f是布尔代数； B、f能表示成析取范式，也能表示成合取范式； C、若A={0，1}，则f一定能表示成析取范式，也能表示成合取范式； D、若f是布尔函数，它一定能表示成析（合）取范式。

三、8%

设A={1，2}，A上所有函数的集合记为AA, ?是函数的复合运算，试给出AA上运算?的运算表，并指出AA中是否有幺元，哪些元素有逆元。

四、证明42%

1、 设是一个代数系统，*是R上二元运算，?a,b?R是幺元且是独异点。（8分）

a*b?a?b?a?b，则0

n2、 设是n阶循环群，G=(a)，设b=ak，k?I?则 元素b的阶为d，这里d=GCD ( n ,

k )。（10分）

3、 证明如果f是由到的同态映射，g是由到的同态映射，则g?f是由到的同态映射。（6分）

4、 设是一个含幺环，且任意a?A都有a·a=a，若|A|≥3则不

可能是整环。（8分）

5、 K={ 1, 2 , 5 , 10 , 11 , 22 , 55 ,110 }是110的所有整因子的集合，证明：具有全上界110

和全下界1的代数系统< K , LCM , GCD , ˊ >是一个布尔代数。（（10分）

?x?K,x??110x）。

五、布尔表达式 10%

},?,?,设E(x1,x2,x3)?(x1?x2)?(x2?x3)?(x1?x3)是布尔代数?{0,1的一个布尔表达式，试写出其析取范式和合取范式。（10分） 答案：

?上

一、填空 20%（每空2分）

1、LCM（x,y）；2、乘法；3、α、δ，γ、δ；4、群；5、G?{a,a,?a?12n?1，an?e}；

6、{?a,b?|a?G,b?G,a*b?H}、m/n；7、{x|x?G 且 f(x)?e?}

二、选择 20%（每小题 2分） 题目 答案

三、8%

解：因为|A|=2，所以A上共有22=4个不同函数。令A?{f1,f2,f3,f4}，其中：

A1 B 2 B，C 3 D 4 A 5 B 6 A 7 A 8 D 9 C 10 C，D f1(1)?1,f1(2)?2;f2(1)?1,f2(2)?1;f3(1)?2,f3(2)?2;f3 f4(1)?2,f4(2)?1

? f1 f2 f3 f1 f2 f4 f1 f2 f3 f2 f2 f3 f3 f4 f2 f3 f2 f3 f4 四、证明 42%

1、（8分） 证明：

f3 f3 f2 f1 f1为AA中的幺元，f1和f4有逆元。

[幺] ?a?R ，0*a?0?a?0?a?a,a*0?a?0?a?0

即 0*a?a*0?a?0为幺元

[乘] ?a,b?R，由于+，·在R封闭。所以a*b?a?b?a?b?R即*在R上封闭。 [群] ?a,b,c?R

(a*b)*c?(a?b?a?b)*c?a?b?a?b?c?(a?b?a?b)?c?a?b?c?a?b?a?c?b?c?a?b?ca*(b*c)?a?b?c?a?b?a?c?b?c?a?b?c所以(a*b)*c?a*(b*c)因此 ， 〈R，*〉是独异点。 2、（10分）

证明：（1）?d?GCD(n,k),设n?d?n1,k?d?k1

?e?ank1?adn1k1?akn1?bn1

（2）若b的阶不为n1，则b阶m

?an由（1）、（2）知，元素b的阶为d

3、（6分）

akm?e,adk1n1e?e，即adn1k1enk1e?e，?k1有因子l，这与d?GCD(n,k)矛盾。

?a,b?A,g?f(a☆b)?g(f(a☆b))?g(f(a)*f(b))?g(f(a))△g(f(b))?g?f(a)△g?f(b) 所以g?f是由到的同态映射。

4、（8分）

证明：反证法：如果是整环，且|A|≥3，则?a?A,a??,a?1且a?a?a 即有a??,a?1??且a?(a?1)?a?a?a?a?a??，这与整环中无零因子矛盾。

