数学人教版九年级下册反比例函数与图形面积 教学设计

反比例函数与图形面积 教学设计

广州市凤凰城中英文学校 初三数学 谭伟鹏

设计意图：反比例函数是历年中考数学的一个重要考点章节，常常结合三角形、四边形等相关知识综合考察。反比例函数中k的几何意义也是其中一块很重要的知识章节，由此进行的变式和拓展是每年中考的热点。这类考题大多考点简单但方法灵活，目的在于考察学生的数学图形思维。本课目的在于让学生掌握反比例函数k几何意义这一知识要点，灵活解决面积相关问题，熟悉常见考察方式和解题思路，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、甚至模式化、简单的问题，渗透转化化归等重要数学思想，提高思维能力和技能、技巧。

教学目标：

知识与技能目标：理解k的几何意义，能找到应用几何意义的矩形和三角形，能综合运用适当方法双向解决反比例函数与图形面积的相关问题。

过程与方法目标：通过分层设置问题、一题多变、几何画板辅助教学，经历探索反比例函数与图形面积的内在联系，在解决问题的过程中体会数形结合思想、建模思想在数学应用中的重要地位。

情感态度价值观目标：培养学生合作意识和乐于探究的良好品质，学会观察、分析、归纳的能力，渗透化动为静、数形结合、转化与化归、建模等重要思想方法。

学情分析：学生已学习过反比例函数图形与性质，能较熟练解题，但对特殊的面积问题接触少，没有形成方法，解面积问题比较慢，故有必要上这节专题课。本班学生层次不一，故问题设计和讲解由易到难，有梯度，使不同层次学生都有所得，能掌握一定的方法和结论。

教学重点：探索反比例函数k的几何意义以及与图形面积的联系。 教学难点：能灵活、综合运用相关知识解决面积问题。

教学过程： 教学环节 温故而知新，可以为师矣！ 教学内容 师生活动 设计意图 以简单例子引入，把k与面积联系起来，通过几何画板演示动态变化，激发学生学习热情。 k学生口答，教1．点(2,?3)在反比例函数y?上，则k=_______. x师引导得出k6的几何意义。 2．点(m,n)在反比例函数y?上，则mn=_______. x教师用几何k画板演示不k的几何意义 ：过反比例函数y?(k?0)上任一点同情况的面xP(m,n)作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，则积与k的关系。 ，SS?_______?S?_______. 矩形OAPB?OAP?OBP 不经一番寒彻骨，哪有梅花扑鼻香 1．如图1，A、C、E是函数y?1 图像上任意三点，作师生共同完这3题较为x基础，是层次一。 前2题是性质的直接应用，第1题从k得面积，第2题从面积得k,易错点在于忽视k的正负号。 第3题联系去年中考题，是性质中面积的不同变形之一。 成，提问学生△ABC、△COD、△EOF的面积分别为S1、S2、S3，则S1、回答。 共同归纳注S2、S3的大小关系为______________． 意点和易错 点， 2．如图2，点P是反比例函数图象上的一点，作PA⊥x轴AB⊥y轴于B，CD⊥y轴于D，BF⊥x轴于F．记 于A，PC⊥y轴于C，若阴影部分面积为6，则这个反比例函数的解析式为_____________. 3．（2015广州改编）如图3，已知反比例函数y?m?7的x图象的一支位于第一象限，O为坐标原点，点A在第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，则m=_________． 图1 图2 \\ 图3 4．如图4，点A在是反比例函数第一象限的分支上，过点学生探究，根A作AB⊥y轴于B，点P在x轴上，若△ABP的面积为1，据时间可进行小组交流则这个反比例函数的解析式为___________。 和上台展示， 教师点评。 4变式1.（2009广安）如图5，在反比例函数y??(x?0)x的图象上有三点P1、P2、P3，它们的横坐标依次为1，2，3，分别过这三点作x轴、y轴的垂线，记阴影部分面积依次为S1、S2、S3，则S1+S2+S3= ． 变式2.（2012黑河）如图6，点A在双曲线y?1上，点x 这3题难度中等，是层次一。 考查了面积的变换，第1、2题是等积转化，第3题是面积割补，同类题型在课后练习中继续作为补充出现。本题也 不经一番寒彻骨，哪有梅花扑鼻香 B在双曲线y?3上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若x四边形ABCD为矩形，则它的面积为 ． 图4 图5 首次引入了2个反比例函数，为第5题变式3作了铺垫。 归纳方法：盯住图形，寻找与k有关的矩形和三角形，若没有就自己创造。 图6 5．如图7，正比例函数y?ax(a?0)与反比例函数 学生探究，小ky?(k?0)的图象相交于A、C两点，作AB⊥x轴于B，组合作，展x示。教师运用连接BC，则△ABC的面积等于__________。 几何画板动 态演示，揭示变式1．如图8，正比例函数y?ax(a?0)与反比例函数问题本质，师ky?(k?0)的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B，生共同归纳。 xCD⊥x轴于D，则四边形ABCD的面积为__________。 图7 图8 变式2．如图9，A、B是反比例函数y?k(k?0)的图象x上关于原点O对称的任意两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积为__________。 变式3.（2014东营）如图10，函数y?13和y??的图xx象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴于C，交l2于点A，PD⊥y轴于D，交l2于点B，则△PAB的面积为__________。 第5题和3个变式由易到难，是层次三。 从基本图形进行一次次变换，用几何画板演示更多的变化，师生共同提炼这类问题的本质，如何在变化中抓住不变量，与k联系起来。 变式2引入坐标法，为变式3作铺垫，体现多种知识的综合运用，用确定的式子表示变化的量，体现了化动为静、数形结合、转化和化归等重要思想方法。 图9 图10\\ 运用坐标法解决证明问题（第6题第1问），并结合k的几何意义以及面积关系解决第2问，第3问留作课后思考。 回顾小结，形成方法。 会当凌绝顶，一览众山小 学而时习之，不亦说乎

6.（2011莆田改编）将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴正半轴上．点E是边AB上的 学生探究，教师引导，学生k一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数y?(x上台展示。 x ＞0)的图象与边BC交于点F． （1）如图1，当点E运动到AB中点时，求证：点F是BC师生共同回顾本课，小结的中点； 方法。 （2）在（1）的条件下，四边形OEBF的面积是_________； 连接EF，△BEF的面积是_________． （3）如图2，若OA=2.0C=4．则当点E运动到什么位置时．四边形OAEF的面积最大．最大值为多少？ 图1 图2 见学案 课后作业与课堂练习对应，巩固所学知识，熟练解题方法，形成解一类题的技能。

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