2018 - 2019学年高中数学第一章三角函数1.1.1弧度制学案新人教A版必修4

1.1.1 任意角

学习目标 1.结合实际问题，了解角的概念的推广及其实际意义.2.掌握象限角的概念(重点).3.掌握终边相同的角的表示(重、难点)．

知识点1 任意角的概念 1．角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．角的表示

顶点：用O表示；

始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置． 终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置． 3．角的分类 类型 正角 负角 零角 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)经过1小时，时针转过30°.( ) (2)终边与始边重合的角是零角．( ) (3)小于90°的角是锐角．( )

提示 (1)×，因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°． (2)×，终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)． (3)×，锐角是指大于0°且小于90°的角． 知识点2 象限角

如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

定义 按逆时针方向旋转形成的角 按顺时针方向旋转形成的角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 图示 1

【预习评价】

思考 锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？ 提示 锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角． 知识点3 终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋

k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

【预习评价】

与－457°角的终边相同的角的集合是( ) A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z} C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z} D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}

解析 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．

答案 C

题型一 与任意角有关的概念辨析

【例1】 (1)下列说法中，正确的是________(填序号)． ①终边落在第一象限的角为锐角； ②锐角是第一象限的角； ③第二象限的角为钝角； ④小于90°的角一定为锐角； ⑤角α与－α的终边关于x轴对称．

解析 终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．

答案 ②⑤

(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________．

解析 ∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，

2

β＝－(760°－720°)＝－40°． 答案 －40°

规律方法 判断角的概念问题的关键与技巧

(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．

(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可． 【训练1】 写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．

解 题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°； 题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°， γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°． 题型二 终边相同的角的表示及应用

【例2】 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．

解 直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：

S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}

＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．

∴S中适合－360°≤β<720°的元素是：

45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°； 45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°； 45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°．

规律方法 解答本题关键是找到0°～360°范围内，终边落在直线y＝x的角：45°，225°，再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．

【训练2】 写出终边落在x轴上的角的集合S．

解 S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} ＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.

典例 题型三 象限角和区域角的表示 3

迁移 【例3】 (1)－2 017°是第________象限角．

解析 －2 017°＝－6×360°＋143°，143°是第二象限角，所以－2017°为第二象限角．

答案 二

(2)已知，如图所示．

①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合． ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．

解 ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋

k·360°，k∈Z}．

②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，

k∈Z}．

【迁移1】 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？

解 在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是： 150°≤α≤225°，则满足条件的角α为

{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．

【迁移2】 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？

4

解 由题干图可知满足题意的角的集合为

{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}

＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}

＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}

即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}． 规律方法 表示区域角的三个步骤

第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．

第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α

第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．

课堂达标

1．下列说法正确的是( )

A．三角形的内角一定是第一、二象限角 B．钝角不一定是第二象限角

C．终边相同的角之间相差180°的整数倍 D．钟表的时针旋转而成的角是负角

解析 A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角； B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角； C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍； D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角． 答案 D

2．－378°是第________象限角( ) A．一 C．三

B．二 D．四

解析 －378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角．

答案 D

3．把－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为________． 解析 －936°＝－3×360°＋144°，故－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，

k∈Z)的形式为144°＋(－3)×360°．

答案 144°＋(－3)×360°

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