所以不可能是整环。 5、（10分）

（1） 代数系统 是由格

诱导的，其Hasst图为

Hass图中不存在与五元素格和

同构的子格。

所以格是分配格。 （2）?x?K,?x??100/x使得:LCM(x,x?)?110,GCD(x,x?)?1

如:22??即任元素都有补元，所以有补格。 是布尔代数。

110?5,LCM(22,5)?110,GCD(22,5)?122

五、布尔表达式 10%

解：函数表为： x1 0 0 0 0 1 1 1 1 x2 0 0 1 1 0 0 1 1 x3 0 1 0 1 0 1 0 1 E(x1,x2,x3) 0 1 1 1 1 1 1 0 E(x1,x2,x3)?(x1?x2?x3)?(x1?x2?x3)?(x1?x2?x3)析取范式：

?(x1?x2?x3)?(x1?x2?x3)?(x1?x2?x3)

合取范式：E(x1,x2,x3)?(x1?x?2x3)?(x1?x2?x3)

试卷十三试题与答案

七、 填空 10% （每小题 2分）

1、Z?{x|x?Z?x?0}，*表示求两数的最小公倍数的运算（Z表示整数集合），对于*

运算的幺元是 ，零元是 。 2、代数系统中，|A|>1，如果e和?分别为的幺元和零元，

则e和?的关系为 。

3、设是一个群，是阿贝尔群的充要条件是 。

?4、图的完全关联矩阵

为 。 5

、

一

个

图

是

平

面

图

的

充

要

条

件

是 。

八、 选择 10% （每小题 2分）

1、 下面各集合都是N的子集，（ ）集合在普通加法运算下是封

闭的。

A、{x | x 的幂可以被16整除}； B、{x | x 与5互质}； C、{x | x是30的因子}； D、{x | x是30的倍数}。

2、 设G1??{0,1,2},??，G2??{0,1},*?，其中?表示模3加法，*表示模2乘法，

则积代数G1?G2的幺元是（ ）。 A、<0,0>； B、<0,1>； C、<1,0>； D、<1,1> 。

3、 设集合S={1,2,3,6}，“≤”为整除关系，则代数系统< S , ≤ >是（ ）。

A、域； B、格，但不是布尔代数； C、布尔代数； D、不是代数系统。 4、 设n阶图G有m条边，每个结点度数不是k就是k+1，若G中有Nk个k度结点，

则Nk=（ ）。

A、n·k； B、n(k+1)； C、n(k+1)-m； D、n(k+1)-2m 。 5、 一棵树有7片树叶，3个3度结点，其余全是4度结点，

则该树有（ ）个4度结点。

A、1； B、2； C、3； D、4 。

三、判断10% （每小题 2分）

1、（ ）设S={1,2}，则S在普通加法和乘法运算下都不封闭。

2、（ ）在布尔格中，对A中任意原子a，和另一非零元b，在a?b或a?b中

有且仅有一个成立。

3、（ ）设S?{x|x?Z?x?0}?N，+,·为普通加法和乘法，则是域。 4、（ ）一条回路和任何一棵生成树至少有一条公共边。

5、（ ）没T是一棵m叉树，它有t片树叶，i个分枝点，则(m-1)i = t-1。

四、证明 38%

1、（8分）对代数系统，*是A上二元运算，e为A中幺元，如果*是可结合的且每个元素都有右逆元，则（1）中的每个元素在右逆元必定也是左逆元。

（2）每个元素的逆元是唯一的。

2、（12分）设?A ,? ,?,??是一个布尔代数，如果在A上定义二元运算☆，为

a☆b?(a?b)?(a?b)，则是一阿贝尔群。

3、（10分）证明任一环的同态象也是一环。 4、（8分）若G??V,E?(V?v,E?e)是每一个面至少由k(k≥3)条边围成的连通

平面图，则

e?k(v?2)k?2。

