《垂直于弦直径》第1课时教学设计方案(说课稿)

《垂直于弦的直径》第一课时教学设计方案（说课稿）

房山区良乡二中 刘夙新

尊敬的各位评委、老师大家好！我是来自良乡二中的刘夙新，很高兴有这样一个机会与各位老师进行学习和交流，今天我说课的内容是：垂直于弦的直径的第一节课。

下面，我从教材才分析、教学目标、教学方法与教学手段、教学过程的设计 四个方面对本课的设计进行说明。

一、教材分析：

本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。

本节课的重点是：垂径定理及其应用。

本节课的难点是：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明。 理解垂径定理的关键是：圆的轴对称性。

二、教学目标：

新课程理念下的数学教学不仅是知识的教学、技能的训练，更应重视能力的培养及情感的教育，因此根据本节课教材的地位和作用，结合所教学生的特点，我确定本节课的教学目标如下：

知识目标：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。

能力目标：渗透类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。

德育目标：渗透数学来源于实践和事物之间相互统一、相互转化的辩证唯物主义观点，让学生体会几何图形所蕴涵的对称美。

三、教学方法与教学手段：

“赐人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识。新课程理念强调我们的课程应是教师与学生共同探究新知识的过程，是以教促学，互教互学的过程，教师不仅要传授知识，更要与学生一起分享对课程的理解，鉴于教材特点及所教学生的认知水平，我选用以下方法：

1．引导发现法和直观演示法。让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理。

2．结合数学环境，适时利用多媒体电化教学手段，帮助学生在感性认识的基础上加深对定理的理解和应用，从而获得广泛的数学经验。

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四、教学过程的设计：

整个教学过程分七个环节来完成。 1、预习重现---创设情境 展示预习题目：

后勤刘师傅遇到了一件麻烦事，因为我校一处 圆形下水道破裂，他准备要换新管道，但只知道污 水水面宽为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，你 能帮助刘师傅计算一下他应该准备内径多大的管道吗？ 以我们目前所学知识你是否可以解决这个问题？如果 不能，问题出现在哪里？要想解决这个问题，你认为应 该有怎样的关系？

学生一般都会想到运用直角三角形的知识来解决此问题。解直角三角形知二可解其他，所以问题在于：不知E是否为AB中点；C和弧AB的关系。

总结：问题在于直径CD与弦AB有怎样的关系，与弦所对的弧又有怎样的关系？

设计意图：让学生从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出。

2、引入新课---揭示课题：

运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画，让学生观察猜想那些线段相等？那些弧相等？让学生归纳出命题，并板书：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。然后用字母表示出题设和结论。

COAEBD 图１

设计意图：这样设计培养了学生的观察能力和归纳、概括的思维能力，并使学生领略到圆的对称美，同时发展了学生的符号感，分化了难点。

3、讲授新课---探求新知：

对于垂径定理的证明，我采取自主探究、合作交流的方式完成，看哪个小组证得又快、又好，记入今天的英雄榜。最后师生共同演示、验证猜想的正确性，从而解决本节课的又一难点--定理的证明。此时再板书垂径定理的内容。

设计意图：增加学生的兴趣，使学生通过探索发现、思维碰撞，获得对数学最深切的感受，体会成功的乐趣，发展思维能力，富有成就感。

4、定理的应用：

⑴为了强调定理中的条件，进行定理变式练习。

考考你的眼力，看下列哪些图形可以用垂径定理，你能说明理由吗？

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CCDEAOEADBOABADEOBBOEC12 34 图２

⑵教师课件出示例题：例1、在圆中已知一条弦长8cm，圆心到这条弦的距离是3 cm，求圆的半径。这是一道计算题，是垂径定理的简单应用，也是垂径定理在解题中的典型体现，学生通过探究解答之后，教师抓住机会，因势利导：例题给了我们什么启示？在学生发表见解的情况下总结归纳：（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决。（2）重要的辅助线：过圆心做弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理与解直角三角形的有关知识解题。

