单元评估检测(八)

圆学子梦想 铸金字品牌

温馨提示：

此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。

单元评估检测(八)

第八章 (120分钟 150分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.双曲线-=1的焦点坐标是( )

A.(1,0),(-1,0) B.(0,1),(0,-1) C.(

,0),(-,0) D.(0,

),(0,-)

2.(2014²滨州模拟)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1

3.若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1的渐近线方程为( ) A.y=±x B.y=±2x C.y=±4x D.y=±x

4.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线-=1的一个焦点重合,则该抛物线的标准方程可能是( ) A.x2=4y B.x2=-4y C.y2=-12x D.x2=-12y

- 1 -

圆学子梦想 铸金字品牌

5.(2014²济宁模拟)若圆x2+y2=r2(r>0)上仅有4个点到直线l:x-y-2=0的距离为1,则实数r的取值范围为( ) A.(C.(0,

+1,+∞) B.(-1) D.(0,

-1,

+1)

+1)

6.(2014²聊城模拟)双曲线

-=1的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则双曲线离心率为( ) A.

B.

C.2 D.3

7.已知a>b>0,e1,e2分别为圆锥曲线+=1和-=1的离心率,则lge1+lge2的值

( )

A.大于0且小于1 B.大于1 C.小于0 D.等于0

8.(2014²烟台模拟)已知P是双曲线-=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是其焦点,双曲线的离心率是,且

²

=0,若△PF1F2的面积为9,则a+b的值为( )

A.5 B.6 C.7 D.8

9.若双曲线

-=1(a>0,b>0)上不存在点P使得右焦点F关于直线OP(O为双曲线的中心)的对称点在y轴上,则该双曲线离心率的取值范围为( ) A.(C.(1,

,+∞) B.[] D.(1,

,+∞) )

10.如图,平面中两条直线l1和l2相交于点O,对于平面上任意一点M,若p,q分别是M到直线l1和l2的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐标”.已知常数p≥0,q≥0,给出下列命题:

- 2 -

圆学子梦想 铸金字品牌

①若p=q=0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有1个; ②pq=0,且p+q≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有2个; ③若pq≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有4个. 上述命题中,正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)

11.(2013²天津高考)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为 .

12.(2014²锦州模拟)已知点P在直线x+2y-1=0上,点Q在直线x+2y+3=0上,PQ中点为M(x0,y0)且y0≥x0+2,则的取值范围是 .

13.设点P(a,b)是圆x2+y2=1上的动点,则动点Q(a2-b2,ab)的轨迹方程是 .

14.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1,F2,且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是 .

15.(能力挑战题)曲线C:y=

(a>0,b>0)与y轴的交点关于原点的对称点称为

“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线C有公共点的圆,皆称之为“望圆”,

- 3 -

圆学子梦想 铸金字品牌

则当a=1,b=1时,所有的“望圆”中,面积最小的“望圆”的面积为 . 三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(12分)在直角坐标平面上给定一曲线y2=2x, (1)设点A

的坐标为|PA|.

(2)设点A的坐标为(a,0),a∈R,求曲线上的点到点A距离的最小值dmin,并写出dmin=f(a)的函数表达式.

17.(12分)(2014²泰安模拟)已知圆C的方程为x2+y2=4. (1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程. (2)直线l过点P(1,2),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=2(3)圆C上有一动点M(x0,y0),

,求直线l的方程.

=

+

,求动

,求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离

=(0,y0),O为坐标原点,若向量

点Q的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.

18.(12分)在直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为2

的圆C与直

线y=x相切于坐标原点O,椭圆+=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.

(1)求圆C的方程.

(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长,若存在,请求出Q的坐标;若不存在,请说明理由.

19.(12分) (2014²泉州模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线上一点A的横坐标为x1(x1>0),过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D,交y轴于点Q,交直线l:y=于点M,当|FD|=2时,∠AFD=60°.

- 4 -

圆学子梦想 铸金字品牌

(1)求证:△AFQ为等腰三角形,并求抛物线C的方程.

(2)若B位于y轴左侧的抛物线C上,过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P,交直线l于点N,求△PMN面积的最小值,并求取到最小值时的x1的值. 20.(13分)(2014²武汉模拟)已知点P是圆M:x2+(y+m)2=8(m>0,m≠

)上一动点,

点N(0,m)是圆M所在平面内一定点,线段NP的垂直平分线l与直线MP相交于点Q.

(1)当P在圆M上运动时,记动点Q的轨迹为曲线Г,判断曲线Г为何种曲线,并求出它的标准方程.