五、应用 32%

1、 （8分）某年级共有9门选修课程，期

末考试前必须提前将这9门课程考完，每人每天只在下午考一门课，若以课程表示结点，有一人同时选两门课程，则这两点间有边（其图如右），问至少需几天？

2、 用washall方法求图的可达矩阵，并判断图的连通性。（8分）

3、 设有a、b、c、d、e、f、g七个人，他们分别会讲的语言如下：a：英，b：汉、英，c：

英、西班牙、俄，d：日、汉，e：德、西班牙，f：法、日、俄，g：法、德，能否将这七个人的座位安排在圆桌旁，使得每个人均能与他旁边的人交谈？（8分） 4、 用 Huffman算法求出带权为2，3，5，7，8，9的最优二叉树T，并求W（T）。

若传递a ，b， c， d ，e， f 的频率分别为2%， 3% ，5 %， 7% ，8% ，9%求传输它的最佳前缀码。（8分） 答案：

七、 填空 10%（每小题2分）

1、1， 不存在；2、e??；3、?a,b?G有(a*b)*(a*b)?(a*a)*(b*b)； 4、

e1 1 -1 e2 1 0 e3 1 0 e4 0 0 e5 0 1 v1 v2 v3 0 0 -1 0 0 -1 1 -1 -1 0 v4

5、它不包含与K3, 3或K5在2度结点内同构的子图。 八、 选择 10%（每小题 2分）

题目 答案

九、 判断 10%

题目 答案

十、 证明 38% 1、（8分）证明：

（1）设a,b,c?A，b是a的右逆元，c是b的右逆元，由于b*(a*b)?b*e?b，

1 Y 2 Y 3 N 4 N 5 N 1 A，D 2 B 3 C 4 D 5 A e?b*c?b*(a*b)*c?(b*a)*(b*c)?(b*a)*e?b*a

所以b是a的左逆元。

（2）设元素a有两个逆元b、c，那么

b?b*e?b*(a*c)?(b*a)*c?e*c?c

a的逆元是唯一的。 2、（12分）证明：

[乘]??，?，?在A上封闭，? 运算☆在A上也封闭。 [群] ?a,b,c?A

(a☆b)☆c?((a?b)?(a?b))☆c?(((a?b)?(a?b))?c)?((a?b)?(a?b)?c)?(a?b?c)?(a?b?c)?((a?b)?(a?b)?c)?(a?b?c)?(a?b?c)?(((a?b)?(a?b))?c)?(a?b?c)?(a?b?c)?(a?b?c)?(a?b?c)同理可得:a☆(b☆c)?(a?b?c)?(a?b?c)?(a?b?c)?(a?b?c)

?(a☆b)☆c?a☆(b☆c) 即☆满足结合性。

[幺] ?a?A,a☆0?0☆a?(0?a)?(0?a)?0?(1?a)?0?a?a 故全下界0是A中关于运算☆的幺元。

[逆] ?a?A,(a☆a)?(a?a)?(a?a)?0?0?0 即A中的每一个元素以其自身为逆元。

[交] a☆b?(a?b)?(a?b)?(b?a)?(b?a)?b☆a 即运算☆具有可交换性。 所以是Abel群。 3、(10分) 证明:

设?A,?,??是一环,且?f(A),?,??是关于同态映射f的同态象。 由?A,??是Abel群，易证?f(A),??也是Abel群。

?A,??是半群，易证?f(A),??也是半群。

现只需证：?对?是可分配的。

?b1,b2,b3?f(A),则必有相应的a1,a2,a3使得:f(ai)?bi,i?1,2,3b1?(b2?b3)?f(a1)?(f(a2)?f(a3))?f(a1)?(f(a2?a3))?f(a1?(a2?a3))?f((a1?a2)?(a1?a3))?f(a1?a2)?f(a1?a3)?(f(a1)?f(a2))?(f(a1)?f(a3))?(b1?b2)?(b1?b3)