设计意图：如此设计可调动学生积极性，使其更深入地掌握定理的内涵，提高学生归纳、概括的能力。

5、巩固练习----测评反馈： 出示变式练习题：

⑴如图３，已知在⊙O中，圆心O到弦AB的距离与半径的比为3：5，弦AB长8厘米，求半径。（A组）

AAOBOB 图３ 图4

⑵已知在⊙O中，半径的长为5厘米，弓形高（弧中点到弦的距离）为2厘米，求弦AB的长。（B组）

⑶如图4，在⊙O中，按弦AB翻折，弧AB过圆心O，已知弦AB长8厘米，求半径。（C组）

全班同学分层完成，每组同学完成自己题目后可做高一层的题目，做完后展示成果，最后总结口诀：半径半弦弦心距，化为勾股最容易，另外加上

弓形高，Ｒｔ三角形少不了

为了及时巩固，帮助学生对所学定理的理解与使用，讲完定理及变式后，各合作小组自己出题，由其他小组完成。

练习结束后，返回预习引例，这道开始不能完成的题目现在则可以轻易解决了。

设计意图：及时完成引例，即掌握了知识，又增加了学习数学的兴趣，更让学生体会到成功的喜悦。让学生自己出题更能让其深入理解并掌握定理的

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内在关系，享受到成为学习主人的快乐，既调动了学生的积极性，又增强了学生的参与意识，体现了学生的主体作用，而且学生进一步领悟到转化、类比、数形结合与方程的数学思想与方法在实际中的应用。

以上是垂径定理在计算中的基本应用方法，那么在证明题中又能怎样应用定理呢？

展示例2：如图，已知在两同心圆⊙O中，大圆弦AB交小圆于C，D，则AC与BD间可能存在什么关系?

ACODBACODBOACDB 例2图 变式1 变式2

这是一道开放性题目，结论并不难猜，有例1做基础，也很好证明。 变式1，如图，若将AB向下平移，当移到过圆心时，结论AC＝BD还成立吗?

变式2，如图，连结OA，OB，设AO＝BO，求证AC＝BD 变式3，连结OC，OD，设OC＝OD，求证AC＝BD

OACDBOACEDB 变式3 变式4

变式题组的给出，则利用几何画板的功能，展示出图形之间的内在关系，增强学生的识图能力，揭示解决问题的关键--过圆心向弦做垂线。变式题组由A、B层学生抢答，精彩者上个人英雄榜，调动学生的积极性。

变式4，当弦AB移到与小圆只有一个交点时，AC与BC相等吗? 变式4更能引发学生思考，为直线与圆相切做好铺垫。

设计意图：这是一组证明线段相等的变式题，利用几何画板的功能，展示出图形之间的内在关系，增强学生的识图能力，揭示解决问题的方法——过圆心向弦做垂线，利用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦这一性质来解决一系列类似问题。

出示分层训练二：

１．如图5，已知AB、CD是圆O的两条弦，OE、OF分别为AB、CD的弦心距，如果AB=CD，则可得出什么结论（至少写出两个）？并证明。

２．已知如图6：在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足。求证：四边形ADOE为正方形。

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３．如图7，不过圆心的直线L交⊙O 于CD，AB是⊙O 直径。AE、BF分别垂直于L ，垂足是E、F。

⑴求证：CE=DF

⑵若AB与CD相交，⑴的结论还成立吗？

CFDCEAOAOBOAEBDBECMDFl

图5 图6 图7

设计意图：调整难度和梯度，让所有学生均有所收获，让学生充分认识到垂径定理是证明线段相等的依据。

拓展题：（可借助计算器进行计算）

１．如图8，1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥，的桥拱是圆弧形，他的跨度（弧所对的弦长）是37．4m，拱高（也叫弓形高）为7．2m，求桥拱的半径（精确到0．1m）。

图8

２．如图9，我校点Ｂ所在街道城隍庙街与北秀街的路口点A的夹角α为30度，我校到路口的距离为80米，北秀街上有一拖拉机D驶向路口A，它的速度为５００米/分，它发出的噪音影响它周围50米内的区域，问我校是否会受到噪音的影响，若影响到我校，会影响多长时间？