(2)过原点斜率为k的直线交曲线Г于A,B两点,其中A在第一象限,且它在x轴上的射影为点C,直线BC交曲线Г于另一点D,记直线AD的斜率为k′,是否存在m,使得对任意的k>0,都有|k²k′|=1?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由. 21.(14分)(2013²上海高考)如图,已知双曲线C1:-y2=1,曲线C2:|y|=|x|+1.P是平面内一点.若存在过点P的直线与C1,C2都有共同点,则称P为“C1-C2型点”

.

(1)在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写

- 5 -

圆学子梦想 铸金字品牌

出一条这样的直线的方程(不要求验证).

(2)设直线y=kx与C2有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C1-C2型点”. (3)求证:圆x2+y2=内的点都不是“C1-C2型点”.

- 6 -

圆学子梦想 铸金字品牌

答案解析

1.【解析】选C.c2=a2+b2=2+1=3,所以c=(

,0),(-,0).

.由焦点在x轴上.所以焦点坐标为

2.【解析】选C.依题意设椭圆G的方程为+=1(a>b>0), 因为椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12, 所以2a=12,所以a=6,

因为椭圆的离心率为,所以

所以

=.解得b2=9,

=,

所以椭圆G的方程为:+=1. 3.【解析】选A.由题意

故双曲线的方程可化为

=,所以a2=4b2. -=1,

故其渐近线方程为y=〒x. 4.【解析】选D.由题意,得c=

=3.

所以抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,-3). 所以抛物线的标准方程为x2=12y或x2=-12y.

【加固训练】以坐标轴为对称轴,原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0圆心的抛物线方程是( ) A.y=3x2或y=-3x2 B.y=3x2

C.y2=-9x或y=3x2 D.y=-3x2或y2=9x

【解析】选D.x2+y2-2x+6y+9=0,(x-1)2+(y+3)2=1,圆心(1,-3).代入选项知D正确.

- 7 -

圆学子梦想 铸金字品牌

5.【解析】选A.计算得圆心到直线l的距离为=>1,如图.直线l:x-y-2=0与

圆相交,l1,l2与l平行,且与直线l的距离为1,故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离

+1.

【加固训练】直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为( ) A.48 B.56 C.64 D.72 【解析】选A. 如图所示

.

由

得x2-10x+9=0,

所以x1=1,x2=9. 当x1=1时,y1=-2. 当x2=9时,y2=6. 不妨令A(9,6),B(1,-2).

- 8 -

圆学子梦想 铸金字品牌

因为焦点F(1,0),由抛物线定义知 |BF|=|BQ|=2,|AF|=|AP|=10, 所以S梯形APQB=

〓(6+2)=48.

6.【解析】选C.因为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为bx〒ay=0, 依题意,直线bx〒ay=0与圆x2+(y-2)2=1相切, 设圆心(0,2)到直线bx〒ay=0的距离为d, 则d=

==1,

所以双曲线离心率e==2. 7.【解析】选C.由题意,得e1=所以e1e2=

=

<1.

<0. ,e2=

(a>b>0),

所以lge1+lge2=lg(e1e2)=lg

【方法技巧】求椭圆、双曲线离心率的两种方法 (1)直接求出a,c的值,利用离心率公式求解.

(2)依据已知条件寻找关于a,c的有关等式(不等式),解方程(不等式),即可求出离心率的值(范围). 8.【解析】选C.由

〃

=0得

⊥

,设|

|=m,|

|=n,不妨设m>n,

则m2+n2=4c2,m-n=2a,mn=9,=,解得9.【思路点拨】按照正难则反思想求解.

所以b=3,所以a+b=7.

【解析】选C.这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在点P使得右焦点F关于直线OP(O为双曲线的中心)的对称点在y轴上,因此只要在这个双曲线上存在点P使得斜率大于1,也就是离心率大于

- 9 -

,求其大于1的补

圆学子梦想 铸金字品牌

集得e∈(1,].

10.【解析】选D.①p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且只有1个,此点为点O,故①正确;

②正确,p,q中有且仅有一个为0,当p为0时,坐标点在l1上,分别为关于O点对称的两点,反则在l2上也有两点,但是这两种情况不能同时存在;

③正确,四个交点为与直线l1相距为p的两条平行线和与直线l2相距为q的两条平行线的交点.

【加固训练】对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”:‖AB‖=|x2-x1|+|y2-y1|. 给出下列三个命题:

①若点B在线段AC上,则‖AB‖+‖BC‖=‖AC‖; ②在△ABC中,∠C=90°,则‖AC‖2+‖CB‖2=‖AB‖2; ③在△ABC中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为( )

A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选B.取特殊值,数形结合. 在△ABC中,∠C=90°, 不妨取A(0,1),C(0,0),B(1,0), 因为‖AB‖=|x2-x1|+|y2-y1|, 所以‖AC‖=1,‖BC‖=1, ‖AB‖=|1-0|+|0-1|=2. 此时,‖AC‖2+‖CB‖2=2,

- 10 -

圆学子梦想 铸金字品牌

‖AB‖2=4,

‖AC‖2+‖CB‖2≠‖AB‖2; ‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖, 即命题②、③是错误的.