同理可证(b2?b3)?b1?(b2?b1)?(b3?b1) 因此?f(A),?,??也是环。 5、（8分）证明：

设G有r个面，

r??deg(ri)?2e,而deg(ri)?k(1?i?r)?2e?kr即ri?1而v?e?r?2,故v?e?2rk(vk?2即e???2)k?2 。

十一、 应用32%

1、（8分）

解：?(G)即为最少考试天数。

用Welch-Powell方法对G着色：v9v3v7v1v2v4v5v8v6 第一种颜色的点 v9v1v4v6，剩余点v3v7v2v5v8 第二种颜色的点 v3v7v5，剩余点v2v8 第三种颜色的点 v2v8 所以?(G)≤3

于是?2ek

任v2v3v9构成一圈，所以?(G)≥3 故?(G)=3

所以三天下午即可考完全部九门课程。 2、（8分）

?0??1A(G)??0??0?解：

000111001??0?1??0??

000111001??0??1??1A??01?????10?； i?2： A[4，2]=1，?0001111111011??1?1??1??

000111011??1?1??1??

?0??1A??0??0i? 1：A[2，1]=1，??0??1A??0??1i?3： A[1，3]=A[2，3]=A[4，3]=1，??1??1A??1??1i?4： A[k，4]=1，k=1，2，3，4，?和弱连通。 3、（8分）

11111??1?1??1??

p中的各元素全为1，所以G是强连通图，当然是单向连通

解：用a,b,c,d,e,f,g 7个结点表示7个人，若两人能交谈可用一条无向边连结，所得无向图为

此图中的Hamilton回路即是圆桌安排座位的顺序。 Hamilton回路为a b d f g e c a。

4、（8分） 解：(1)

W(T)?2?4?3?4?5?3?9?2?7?2?8?2?83

（1） 用0000传输a、0001传输b、001传输c、01传输f、10传输d、11传输e 传输它们的最优前缀码为{0000，0001，001，01，10，11} 。

