【数学】新疆乌鲁木齐地区2022届高三下学期第二次诊断性测验数学

2018年高三年级第二次诊断性测验

理科数学（问卷）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{(1)0}A x x x =+>

，{B x y ==，则A B =（ ）

A ．{0}x x >

B ．{1}x x ≥

C ．{01}x x <≤

D ．?

2.若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且112z i =-，则12

z z =（ ） A ．3455i + B ．3455i -+ C ．3455i -- D ．3455

i - 3.已知命题p ：x R +?∈，lg 0x ≥；q ：0x R ?∈，00sin cos x x =，则下列命题中为真命题的是（ ）

A ．q ?

B ．p q ∧

C ．p q ?∧

D ．q p ?∨

4.已知函数22,0()log ,0

x f x x x x ?-?，若()2f a =，则实数a =（ ）

A ．-1

B ．4 C. 14

或1 D ．-1或4 5.若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）

A ．若,m αββ⊥⊥，则m ∥α

B ．若m ∥α，n m ⊥，则n α⊥

C. 若m α⊥，n ∥β，m n ⊥，则αβ⊥

D ．若m ∥β，m α?，n αβ= ，则m ∥n

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．4

B ．143 C. 163

D ．6 7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请计算此人第二天走的路程”.该问题的计算结果为（ ）

A ．24里

B ．48里 C.96里 D ．192里

8.习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化。我国古代数学名著《九章算术》中收录了“更相减损术”这一经典算法，据此设计的程序框图如图所示，若输入的,,x y k 的值分别为16，24，1，则输出的k 的值为（ ）

A ．2

B ．3 C.4 D ．5

9.若锐角?满足sin cos 2

??-=，则函数2()cos ()f x x ?=+的单调递减区间为（ ） A ．52,2()1212k k k Z ππππ?

?-+∈????

B ．5,()1212k k k Z ππππ?

?-+∈????

C. 72,2()1212k k k Z ππππ?

?++∈????

D ．7,()1212k k k Z ππππ?

?++∈????

10.过等轴双曲线的焦点F 作它的一条渐近线的平行线分别交另一条渐近线以及双曲线于,M N 两点，则（ ）

A ．FN NM =

B ．FN NM > C. FN NM < D ．,FN NM 的大小关系不确定

11.函数(1)(1)x

x a y a x

+=>的图象的大致形状是（ ） A

． B ． C.

D ．

12. AB 是过抛物线22y px =焦点F 的弦，其垂直平分线交x 轴于点G ，设AB FG λ=，则λ的值是（ ）

A ．32

B ．2 C.4 D ．与p 的值有关 第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.若变量,x y 满足约束条件4y x x y y k ≤??+≤??≥?

，且2z x y =+的最小值为-3，则k = ．

14.有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法种数有 （用数字作答）．

15.在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,2,a b c 成等比数列，222a b c bc =+-，

则sin b B c

的值为 ． 16.已知函数31()x f x e -=，1()ln 3g x x =

+，若()()f m g n =，则n m -的最小值为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知{}n a 是等差数列，且348a a +=，244a a +=；数列{}n b 满足：121n n n b a a ++=

． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若1120

n S n >+，求n 的最大值． 18. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，D 为BC 的中点． （Ⅰ）求证1AC ∥平面1ADB ；

（Ⅱ）若12AB AA ==，求二面角1B AB D --的平面角的余弦值．

19. 公交车的数量太多容易造成资源浪费，太少又难以满足乘客的需求，为了合理布置车辆，公交公司在2路车的乘客中随机调查了50名乘客，经整理，他们候车时间（单位：min ）的茎叶图如下：

（Ⅰ）将候车时间分为[)[)[]0,4,4,8,,28,32 八组，作出相应的频率分布直方图；

（Ⅱ）若公交公司将2路车发车时间调整为每隔15min 发一趟车，那么上述样本点将发生变化（例如候车时间为9min 的不变，候车时间为17min 的变为2min ），现从2路车的乘客中任取5人，设其中候车时间不超过10min 的乘客人数为X ，求X 的数学期望．

20. 已知点000(,)(0)P x y y ≠是椭圆22

:143

x y C +=上的点，点Q 的坐标为00(,)43x y ，直线l 上的任意一点M 满足0MP OQ ?= （O 为坐标原点）．

（Ⅰ）求直线l 的方程；

（Ⅱ）设C 的右焦点为F ，过点(4,0)作l 的垂线交直线PF 于点S ，证明S 在定圆上．

21. 已知函数()ln()x f x e ex a =-+（其中 2.71828e = ，是自然对数的底数）． （Ⅰ）当a e =时，求()f x 的最小值；

（Ⅱ）若()f x e >恒成立，求证1a e <-．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+??=?

（t 为参数，0απ≤<），以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设(1,0)A ，直线l 交曲线C 于,M N 两点，P 是直线l 上的点，且211AP AM AN =+，当AP 最大时，求点P 的坐标．

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数()3f x x x a =---．

（Ⅰ）当2a =时，解不等式1()2

f x ≤-； （Ⅱ）若存在实数x ，使得不等式()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．

试卷答案

一、选择题

1-5:BACDD 6-10:DCCBA 11、12：AB

二、填空题

13.-1 14.36 15.