设如图所示共线三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),AC″⊥CC″,则

‖AC‖=|x1-x3|+|y1-y3| =‖AC″‖+‖C″C‖

=‖AB′‖+‖B′C″‖+‖C′C″‖+‖C′C‖ =‖AB′‖+‖B′B‖+‖BC′‖+‖C′C‖, ‖AB‖=|x1-x2|+|y1-y2|=‖AB′‖+‖B′B‖, ‖BC‖=|x2-x3|+|y2-y3| =‖BC′‖+‖C′C‖, 所以‖AB‖+‖BC‖=‖AC‖, 即命题①正确.

综上所述真命题的个数为1个.

11.【解析】由抛物线的准线方程为x=-2,得a2+b2=4,又因为双曲线的离心率为2,得=2,得a2=1,b2=3,所以双曲线的方程为x2-=1.

- 11 -

圆学子梦想 铸金字品牌

答案:x2-=1

12.【解析】因为直线x+2y-1=0与直线x+2y+3=0平行,所以PQ的中点M在直线x+2y+1=0上,又因为直线x+2y+1=0与y=x+2的交点坐标为 A

,所以kOA=

=-,故-

<≤-

.

答案:

13.【解析】由已知得a2+b2=1, 所以由

得x2+4y2=(a2+b2)2=1. 答案:x2+4y2=1

14.【解析】如图,设椭圆的长半轴长,半焦距分别为a1,c,双曲线的半实轴长,半焦距分别为a2

,c,

|PF1|=m,|PF2|

- 12 -

圆学子梦想 铸金字品牌

=|F1F2|=n, 则

<2,

问题转化为:已知1<求由1<

的取值范围. <2知<

<1,

即<<2,因此

<+1<3, 即<答案:

<3,所以

<

(a>0,b>0)与y轴的交点关于原点的对称点称为

<.

15.【解析】因为曲线C:y=

“望点”,以“望点”为圆心,凡是与曲线C有公共点的圆,皆称之为“望圆”,所以当a=1,b=1时望圆的方程可设为x2+(y-1)2=r2,面积最小的“望圆”的半径为

(0,1)

到

y==x2

+

,最小面积为3π.

上

任

意

点

之

间

的

最

小

距

离,d2=x2

+半径r≥答案:3π

=(|x|-1)2

+

+2(|x|-1)-+2≥3,所以

16.【解析】(1)设M(x,y)为曲线y2=2x上任意一点, 则|MA|2=

+y2=x2+x+

=

+,

因为x∈[0,+≦),所以当x=0时, |MA

=

+=,

即|MA|min=.

所以距点A最近的点P坐标为(0,0),这时|PA|=.

- 13 -

圆学子梦想 铸金字品牌

(2)依题意得,

d2=(x-a)2+y2=x2-2ax+a2+2x =x2-2(a-1)x+a2 =[x-(a-1)]2+(2a-1) 因为x∈[0,+≦),

所以分a-1≥0和a-1<0两种情况讨论. 当a≥1时,当a<1时,即dmin=|a|.

这时恰好抛物线顶点(0,0)与点A(a,0)最近. 所以dmin=f(a)=

=2a-1,即dmin=

,

=[0-(a-1)]2+(2a-1)=a2,

【误区警示】本题(1)易忽略x的取值范围,误认为当x=-时距离最小. 17. 【解析】(1)显然直线l的斜率存在,设切线方程为y-2=k(x-1),则由得k1=0,k2=-,从而所求的切线方程为y=2和4x+3y-10=0.

(2)当直线l垂直于x轴时,此时直线方程为x=1,l与圆的两个交点坐标为(1,和(1,-),这两点的距离为2

)=2,

,满足题意;当直线l不垂直于x轴时,设其方程

为y-2=m(x-1),

即mx-y-m+2=0,设圆心到此直线的距离为d(d>0),则21=

=2

,得d=1,从而

,得

m=,此时直线方程为3x-4y+5=0,综上所述,所求直线方程为

3x-4y+5=0或x=1.

(3)设Q点的坐标为(x,y),M点坐标是(x0,y0),(x,y)=(x0,2y0) x=x0,y=2y0.因为+

=(0,y0),因为

=

+

,所以

=4,所以x2+

- 14 -

=4,即+=1.