试卷十四试题与答案

九、 填空 10% （每小题 2分）

1、 设?A,?,?,??是由有限布尔格?A,??诱导的代数系统，S是布尔格

?A,??，中所有原子的集合，则

?A,?,?,??～ 。

2、 集合S={α，β，γ，δ}上的二元运算*为

* α β γ δ

那么，代数系统中的幺元是 , α的逆元是 。 3、 设I是整数集合，Z3是由模3的同余类组成的同余类集，在Z3上定义+3如下：

α δ α β α β α β γ δ γ β γ γ γ δ γ δ γ δ [i]?3[j]?[(i?j)mod3]，则+3的运算表为 ；

是否构成群 。

4、 设G是n阶完全图，则G的边数m= 。

5、 如果有一台计算机，它有一条加法指令，可计算四数的和。现有28个数需要计算

和，它至少要执行 次这个加法指令。

十、 选择 20% （每小题 2分）

1、 在有理数集Q上定义的二元运算*，?x,y?Q有x*y?x?y?xy，

则Q中满足（ ）。

A、 所有元素都有逆元； B、只有唯一逆元； C、?x?Q,x?1时有逆元x； D、所有元素都无逆元。

?1

2、 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是（ ）。

A、 半群，但不是独异点； B、只是独异点，但不是群； C、群； D、环，但不是群。

3、图 给出一个格L，则L是（ ）。

A、分配格； B、有补格； C、布尔格； D、 A,B,C都不对。

3、 有向图D=

条。

A、0； B、1； C、2； D、3 。

，则v1到v4长度为2的通路有（ ）

4、 在Peterson图

图。

中，至少填加（ ）条边才能构成Euler

A、1； B、2； C、4； D、5 。

十一、 判断 10% （每小题 2分）

1、 在代数系统中如果元素a?A的左逆元ae存在，

则它一定唯一且a?1?1?ae。（ ）

?12、 设是群的子群，则中幺元e是中幺元。（ ） 3、 设A?{x|x?a?b3,a,b均为有理数}， +,·为普通加法和乘法，则代数系

统是域。（ ）

4、 设G=是平面图，|V|=v, |E|=e，r为其面数，则v-e + r=2。（ ） 5、 如果一个有向图D是欧拉图，则D是强连通图。（ ）

四、证明 46%

??A，使得x?*x?e， 1、 设，是半群，e是左幺元且?x?A,?x则是群。（10分）

2、 循环群的任何非平凡子群也是循环群。（10分）

3、 设aH和bH是子群H在群G中的两个左陪集，证明：要末aH?bH??，要末

aH?bH。（8分）

4、 设，是一个含幺环，|A|>3，且对任意?a?A，都有a?a?a，则

不可能是整环（这时称是布尔环）。（8分） 5、 若图G不连通，则G的补图G是连通的。（10分）

五、布尔表达式 8%

设

E(x1,x2,x3)?(x1?x2)?(x2?x3)?(x2?x3)是布尔代数

?{0,1},?,?,?上的一个布尔表达式，试写出其的析取范式和合取范式。

六、图的应用 16%

1、 构造一个结点v与边数e奇偶性相反的欧拉图。（6分）

2、 假设英文字母，a，e，h，n，p，r，w，y出现的频率分别为12%，8%，15%，7%，6%，

10%，5%，10%，求传输它们的最佳前缀码，并给出happy new year的编码信息。（10分）

答案

十二、 填空 10%（每小题2分）

+3 [0] [1] [2]

十三、 选择 10%（每小题 2分） 题目 答案

十四、 判断 10%（每小题2分） 题目 答案

十五、 证明 46%

1、（10分）证明：

（1）?a,b,c?A,若a*b?a*c则b?c

1 N 2 Y 3 Y 4 N 5 Y 1 C 2 B 3 D 4 B 5 D [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] 1、

?,?,~>；2、β

，γ；3、

1n(n?1)24、；5、9

?使a?*(a*b)?a?*(a*c)事实上:?a*b?a*c??a?*a)*b?(a?*a)*c,?e*b?e*c(a即:b?c(2) e 是之幺元。

事实上：由于e是左幺元，现证e是右幺元。

?使x?*(x*e)?(x?*x)*e?e*e?e?x?*x?x?A,x*e?A,?x由(1)即x*e?x,?e为右幺元?1?x?A,则x?A （3）

?)*x?x*(x?*x)?x*e?x?e*x事实上:?x?A(x*x??e故有x?*x?x*x??e?x有逆元x?x*x

由（2），（3）知：为群。 2、（10分）证明：

设是循环群,G=(a)，设是的子群。且S?{e},S?G，则存在最小正整数m，

ml使得：a?S，对任意a?S，必有l?tm?r,0?r?m,t?0，

故：a?arl?tm?al*a?tm?al*(am)?t?S 即：al?ar*(am)t?S

lmtrm所以a?S但m是使a?S的最小正整数，且0?r?m，所以r=0即：a?(a)

这说明S中任意元素是a的乘幂。 所以是以a为生成元的循环群。 3、（8分）证明：

对集合aH和bH，只有下列两种情况： （1）aH?bH??； （2）aH?bH??

对于aH?bH??，则至少存在h1,h2?H，使得ah1?bh2，即有a?bh2h1，这时任意ah?aH，有ah?bh2h1h?bH，故有aH?bH 同理可证：bH?aH所以 aH?bH 4、（8分）证明：

反证法：如果，是整环，且有三个以上元素，则存在a?A,a??,a?1且a?a?a 即有：a??,a?1??但a?(a?1)?a?a?a?a?a??这与整环中无零因子条件矛盾。因此不可能是整环。 5、（10分）证明：

因为G=< V，E>不连通，设其连通分支是G(V1),?,G(Vk)种情况：

（1） u , v，分别属于两个不同结点子集Vi，Vj，由于G(Vi) , G(Vj)是两连通分支，故(u , v)

