多维随机变量及其概率分布

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第三章 多维随机变量及其概率分布

【内容提要】

一、二维随机变量及其分布函数

【定义】设X?X(?),Y?Y(?)是定义于随机试验E的样本空间?上的两个随机变量，则称(X,Y)

为二维随机变量，称F(x,y)?P?X(?)?x,Y(?)?y?为其联合分布函数，而称:

F1(x)?P?X(?)?x?及F2(y)?P?Y(?)?y?分别为X,Y的边缘分布函数。

二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)具有如下性质: ⑴．非负性: ?x,y?R，有0?F(x,y)?1；

⑵．规范性: ?x,y?R，有F(x,??)?F(??,y)?0,F(??,??)?1； ⑶．单调性: 当x(或y)固定不变时，F(x,y)是y(或x)的单增函数； ⑷．右连续性: ?x,y?R，有F(x?0,y?0)?F(x,y)；

⑸．相容性: ?x,y?R，有F(x,??)?F1(x),F(??,y)?F2(y)； ⑹．特殊概率: 若x1?x2,y1?y2，则

P(x1?X?x2,y1?Y?y2)?F(x2,y2)?F(x1,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y1)?0。

二、二维离散型随机变量

1．二维离散型随机变量及其概率分布律

2若二维随机变量(X,Y)的一切可能取值为离散值(xi,yj)?R，其中i,j?1,2,...，且取到这些值的

概率p(xi,yj)?P(X?xi,Y?yj)?0,i,j?1,2,...满足

1?i,j????p(xi,yj)?1，则称(X,Y)为二维

离散型随机变量，而称p(xi,yj)i,j?1为其联合概率分布律，记为:

??(X,Y)?p(xi,yj),i,j?1,2,...。

⑴.X,Y的边缘概率分布律:

X?p1(xi)?P(X?xi)??p(xi,yj),Y?p2(yj)?P(Y?yi)??p(xi,yj)；

1?j???1?i???⑵.X,Y的条件概率分布律:

YX?xi?pYX(yjxi)?p(xi,yj)p1(xi),XY?yj?pXY(xiyj)?p(xi,yj)p2(yj)；

⑶.X与Y的相互独立???i,j?1,恒有p(xi,yj)?p1(xi)p2(yj)。

二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律及其边缘分布律也可用下表来表示:

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Xx1 x2 Y y1 p(x1,y1) y2 p(x1,y2) p(x2,y2) ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? yn p(x1,yn) p(x2,yn) ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? P(X) p1(x1) p1(x2) p(x2,y1) ??? xm ??? p(xm,y1) ??? p(xm,y2) ??? p(xm,yn) ??? p1(xm) ??? P(Y) ??? p2(y1) ??? p2(y2) ??? p2(yn) ??? 1 设D?R为平面区域，则二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布函数及其取值落在D内的概率为:

2F(x,y)?P?X?x,Y?y??2．常用二维离散型分布

xi?x,yj?y?p(xi,yj)，P?(X,Y)?D???p(xi,yj)。

(xi,yj)?D⑴．三项式分布:设n?1为自然数，0?p1,p2?p1?p2?1为常数，则三项式分布的联合分布律为：

n!p1ip2j(1?p1?p2)n?i?j P(X?i,Y?j)?，其中0?i,j?i?j?n，

i!j!(n?i?j)! 而其边缘分布律、条件分布律为：

n!p1ip2j(1?p1?p2)n?i?jii P(X?i)???Cnp1(1?p1)n?i，

i!j!(n?i?j)!0?j?n?in!p1ip2j(1?p1?p2)n?i?j P(Y?j)???Cnjp2j(1?p2)n?j，

i!j!(n?i?j)!0?i?n?j P(Y?jX?i)?pP(X?i,Y?j)j?Cnj?ip12(1?p12)n?i?j，其中0?p12?2?1，

P(X?i)1?p1p1P(X?i,Y?j)iin?i?j?Cnp(1?p)，其中0?p??1。 ?j212121P(Y?j)1?p2 P(X?iY?j)?⑵．二维超几何分布: 设1?n,M1,M2?N为自然数，则二维超几何分布的联合分布律为： P(X?i,Y?j)?ijn?i?jCMCCM2N?M1?M21CnN，其中0?i,j?i?j?n；

而其边缘分布律、条件分布律为： P(X?i)?

