物理实验 误差分析与数据处理

目 录

实验误差分析与数据处理 ........................................................................ 2

1 测量与误差 ........................................................................................................................... 2

2 误差的处理 ........................................................................................................................... 6 3 不确定度与测量结果的表示 ............................................................................................. 10 4 实验中的错误与错误数据的剔除 ..................................................................................... 13 5 有效数字及其运算规则 ..................................................................................................... 15 6 实验数据的处理方法 ......................................................................................................... 17 习 题 ................................................................................................................................... 25

1

实验误差分析与数据处理

1 测量与误差

1.1 测量及测量的分类

物理实验是以测量为基础的。在实验中，研究物理现象、物质特性、验证物理原理都需要进行测量。所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标准的同类量进行比较，得出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．它们的倍数关系的过程。选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。一个物理．．．．．．．．．．

量的测量值等于测量数值与单位的乘积。

在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大会于1990年确定了国际单位制（SI），它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单位的导出单位。

1．直接测量与间接测量

测量可分为两类。一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量，是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测

4?2l量。如单摆测量重力加速度时，需先直接测量单摆长l和单摆的周期T，再应用公式g?2，

T求得重力加速度g。物理量的测量中，绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器，细心地进行操作读数和记录，才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。

2．等精度测量与不等精度测量

同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，在相同的条件下对同一物理量进行多次测量，尽管各次测量并不完全相同，但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确，只能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等精度测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量即为不等精度测量。在物理实验中，凡是要求多次测量均指等精度测量，应尽可能保持等精度测量的条件不变。严格地说，在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当某一条件的变化对测量结果的影响不大时，乃可视为等精度测量。在本书中，除了特别指明外，都作为等精度测量。

1.2 误差及误差的表现形式

1．误差

物理量在客观上有着确定的数值，称为真值。测量的最终目的都是要获得物理量的真值。但由于测量仪器精度的局限性、测量方法或理论公式的不完善性和实验条件的不理想，测量

2

人员不熟练等原因，使得测量结果与客观真值有一定的差异，这种差异称之为误差。若某物理量测量的量值为x，真值为A，则产生的误差?x为：

?x = x – A

任何测量都不可避免地存在误差。在误差必然存在的条件下，物理量的真值是不可知的。所以在实际测量中计算误差时，通常所说的真值有如下几种类型：

（1）理论真值或定义真值。如用平均值代替真值，三角形内角何等于180°等。

（2）计量约定真值。如前面所介绍的基本物理量的单位标准，以及国际大会约定的基本物理量。

（3）标准器相对真值（或实际值）。用比被标准过的仪器高一级的标准器的量值作为标准器相对真值。例如：用0.5级的电流表测得某电路的电流为1.200A，用0.2级电流表测得的电流为1.202A，则后者可示为前者的真值。

2．误差的表示形式

误差的表示形式有绝对误差和相对误差之分。绝对误差是测量值和真值的数值之差： ．．．．．．．．．．．．．．．．

? = x – A （1-1）

根据绝对误差的大小还难以评价一个测量结果的可靠程度，还需要考虑被测量本身的大小，为此引入相对误差，相对误差E定义为绝对误差 ? 与被测量量的真值 x 的比值，即：

?100% （1-2）

x相对误差常用百分比表示。它表示绝对误差在整个物理量中所占的比重，它是无单位的一个纯数，所以既可以评价量值不同的同类物理量的测量，也可以评价不同物理量的测量，从而判断它门之间优劣。

如果待测量有理论值或公认值，也可用百分差来表示测量的好坏。即：

E?百分差E0?测量值?公认值公认值?100% （1-3）

?1.3 误差的分类

既然测量不能得到真值，那么怎样才能最大限度的减小测量误差并估算出误差的范围呢？要解决这个问题，首先要了解误差产生的原因及其性质。测量误差按其产生的原因与性质可分为系统误差、随机误差和过失误差。

1．系统误差 ．．．．

在一定条件下（指仪器、方法和环境）对同一物理量进行多次测量时，其误差按一定的规律变化，测量结果都大于真值或都小于真值。系统误差产生的原因可能是已知的，也可能是未知的。产生系统误差的原因主要有：