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城隍庙街

北秀街

图9

设计意图：使学有余力的同学飞得更高，视野更开阔，提高他们的转化能力，培养数学建模意识。

6、挑战自我---深化提高：

至此，估计学生基本能够掌握定理，达到预定目标，小结应基本由学生自己完成，谈谈体会、收获或不足。

教师整理：分两层：第一层是知识和方法的总结： D要学会把一些实际问题转化为数学问题来解决。

a⑴内容： hE2BA垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，

dr并且平分弦所对的两条弧。

Oh'⑵应用：垂径定理及推论为计算弦、半径或

证明两线段等、弧等、垂直关系开辟了新途径。

对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、 圆半径r、两弓形高h、h＇，这五个量中，

C只要已知其中任意两个量，就可以求出另外

两个量，如图有： 图10

?a?ｄ＋ｈ＝ｒ h＇－ｄ＝ｒ r????d2

?2?22①垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；口诀：半径半弦弦心距，化为勾股最容易，另外

加上弓形高，Ｒｔ三角形少不了。

②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线。

重要思路：（由）垂径定理——构造Rt△——（结合）勾股定理——建立方程 构造Rt△的“七字口诀”：半径半弦弦心距

⑶数学思想：

通过本节课的学习，使学生进一步掌握了数形结合、方程、转化、类比等数学思想在实际操作中的应用。

第二层是在本节课的学习中学生学习体会和感受方面的总结

设计意图：让学生通过归纳探究，使知识点有机的结合在一起，培养他们思维的严谨性和深刻性，提高分析和归纳的能力。

7、布置作业

A组：1、2、6题；B组：3、4、6题；C组：4、5、6题。

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⑴“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”

用现在的语言表达是：“如图11，CD为圆O的直径，弦AB垂直CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长。”

⑵如图12，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16m,拱高CD=4m,那么弓形的半径是多少米。

⑶已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，，AB=6cm，CD=8cm，⊙O的半径为5cm，

（1）请根据题意画出符合条件的图形 （2）求出AB与CD间的距离。

ACBEOCDAOBA

DB

图11 图12 图3

⑷在直径为650mm的圆柱形油罐内装入一些油后，截面如图１３所示，若油面宽ＡＢ＝600mm，求油的最大深度。 HG⑸某地有一如图1４形状的门楼，半圆拱

C的圆心距地面2m，半径1.5m，现有一辆高 DO2.9m、宽1.5m的集装箱卡车，能不能通过 这个门楼？

AEFB⑹①去发现身边有什么可用垂径定理来

解决的问题？②能否形成数学问题？ 图１４

③你会解决吗？

设计意图：结合学生的实际情况，为了更好地因材施教，我的作业题分层给出，目的是调动学生学习积极性，提高学生思维的广度，培养学生良好的学习习惯及思维品质，让学有余力的学生进一步的提高。另外，作业限时20——30分钟，减轻学生的负担，提高学习效率。

结束语:

数学来源于生活，又将服务于生活，希望同学们好好学习数学知识，将来能够更好的为社会服务，成为对国家有用的人才，体现自己的人生价值！

设计意图：激发学生的求知欲望，发挥他们的主体作用和创新精神，鼓励他们向着更高的山峰攀登！

五、教学反思：

本节课力求体现使学生“学会学习，为学生终身学习做准备”的理念，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，教师要注意角色的转变，成为学生学习的组织者、参与者、合作者，教师的责任是为学生创造一种宽松和谐、适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生

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的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法。整堂课以思维为主线，充分利用直观教具与学具及计算机辅助教学，让学生充分参与数学学习，融基础性、灵活性、实践性、开放性于一体，通过“实验——观察——猜想——证明——应用”，使学生在获得知识的同时提高兴趣，增强信心，提高能力。

以上是我对这节课的设计说明，如有不足，请大家批评指正，谢谢！

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