0?j?n?i?ijn?i?jCMCCMN?M1?M212CnN?in?iCMCN?M11CnN，

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P(Y?j)?0?i?n?j?ijn?i?jCMCCMN?M1?M212nCN?jn?jCMCN?M22nCN，

jn?i?jP(X?i,Y?j)CM2CN?M1?M2? P(Y?jX?i)?， n?iP(X?i)CN?M1in?i?jP(X?i,Y?j)CM1CN?M1?M2? P(X?iY?j)?。 n?jP(Y?j)CN?M2⑶．二维Poisson分布: 设?1,?2?0为常数，则二维Poisson分布的联合分布律为:

i?j??1j?2?(?1??2),若0?j?i????j!(i?j)!e, P(X?i,Y?j)???其它?0,而其边缘分布律、条件分布律为： P(X?i)?0?j?i??1j?2i?jj!(i?j)!e?(?1??2)(?1??2)i?(?1??2)， ?ei! P(Y?j)?j?i?????1j?2i?jj!(i?j)!e?(?1??2)??1jj!e??1，

P(Y?jX?i)??1P(X?i,Y?j)?Cijp1j(1?p1)i?j，其中0?p1??1，

P(X?i)?1??2?2i?j??2P(X?i,Y?j) P(X?iY?j)??e。

P(Y?j)(i?j)!三、二维连续型随机变量

1．二维连续型随机变量及其概率密度函数

若二维随机变量(X,Y)的一切可能取值充满了某一平面区域，且存在一个函数p(x,y)?0，使其联合分布函数可表为F(x,y)?P?X?x,Y?y??xy??????????p(u,v)dudv，且??p(x,y)dxdy?????1，则

称(X,Y)为二维连续型随机变量，而称p(x,y)为其联合密度函数，记为(X,Y)?p(x,y)。 设D?R为平面区域，则二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数、联合密度函数满足：

2?2F)的取值落在D内的，而(X,YF(x,y)?P?X?x,Y?y????p(u,v)dudv,p(x,y)??????x?yxy概率为P?(X,Y)?D??2．常用二维连续型分布

??p(x,y)dxdy。

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?1?S(D),若(x,y)?D⑴．均匀U(D): p(x,y)??，其中0?S(D)???平面区域D的面积；

?若(x,y)?D?0,⑵．二维指数分布e(r,?,?):二维指数分布的联合分布为:

??x??y?(?x??y?r??xy)?1?e?e?e,若x,y?0?， F(x,y)??其它??0,?(?x??y?r??xy)???(1?r?x)(1?r?y)?re,若x,y?0???F?， p(x,y)????x?y?0,其它?2其中?1,?2?0及0?r?1为常数，而其边缘分布及条件分布为:

??x??x??1?e,若x?0?e,若x?0??， X?F1(x)?F(x,??)??,p1(x)?F1?(x)??其它其它???0,?0,??y??y??1?e,若x?0?e,若y?0??， Y?F2(y)?F(??,y)??,p2(y)?F2?(y)??其它其它???0,?0,??y(1?r?x)??(1?r?x)(1?r?y)?re,若x,y?0??p(x,y)?Y， ?pYX(x,y)???X?xp1(x)?0,其它???x(1?r?y)??(1?r?x)(1?r?y)?re,若x,y?0??p(x,y)?X。 ?pXY(x,y)???Y?yp2(y)?0,其它?⑶．二维?分布: 其联合密度、边缘密度及条件密度分别为(其中?,?,??0均为常数)

?????y??1??1??x?(x?y)e,若0?y?x??(?)?(?), (X,Y)?p(x,y)???其它?0,?????????1??xxe,若x?0???， X?p1(x)??p(x,y)dy???(???)???若x?0?0,?????1??yye,若y?0???， Y?p2(y)??p(x,y)dx???(?)???若y?0?0, 20