在不G中，故u , v 在G中连通。

（2） u ,v ，属于同一个结点子集Vi，可在另一结点子集Vj中任取一点w，故(u , w),(w , v )

均在G中，故邻接边( u ,w ) ( w , v ) 组成的路连接结点u和v，即u , v在G中也是连通的。

五、布尔表达式 8% 函数表为：

?1?1mm(k?2)，?u,v?V，则有两

x1 0 0 0 0 x2 0 0 1 1 x3 0 1 0 1 E(x1,x2,x3) 0 1 0 1

1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 E(x1,x2,x3)?(x1?x2?x3)?(x1?x2?x3)?(x1?x2?x3)析取范式：

?(x1?x2?x3)?(x1?x2?x3)

合取范式：E(x1,x2,x3)?(x1?x?2x3)?(x1?x2?x3)?(x1?x2?x3)

六、 树的应用 16%

1、（6分）解：

2、（10分）解：

根据权数构造最优二叉树：

传输它们的最佳前缀码如上图所示，happy new year的编码信息为：

10 011 0101 0101 001 110 111 0100 001 111 011 000 附：最优二叉树求解过程如下：

试卷十五试题与答案

十二、 填空 20% （每空 2分）

1、 如果有限集合A有n个元素，则|2A|= 。 2、 某集合有101个元素，则有 个子集的元素为奇数。

3、 设S={a1，a2,?，a8}，Bi是S的子集，由B17表达的子集为 ，

子集{a2,a6,a7}规定为 。

4、 由A1，A2,?，An，生成的最小集的形式为 ，它们的并为 集，它们的交为 集。 5、 某人有三个儿子，组成集合A={S1,S2,S3}，在A上的兄弟关系

具有 性质。

6、每一个良序集必为全序集，而 全序集必为良序集。

7、若f:A?B是函数，则当f是A?B的 ，f:B?A是f的逆函数。

c十三、 选择 15% （每小题 3分）

1、 集合B?{?,{?},{?,{?}}}的幂集为（ ）。 A、{{?},{{?},?},?}；

{?,{?},{{?}},{{?,{?}}},{?,{?}},{?,{?,{?}}},{{?},{?,{?}}},B}；B、

C、{?,{?},{{?}},{?,{?}},{?,{?}},{?,{?,{?}}},{{?},{?,{?}}},B}；

{?}}},{{?},{?,{?}}},?,B} D、{{?}{?,{?}},{?,{?，2、 下列结果正确的是（ ）。

A、(A?B)?A?B；B、(A?B)?A??；C、(A?B)?B?A；

D、??{?}??；E、??{?}??；F、A⊕A=A 。 3、 集合A?B的最小集范式为（ ）（由A、B、C生成）。

(A?B?C)?(A?B?C)?(A?B?C)?A

、

(A?B?C)?(A?B?C)?(A?B?C) ； B、

(A?B)?(A?B)?(A?B)；

(A?B?C)?(A?B?C)?(A?B?C)?(A?B?C)?(A?B?C)?(A?B?C)C、

(A?B)?(A?B)?(A?B)。 ； D、

4、 在（ ） 下有A?B?A。

A、A?B；B、B?A；C、A?B；D、A??或B?? 5、 下列二元关系中是函数的有（ ）。

A、R?{?x,y?|x?N?y?N?x?y?10}； B、R?{?x,y?|x?R?y?R?y?x}；

2R?{?x,y?|x?R?y?R?x?y}。 C、

2三、 15%

用Warshall算法，对集合A={1，2，3，4，5}上二元关系R={<1,1>,<1,2>,<2,4>,<3,5>,<4,2>}求t（R）。

四、15%

，a?0}，C*上定义关系 集合C?{a?bi|i??1,a,b是任意实数R?{?a?bi,c?di?|ac?0}，则R是C*上的一个等价关系，并给出R等价类的几何