（1）由于仪器本身存在一定的缺陷或使用不当造成的。如仪器零点不准、仪器水平或铅直未调整、砝码未校准等。

（2）实验方法不完善或这种方法所依据的理论本身具有近似性。例如用单摆测量重力加速度时，忽略空气对摆球的阻力的影响，用安培表测量电阻时，不考虑电表内阻的影响等所引入的误差。

（3）实验者生理或心理特点或缺乏经验所引入的误差。例如有人读数时，头习惯性的偏向一方向，按动秒表时，习惯性的提前或滞后等。

3

2．随机误差 ．．．．

同一物理量在多次测量过程中，误差的大小和符号以不可预知的方式变化的测量误差称为随机误差，随机误差不可修正。随机误差产生的原因很多，归纳起来大致可分为以下两个方面：

（1）由于观测者在对准目标、确定平衡（如天平）、估读数据时所引入的误差。

（2）实验中各种微小因素的变动。例如，实验装置和测量机构在各次调整操作上的变动性，实验中电源电压的波动、环境的温度、湿度、照度的变化所引起的误差。

随机误差的出现，单就某一次观测来说是没有规律的，其大小和方向是不可预知的。但对某一物理量进行足够多次测量，则会发现随机误差服从一定的统计规律，随机误差可用统计方法进行估算。

1.4 测量的精密度、准确度、精确度

我们常用精度反映测量结果中误差大小的程度。误差小的精度高，误差大的精度低，这里精度却是一个笼统的概念，它并不明确表示描写的是哪一类误差，为描述更具体，我们把精度分为精密度、准确度和精确度。

1．精密度

精密度表示测量结果中的随机误差大小的程度。它是指在一定条件下进行重复测量时，所得结果的相互接近程度。它用来描述测量得重复性。精密度高，即测量数据得重复性好，随机误差较小。

（i）精密度 （ii）准确度 （iii）精确度

图1-1 测量的精密度、准确度、精确度图示（以打靶为例）

2．准确度

准确度表示测量结果中系统误差大小得程度。用它来描述测量值接近真值得程度。准确度高，即测量结果接近真值得程度高，系统误差小。

3．精确度

精确度是对测量结果中系统误差和随机误差的综合描述。它是指测量结果的重复性及接近真值的程度。

为了形象地说明这三个概念的区别和联系，我们以打靶为例说明（图1-1）： （i）精密度高而准确度较差；

4

（ii）准确度高而精密度较差；

（iii）精密度和准确度都很高，即精确度很高。

5

?L??L1??L2??L3????L99(L?L0)?(L2?L1)?(L3?L2)???(L9?L8)?1

9L?L0?99从上式可看出，中间的测量值全部低消了，只有始末二次测量值起作用，与一次加9克砝码的测量完全等价。

为了保证多次测量的优点，只要在数据处理方法上作一些组合，仍能达到多次测量来减小误差的目的。因此一般使用逐差法的规则应用如下方法：

通常可将等间隔所测量的值分成前后两组的，前一组为L0、L1、L2、L3、L4，后一组为L5、L6、L7、L8、L9，将前后两组的对应项相减为

??L1?L5?L0??L2?L6?L1

???L5?L9?L4再取平均值

1?L??[(L5?L0)?(L6?L1)???(L9?L4)]5

14??(L5?i?Li)5i?0由此可见，与上面一般求平均值方法不同，这时每个数据都用上了。但应注意，这里的?L?是增加5克砝码时弹簧的平均伸长量。故对应项逐差可以充分利用测量数据，具有对数据取平均和减小的效果。

6.4 最小二乘法

由一组实验数据找出一条最佳的拟合直线（或曲线），常用的方法是最小二乘法。所得的变量之间的相关函数关系称为回归方程。所以最小二乘法线性拟合亦称为最小二乘法线性回归。本章只讨论用最小二乘法进行一元线性回归问题，有关多元线性回归和非线性回归，请参考其他书籍。

1．一元线性回归

最小二乘法所依据的原理是：在最佳拟合直线上，各相应点的值与测量值之差的平方和应比在其他的拟合直线上的都要小。

假设所研究的变量只有两个：x和y，且它们之间存在着线性相关关系，是一元线性方程

y?A0?A1x （6-3）

实验测量的一组数据是

x:x1,x2,x3,?,xmy:y1,y2,y3,?,ym

需要解决的问题是：根据所测得的数据，如何确定（6-3）式中的常数A0和A1。实际

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上，相当于作图法求直线的斜率和截距。

由于实验点不可能都同时落在（6-3）式表示的直线上，为使讨论简单起见，限定： ① 所有测量值都是等精度的。只要实验中不改变实验条件和方法，这个条件就可以满足。

② 只有一个变量有明显的随机误差。因为xi和yi都含有误差，把误差较小的一个作为变量x，就可满足该条件。

假设在（6-3）式中的x和y，是在等精度条件下测量的，且y有偏差，记作?1,?2,?3,?,?m 把实验数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xm,ym)代入（6-3）式后得：