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?????1??(x?y)(x?y)e,若0?y?x?p(x,y)X， ?pYX(x,y)????(?)Y?yp2(y)?其它?0,??(???)y??1(x?y)??1?,若0?y?x?????1p(x,y)Yx。 ?pYX(x,y)????(?)?(?)X?xp1(x)?其它?0,2⑷．二维正态分布N(?1,?2,r,?12,?2):二维正态分布的联合密度为:

p(x,y)?12??1?2???x??12x??1y??2y??22??1?exp??()?2r()()?()??， 2?22(1?r)?????1?r?1122????其中?1,?2,r,?1,?2?R为常数,且r?1,而?1,?2?0，而其边缘分布及条件分布为:

X?p1(x)??Y?p2(y)???????(x??1)2?12，即X?N(?,?p(x,y)dy?exp???11)， 22?1?2??1??(y??2)2?12，即Y?N(?,?)， p(x,y)dx?exp???2222?2?2??2???????y???r???1(x??)?2?211???p(x,y)1???2Y?pYX(x,y)??exp???， 22X?x2p1(x)2(1?r)?22?(1?r)?2????即Y??2??N??2?r2(x??1),(1?r2)?2?。 X?x?1??四、二维随机变量函数的分布

设(X,Y)为二维随机变量，而f(x,y)为连续的确定型函数。

⑴．若(X,Y)为离散型随机变量，且(X,Y)?p(xi,yj)，i,j?1，则Z?f(X,Y)的分布律为:

Z?g(zk)?P(Z?zk)?f(xi,yj)?zk?p(xi,yj)；

⑵．若(X,Y)为连续型随机变量，且(X,Y)?p(x,y)，则Z?f(X,Y)的概率密度函数为:

?dd? Z?g(z)??P(Z?z)?????p(x,y)dxdy?；

dzdz???f(x,y)?z?⑶．若连续型随机变量X1,X2,...,Xn独立，且具有相同的分布函数为F(x)，将X1,X2,...,Xn按其取

??????值由小到大的顺序重新排为X1，称X1为X1,X2,...,Xn的顺序统计?X2?????Xn,X2,???,Xn?量，则第k个顺序统计量Xk的分布函数为(其中f(x)?F?(x)为Xk的密度，1?k?n):

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X?Fk(x)?kC?kF(x)kn0?uk?1(1?u)n?kdu，特别：

???min?Xk??X1??F1(x)?1??1?F(x)?n1?k?n?。 ?n????max?Xk??Xn?Fn(x)??F(x)?1?k?n?五、m维随机变量及其分布

【定义】设Xk?Xk(?),k?1,2,...,m是定义于随机试验E的样本空间?上的m个随机变量，则称

X?(X1,X2,...,Xm)?为m维随机变量，而称F(x)?P?X1?x1,X2?x2,...,Xm?xm?为其联合

概率分布函数；m维随机变量X?(X1,X2,...,Xm)?也可分离散型与连续型，也有边缘分布、条件分布等概念。常用n维随机变量的分布有:

1．m维多项式分布:设m,n?1为自然数，0?p1,p2,...,pm?p1?p2?????pm?1为常数，则m维

多项式分布的联合分布律为(其中0?x1,x2,???,xm?x1?x2?????xm?n为整数)：

xmx2n!p1x1p2???pm(1?p1?p2?????pm)n?x1?x2?????xm P(X1?x1,X2?x2,...,Xm?xm)?，

x1!x2!???xm!(n?x1?x2?????xm)!其边缘分布律、条件分布律仍为多项式分布。

2．m维超几何分布: 设1?m,n,M1,M2,...,Mm?M1?M2?????Mm?N为自然数，则m维超几何

分布的联合分布律为(其中0?x1,x2,???,xm?x1?x2?????xm?n为整数)：

12m1 P(X1?x1,X2?x2,...,Xm?xm)?CMCM22???CMmmCN?MCN， 11?M2?????Mmxxxn?x?x?????xn其边缘分布律、条件分布律仍为超几何分布。