说明。

*2五、计算 15%

1、 设A={1，2，3，4}，S={{1}，{2，3}，{4}}，为A的一个分划，求由S导出的等价关

系。 （4分）

2、 设

Ｚ

为

整

数

集

，

关

系

R?{?a,b?|a,b?Z?a?b(modk)}为Z上等价关系，

求R的模K等价关系的商集Z/R，并指出R有秩。（5分） 3、 设A={1，2，3，4，5}，A上的偏序关系为

求A的子集{3，4，5}和{1，2，3}，的上界，下界，上确界和下确界。（6分）

六、证明 20%

1、 假定f:A?B,g:B?C，且g?f是一个满射，g是个入射，则f是满射。（10分） 2、 设f，g是A到B的函数，f?g且domg?domf，证明f?g。（10分） 答案

一、填空 20%（每空2分）

????1、2n；2、2100；3、{a4，a8}，B01000110（B70）；4、A1?A2???An(Ai?Ai或Ai)，

全集，?；5、反自反性、对称性、传递性；6、有限；7、双射。

二、选择 15%（每小题 3分）

题目 答案

三、Warshall算法 15%

1 B 2 3 4 D 5 B B，E A ?1??0MR??0??0?0?解：1000??0010?0001??1000?0000??

i? 1时，MR[1,1]=1, A =MR i?2时，M[1,2]=M[4,2]=1

?1??0?0??0?0A=?1010??0010?0001??1010?0000??

i?3时，A的第三列全为0，故A不变 i?4时，M[1,4]=M[2,4]=M[4,4]=1

?1??0?0??0?0A=??1??0?0??0?0A=?四、 5% 证明：

1010??1010?0001??1010?0000?? i?5时，M[3,5]=1 ，这时 1010??1010?0001??1010?0000??

所以t (R)={<1,1>, <1,2>,<1,4>,<2,2>,<2,4>,<3,5>,<4,2>,<4,4>} 。

对称性：?a?bi?C,c?di?C且?a?bi,c?di??R,ac?0

**?ca?0,??c?di,a?bi??R。

*?a?bi?C(a?0),aa?0??a?bi,a?bi??R 自反性：

传递性：若?a?bi?C,*c?di?C*,e?fi?C*

当?a?bi,c?di??R且?c?di,e?fi??R则ac?0,ce?0,?acce?0即ae?0所以R是C*上等价关系。

R两等价类：?1?{z|z?a?bi,a?0}右半平面；

??a?bi,e?fi??R

?2?{z|z?a?bi,a?0}左半平面。

五、计算 15%

1、（4分）R={< 1 , 1 > , < 2 , 2> , < 2, 3 > , < 3 , 2 > , < 3 , 3 > < 4 , 4 > } 。 2、（5分）Z/R={[0]，[1]，?，[k-1]} ，所以R秩为k。

3、（6分）{3，4，5}：上界：1，3；上确界：3；下界：无；下确界：无；

{1，2，3}：上界：1；上确界：1；下界：4；下确界：4。

六、证明 20%

1、（10分）证明：?b?B，由于g是入射，所以存在唯一c?C使g(b)?c，又g?f满射，对上述c存在a?A，使得g?f(a)?c，也即g(f(a))?c，由g单射，所以f(a)?b即：?b?B均存在a?A使得f(a)?b，所以f满射。

2、（10分）证明：

??x,y??g则x?domg且y?rangeg?x?domf且y?rangeg对上述x?domf则?|y??rangef即?x,y???f而f?g??x,y???g但?x,y??g由g是函数知y??y?x?domf且y?rangef即?x,y??f?f?g

即：?b?B均存在a?A使得f(a)?b，所以f满射。

2、（10分）证明：

??x,y??g则x?domg且y?rangeg?x?domf且y?rangeg对上述x?domf则?|y??rangef即?x,y???f而f?g??x,y???g但?x,y??g由g是函数知y??y?x?domf且y?rangef即?x,y??f?f?g

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