圆学子梦想 铸金字品牌

所以Q点的轨迹方程是

+=1,轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆. 18.【解析】(1)设圆C的圆心为A(p,q), 则圆C的方程为(x-p)2+(y-q)2=8. 因为直线y=x与圆C相切于坐标原点O, 所以O在圆C上,且直线OA垂直于直线y=x. 于是有

或

由于点A(p,q)在第二象限,故p<0. 所以圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.

(2)因为椭圆+=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10,所以2a=10 a=5,故椭圆右焦点为F(4,0).

若圆C上存在异于原点的点Q(x0,y0)到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长,则有|QF|=|OF|,于是(x0-4)2+由于Q(x0,y0)在圆上, 故有(x0+2)2+(y0-2)2=8.② 解①和②得

.

,则A处的切线方程为l1

:y=

,

x-,所以

=42,且

+

≠0.①

故圆C上存在满足条件的点Q19.【解析】(1)设

AD

,Q

.

,F

所以|AF|=

所以|FQ|=+=|AF|,即△AFQ为等腰三角形. 又D为线段AQ的中点,所以|AF|=4,得:

- 15 -

圆学子梦想 铸金字品牌

所以p=2,C:x2=4y.

(2)设B(x2,y2)(x2<0),则B处的切线方程为

y= x-, 由

P

,

由同理N

M,

,所以面积

S=

=

①,

x2-4kx-4b=0,得,使面积最小,则k=0,得到S==t3

+2t+,S′

(t)=

设AB的方程为y=kx+b,则b>0,由代入①得

:S=

②,

令

=

=t,则由②得

S(t)=时S(t)单调递减;

,所以当t

∈

当t

∈b=t2=,k=0, 所以y1=,即x1=

时S(t)单调递增,所以当

t=时,S

取到最小值为,此时

.

【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用思想方法

解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向,既可以出现在选择题、填空题中,也可以出现在解答题中,根据待求量的特点,常用以下两种思想方法: (1)数形结合思想:当待求量有几何意义时,一般利用其几何性质,数形结合求

- 16 -

圆学子梦想 铸金字品牌

解.

(2)函数思想:当待求量与其他变量有关时,一般引入该变量构造函数,然后求最值,但要注意待求量的取值范围. 20.【解析】(1)因为|QN|=|QP|, 所以||QM|-|QN||=|PM|=2①当2

.

为实轴的双曲

<2m时,动点Q的轨迹曲线Г为以点M,N为焦点,2a=2

=1.

线,其标准方程为-②当2

>2m时,动点Q无轨迹.

(2)如图所示

,

设A(x1,y1),D(x0,y0),则B(-x1,-y1),C(x1,0). 则y1=kx1. 直线BC的方程为y=联立所以-x1+x0=所以k′==-=.

- 17 -

(x-x1),即y=(x-x1).

化为(m2k2-2k2-8)x2-2k2(m2-2)x1x+(m2-2)(k2

,

-8)=0.

圆学子梦想 铸金字品牌

若存在m,使得对任意的k>0,都有|k〃k′|=1, 则

=1,

(负值舍去). 时,满足题意.

,0),写出的直线方程可以是以下形式:

整理得m2=6,解得m=〒因此存在m,且当m=

21.【解析】(1)C1的左焦点为(-x=-或y=k(x+

),其中|k|≥.

(2)因为直线y=kx与C2有公共点, 所以方程组

因此|kx|=|x|+1,得|k|=

有实数解, >1.

若原点是“C1-C2型点”,则存在过原点的直线与C1,C2都有公共点.

考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx(|k|>1).显然直线x=0与C1无公共点.

如果直线为y=kx(|k|>1), 则由方程组

得x2=

<0,矛盾,

所以直线y=kx(|k|>1)与C1也无公共点. 因此原点不是“C1-C2型点”. (3)记圆O:x2+y2=,取圆O内的一点Q, 设有经过Q的直线l与C1,C2都有公共点, 显然l不垂直于x轴,故可设l:y=kx+b.

若|k|≤1,由于圆O夹在两组平行线y=x〒1与y=-x〒1之间,

因此圆O也夹在直线y=kx〒1与y=-kx〒1之间,从而过Q且以k为斜率的直线l

- 18 -

圆学子梦想 铸金字品牌

与C2无公共点,矛盾,所以|k|>1. 因为l与C1有公共点, 所以方程组

有实数解,

得(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0. 因为|k|>1,所以1-2k2≠0,

因此Δ=(4kb)2-4(1-2k2)(-2b2-2)=8(b2+1-2k2)≥0,即b2≥2k2-1. 因为圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=所以

=d2<,从而

>b2≥2k2-1,

,

得k2<1,与|k|>1矛盾.

因此,圆x2+y2=内的点都不是“C1-C2型点”.

关闭Word文档返回原板块。

- 19 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6fre.html