3．m维均匀分布: 设D?R为m维空间区域，且其体积0?V(D)???，则D内m维均匀分布的

联合密度为(其中0?x1,x2,???,xm?x1?x2?????xm?n为整数)：

m??1V(D),若(x1,x2,...,xm)?D p(x1,x2,...,xm)??。

若(x1,x2,...,xm)?D??0,4．m维正态分布: 设??(?1,?2,...,?m)??Rm为m维常向量，???ij???m?m为正定矩阵，?为?的

m行列式，m维正态随机变量X?(X1,X2,...,Xm)在x?(x1,x2,...,xm)?R处的联合密度为： p(x)??1(2?)m2?1?exp??(x??)???1(x??)?，正态随机变量的边缘分布、条件分布及其线性

?2??变换仍服从正态分布，且X1,X2,...,Xm相互独立???为对角阵。

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【第三章作业】

1、现有10件产品，其中6件为正品，4件为次品，从中随机抽取两次产品，每次取一件，令

???1,若第一次取到正品?1,若第二次取到正品X??，Y??，

???0,若第一次取到次品?0,若第二次取到次品在放回抽样与不放回抽样下分别求(X,Y)的联合分布律及边缘分布律。 解:由题意知(X,Y)的联合分布律及边缘分布律分别为:

放回抽样场合 不放回抽样场合 XY 0 1 0 1 P(X) X Y 0 1 0 1 P(X) 425 625 625 925 25 35 1 215 415 415 515 25 35 1 P(Y) 25 35 P(Y) 25 35 2、现有10件产品，其中5件为一级品，2件为二级品，其余为废品，从中不放回地随机抽取3件产品，用X,Y分别表示所取产品中的一、二级产品的数目， 求(X,Y)的联合分布律及边缘分布律。

i3?i?j3解:由题意知(X,Y)的联合分布律P(X?i,Y?j)?C5故其联合C2jC3C10,其中0?i,j,i?j?3，

分布律及边缘分布律分别如下表所示:

X0 1 2 Y 0 1 2 P(X) 1120 15120 30120 10120 6120 30120 20120 0 3120 5120 0 112 512 512 112 1 3 0 P(Y) 715 715 115 3、已知(X,Y)的边缘分布律如下，且P(XY?0)?1，求其联合分布律及P(X?Y)。

X ?1 0 1 Y 0 1 P(X)

14 24 14 23

P(Y) 12 12 《概率论与数理统计》内容提要及习题详解 第三章 多维随机变量及其概率分布 第 24 页 共 13 页

解:由题意知(X,Y)的联合分布律如下表所示:

X?1 Y 0 1 P(X) 14 0 0 14 0 1 12 0 24 14 1 14 P(Y) 12 12 且P(X?Y)?P(X?0,Y?0)?P(X?1,Y?1)?0。

?(x?2y)?Ae,若x,y?0?4、设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??，求常数A、(X,Y)的边缘密度及

其它??0,概率P(0?X?2,0?Y?3)，P(X?2Y?1)，P(X?Y)。 解:由联合密度函数的性质有:1? X?f1(x)???????????f(x,y)dxdy?A?e?xdx?e?2ydy?A2，故A?2,且

00???????????x?e,若x?0?， f(x,y)dy????0,若x?0?2y?,若y?0?2e， f(x,y)dx??若y?0??0, Y?f2(y)????? P(0?X?2,0?Y?3)?2 P(X?2Y?1)?2?20e?xdx?e?2ydy?(1?e?2)(1?e?3)?0.86252，

01(1?x)2003x?2y?1??e?(x?2y)dxdy?2?dx???ye?(x?2y)dy?1?2e?1?0.26424，

P(X?Y)?2x?y??e?(x?2y)(y2)dxdy?2?dy?e?x?dx?1?23?13。

002??x?xy3,若0?x?1,0?y?2)的联合密度函数为f(x,y)??)的边缘密度5、设(X,Y，求(X,Y其它??0,及概率P(X?0.5Y?0.5)。

解:由题设知: X?f1(x)??20?2?3x(3x?1),若0?x?1f(x,y)dy??，

?0,其它?24

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?11?6(y?2),若0?y?2 Y?f2(y)??f(x,y)dy??，

0?0,其它? P(X?0.5Y?0.5)?P(X?0.5,Y?0.5)?P(Y?0.5)2?dx?(3x2?xy)dy00.50.5?00.50(y?2)dy?5。 36?y?e,若0?x?y?6、设(X,Y)的联合密度为f(x,y)??，求其边缘密度及概率P(X?2,Y?4)。