8 16. 2ln 33+ 三、解答题

17. （Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意，有125824

a d d +=??=?，解得112a d =-??=?，所以23n a n =-； （Ⅱ）1211111(21)(21)22121n n n

b a a n n n n ++??===- ?-+-+??

， 11111112335212121

n n S n n n ??∴=-+-++-= ?-++?? ， 由2121710120

n S n n n >?-+<+，设2()2171f x x x =-+， 由(8)70,(9)100f f =-<=>及二次函数单调性可知，n 的最大值为8．

18. （Ⅰ）连结1A B 交1AB 于

E ，连结ED ， ,D E 都是中点，DE ∴∥1AC ，1

AC ∴∥平面1ADB ； （Ⅱ）建立如图空间直角坐标系，12AB AA == ，

1(0,0,0),(0,1,0),(0,1,2)D A B B ∴，

设面1BAB 的法向量为1111(,,)n x y z = ，由11100

n AB n AB ??=???=?? ，

得1(1n = ，同理得面1DAB 的法向量为2(0,2,1)n =- ，

121212

cos ,n n n n n n ?∴==? ， 由图判断二面角1B AB D --的平面角为锐角，∴

其余弦值为5

．

19. （Ⅰ）经统计落入分组区间[)[)[]0,4,4,8,,28,32 内的频数依次为4、4、10、12、8、6、4、2各组分组区间相应的频率/组距的值依次为0.02、0.02、0.05、0.06、0.04、0.03、0.02、0.01，依此画出频率分布直方图；

（Ⅱ）调整为间隔15分钟发一趟车之后，候车时间原本不超过10分钟的数据就有14个，发生了变化的候车时间中不超过10分钟的数据又增加了20个，共计34个.所以候车时间不超过10分钟的频率为340.6850

=，由此估计一名乘客候车时间不超过10分钟的概率为0.68.从乘客中任取5人，其中候车时间不超过10分钟的人数X ，则~(5,0.68)X B ，

()50.68 3.4E X =?=．

20. （Ⅰ）设(,)M x y ，由0MP OQ ?= ，得000011(,)043

x x y y x y --??=， 0000()()043x y x x y y ∴-+-=，而2200143

x y +=，∴直线l 的方程为00143x x y y +=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知01034x k y =-，∴过点(4,0)且与l 的垂直的直线方程为004(4)3y y x x =-，

而直线PF 的方程为00(1)1

y y x x =--， 联立00004(4)3(1)1

y y x x y y x x ?=-????=-?-?，解出004(4)13313x x x y y x -?=??-??=?-?， 代入椭圆C 的方程，得22

2216(4)914(13)3(13)

x y x x -+=--，化简得22(1)36x y -+=， ∴点S 在定圆22(1)36x y -+=上．

21. （Ⅰ）当a e =时，()1ln(1)x f x e x =--+，1()(1)1x f x e x x '=->-+，设()()gx f x '=，

2

1()0(1)x g x e x '=+>+ ，所以()g x 是增函数，又(0)0f '=， ∴当10x -<<时，()0f x '<，()f x 递减；当0x >时，()0f x '>，()f x 递增； 故min ()(0)0f x f ==； （Ⅱ）()x

e a

f x e x ex a e ??'=->- ?+?? ，2

2()0()x e f x e ex a ''=+>+，()f x '∴是增函数； a

x e e e -> ，由a

a e e e a e x e ex a e ->?>-+，∴当a e a x e e

>-时()0f x '>； 若11a x e a x e e e -+<-+?<，由11a a e e e a e x e ex a e

-+-

e -??-<<-+-????时，()0

f x '<； 故()0f x '=仅有一解，记为0x ，则当0a x x e

-<<时，()0f x '<，()f x 递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 递增；min 0()()f x f x ∴=，题意即为0()f x e >， 而000110000()0x x x e f x e ex a e a e ex ex a

--'=-=?+=?=-+， 00000()ln()1x x f x e ex a e x ∴=-+=+-，记()1x h x e x =+-，

显然()h x 是增函数，则0000()()(1)11f x e h x h x x >?>?>?-<-，

011101x a e ex e e e --=-<-=-，综上：1a e <-．

22. （Ⅰ）直线l 的普通方程为tan (1)y x α=-，

曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=；

（Ⅱ）设直线l 上的三点,,M N P 所对应的参数分别为12,,t t t ，

将1cos sin x t y t αα

=+??=?代入2240x y x +-=，整理得22cos 30t t α--=， 则12122cos ,3t t t t α+=?=-，1t ∴与2t 异号，由

211AP AM AN =+， 得1212121212

211t t t t t t t t t t t +-=+==??，

12122)t t t t t απ?∴=

==≤<- ∴当cos 0α=，即2π

α=时，t 最大，此时AP 最大，

max t =

t =，代入1cos sin x t y t αα

=+??=? 可得此时点P

的坐标为

或(1,．

23. （Ⅰ）1(2)2,()3252(23)1(3)x a f x x x x x x ≤??=∴=---=-<

，

21()1212x f x

x ≥???-≤-??， 解得1134x ≤<或3x ≥，所以不等式的解集为114x x ??≥???

?； （Ⅱ）由不等式性质可知()3(3)()3f x x x a x x a a =---≤---=-， 若存在实数x ，使得不等式()f x a ≥成立，则3a a -≥，解得32

a ≤， ∴实数a 的取值范围是3,2??-∞ ???．

.

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