其它??0,解:由题设知:X?f1(x)?????????e?ydy?e?x,若x?0??， f(x,y)dy??x?若x?0?0, Y?f2(y)???????ye?ydx?ye?y,若y?0??， f(x,y)dx??0?若y?0?0, P(X?2,Y?4)??42e?ydy?dx??(y?2)e?ydy?(1?y)e?y22y442?e?2?3e?4?0.08039。

7、两人约定于某日的12:00到13:00在指定地点会面，约定先到者最多等候20分钟，假设两人行动独立且在12:00到13:00内任一时刻到达指定地点的可能性相同，求他们能会面的概率。 解:用X,Y分别表示两人到达指定地点的时间(从12:00算起的分钟数)，则由题设知(X,Y)在平面区

??13600,若(x,y)?D域D??(x,y)0?x,y?60?上均匀分布，故其联合密度为f(x,y)??，

若(x,y)?D??0,从而他们能会面的概率为P(X?Y?20)?x?y?20??f(x,y)dxdy?1?(4025)?。 609)的联合分布及P(X?Y)、8、设X,Y独立，且其边缘分布为P(X??1)?P(Y??1)?12，求(X,YP(XY?1)、P(X?Y?0)。

解:由题设知(X,Y)的联合分布P(X?i,Y?j)?P(X?i)P(Y?j)?14,其中i,j??1，且 P(X?Y)?P(XY?1)?P(X?1,Y?1)?P(X??1,Y??1)?12， P(X?Y?0)?P(X?1,Y??1)?P(X??1,Y?1)?12。

9、设X1,X2,X3,X4相互独立，且其边缘分布为P(Xi?0)?0.6,P(Xi?1)?0.4,i?1,2,3,4，求行

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列式X?X1X3X2X4的分布。

解:令p(x1x2x3x4)?P(X1?x1,X2?x2,X3?x3,X4?x4)?1?i?4?P(Xi?xi)，则由题设知

X?X1X3X2X4?X1X4?X2X3有3个可能的取值0,?1，且

P(X??1)?p(1110)?p(0110)?p(0111)?0.62?042?2?0.6?043?0.1344， P(X??1)?p(1101)?p(1001)?p(1011)?0.62?042?2?0.6?043?0.1344，

P(X?0)?1?P(X??1)?P(X??1)?0.7312。

??0,若X?Y)在区域D??(x,y)0?x?2,0?y?1?上均匀分布，求随机变量U??10、设(X,Y与

??1,若X?Y??0,若X?2YV??的联合分布。

??1,若X?2Y解:由题设知(U,V)的联合分布为:

若(i,j)?(0,0)?P(X?Y)?14,??若(i,j)?(0,1)?P(?)?0,P(U?i,V?j)??。

?P(Y?X?2Y)?14,若(i,j)?(1,0)?若(i,j)?(1,1)??P(X?2Y)?12,??4xy,若0?x,y?112、设(X,Y)的联合密度为f(x,y)??，求其边缘密度。

其它??0,解:由题设知其边缘密度为:

?? X?f1(x)??????14xydy?2x,若0?x?1??， f(x,y)dy??0?其它?0,?14xydx?2y,若0?y?1??。 f(x,y)dx??0?其它?0, Y?f2(y)??????Ae?y,若y?0??1,若0?x?1?13、设X,Y独立，且X?f1(x)??，求常数A及随,Y?f2(y)??若y?0???0,其它?0,

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机变量Z?2X?Y的概率密度。

解:由题设知A?1，而Z?2X?Y的概率密度g(t)为:

?d??t?2x??d??? g(t)????f1(x)f2(y)dxdy??????f1(x)dx???f2(y)dy?????f1(x)f2(t?2x)dx

??dt???2x?y?t?dt??0,若t?0??1t?y1f2(y)dy???edy?(1?e?t),若0?t?2。

022??1t1??e?ydy?(e2?t?e?t),若t?2?2t?22??101tf2(t?2x)dx??2t?2g(t) 0 2 t

14、设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)?A(B?arctan)(C?arctanx3y)，求 4⑴.常数A,B,C； ⑵.(X,Y)的联合密度及边缘密度； ⑶.P(X?3),P(Y?4),P(X?3,Y?4)； ⑷.判断X,Y是否相互独立。 解: ⑴.由联合分布函数的性质知，常数A,B,C满足:

?0?F(x,??)?A(C??2)?B?arctan(x3)?1??A?,B?C????22?? ?0?F(??,y)?A(B??2)?C?arctan(y4)????1?x?y??F(x,y)?(?arctan)(?arctan)2??1?F(??,??)?A(B??2)(C??2)?2324?? ⑵.(X,Y)的联合密度及边缘分布、边缘密度分别为:

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??2F12f(x,y)???222?x?y?(x?9)(y?16)??1?x3? ?F1(x)?F(x,??)?(?arctan),f1(x)?F1?(x)?； 2?23?(x?9)??4?F(y)?F(??,y)?1(??arctany),f(y)?F?(y)?222??24?(y2?16)?1?3?P(X?3)?F(3)?(?arctan1)?1??24??1?3?⑶.?P(Y?4)?F2(4)?(?arctan1)?；

?24???P(X?3,Y?4)?F(3,4)?12(??arctan1)(??arctan1)?9??2216?⑷.由于f(x,y)?f1(x)f2(y)?12，故X,Y相互独立。

?2(x2?9)(y2?16)?0.5x??e?0.5y?e?0.5(x?y),若x,y?0?1?e15、设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)??，求

其它??0,⑴.(X,Y)的边缘分布； ⑵.(X,Y)的联合密度及边缘密度； ⑶.判断X,Y是否相互独立； ⑷.P(X?100,Y?100)。 解: 由题设知:

?0.5x⑴.F,F2(y)?F(??,y)?1?e?0.5y,x,y?0； 1(x)?F(x,??)?1?e???0.25e⑵.f(x,y)?Fxy?0.5(x?y),f1(x)?F1?(x)?0.5e?0.5x,f2(y)?F2?(y)?0.5e?0.5y,x,y?0；

⑶.由于f(x,y)?f1(x)f2(y)?0.25e?0.5(x?y)，故X,Y相互独立； ⑷.P(X?100,Y?100)??1?F1(100)??1?F2(100)??e16、设X,Y相互独立，且X?e(3),Y?e(4)，求

⑴.(X,Y)的联合密度及边缘密度； ⑵.P(X?1,Y?1)； ⑶.P?(X,Y)?D?，其中D?(x,y)3x?4y?3,x,y?0。 解: 由题设知: ⑴.f(x,y)?12e?(3x?4y)?100?3.72?10?44。

??,f1(x)?3e?3x,f2(y)?4e?4y,x,y?0；

?3?4⑵.P(X?1,Y?1)?(1?e)(1?e)?0.93281；

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《概率论与数理统计》内容提要及习题详解 第三章 多维随机变量及其概率分布 第 29 页 共 13 页

⑶.P?(X,Y)?D????Df(x,y)dxdy?12?dx?013(1?x)40e?(3x?4y)dy?1?4e?3?0.80085。

17、设P(X?0,Y?0)?解: 由题设知:

34,P(X?0)?P(Y?0)?，求P?max(X,Y)?077Pm?及?in(,X)Y0? ?。

?p1?P(X?0,Y?0)?37???p2?P(X?0,Y?0)?P(X?0)?P(X?0,Y?0)?17，故 ??p3?P(X?0,Y?0)?P(Y?0)?P(X?0,Y?0)?17???p4?P(X?0,Y?0)?1?(p1?p2?p3)?27 P?max(X,Y)?0??p1?p2?p3?57,P?min(X,Y)?0??p2?p3?p4?47。

??3x,若0?y?x?118、设(X,Y)的联合密度为f(x,y)??，求Z?X?Y的密度函数。

??0,其它解: 由题设知Z?X?Y的分布函数与密度函数分别为: G(t)?P(X?Y?t)?x?y?t??f(x,y)dxdy??dy?????t?y??f(x,y)dx，

g(t)?G?(t)??????3?1?t23(t?y)dy?(1?t),若t?(0,1)??02f(t?y,y)dy??。

?0,若t?(0,1)? 29

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