??1?y1?y?y1?A0?A1x1???2?y2?y?y2?A0?A1x2 ??????m?yi?y?yi?A0?A1xi其一般式为：

?i?yi?y?yi?A0?A1xi

（6-4）

?i的大小与正负表示实验点在直线两侧的分散程度，?i的值与A0、A1的数值有关。根

据最小二乘法的思想，如果A0、A1的值使??i2最小，那么，（6-3）式就是所拟合的直线，

i?1m即由式

??i?1m2i??(yi?A0?A1xi)2

i?1m （6-5）

对A0和A1求一阶偏导数，且使其为零得：

m???m2????i???2?(yi?A0?A1xi)?0???A0?i?1i?1? （6-6） ?mm???????i2???2?[(yi?A0?A1xi)xi]?0?i?1???A1?i?11m1m令x为x的平均值，即x??xi，y为y的平均值，即y??yi，x2为x2的平均值，

mi?1mi?11m21m即x??xi，xy为xy的均值，即xy??xiyi

mi?1mi?12代入（6-6）式中得：

??y?A0?A1x?0 ?2??xy?A0x?A1x?0解方程组得：

?xy?x?y?A1?2x?x2 ???A0?y?A1x2．把非线性相关问题变换成线性相关问题

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（6-7）

在实际问题中，当变量间不是直线关系时，可以通过适当的变量变换，使不少曲线问题能够转化成线性相关的问题。需要注意的是，经过变换等精度的限定条件不一定满足，会产生一些新的问题。遇到这类情况应采取更恰当的曲线拟合方法。

下面举几例说明

（1）若函数为x2?y2?C，其中C为常数，令：

X?x2,Y?y2

则有：

Y?C?X

（2）若函数为y?x1a，其中a、b为常数，将原方程化为?b?，令：

yxa?bxY?11,x? yx则有：

Y?b?aX

3．相关系数r

以上所讨论的都是实验在已知的函数形式下进行时，由实验的测量数据求出的回归方

程。因此，在函数形式确定以后，用回归法处理数据，其结果是唯一的，不会像作图法那样因人而异。可见用回归法处理问题的关键是函数形式的选取。

但是当函数形式不明确时，要通过测量值来寻求经验公式，只能靠实验数据的趋势来推测。对同一组实验数据，不同的工作者可能会取不同的函数形式，得出不同的结果。

为了判断所得结果是否合理，在待定常数确定以后，还需要计算一下相关系数r。对于元线性回归，r定义为：

r?2xy?x?y(x?x)(y?y)222 （6-8）

相关系数r的数值大小反映了相关程度的好坏。可以证明 | r | 的值介于0和1之间，| r |值越接近于1，说明实验数据能密集在求得的直线附近，x、 y之间存在着线性关系，用线性函数进行回归比较合理。相反，如果 | r | 值远小于1而接近0，说明实验数据对求得的直线很分散，x、 y之间不存在线性关系，即用线性回归不妥，必须用其他函数重新试探。在物理实验中，一般当 | r | ≥ 0.9时，就认为两个物理量之间存在较密切的线性关系。

[例] 用本节作图法例子中电阻丝电阻值随温度变化的实验数据，结合最小二乘法做以下内容：

（1）线性拟合，并写出直线方程：

（2）求出电阻温度系数a和0℃时的电阻R0。 （3）求出相关系数r ，评价相关程度。 解：金属导体的电阻和温度的关系为

R?R0(1?at)?R0?aR0t，令：

y?R,x?t,A0?R0,A1?aR0

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上式可变为：

y?A0?A1x

例中的实验数据填入下表，并进行计算，结果见下表：

i 1 2 3 4 5 6 6 7 平均值 由上表可得：

xi 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0 50.0 32.5 xi2 225.0 400.0 625.0 900.0 1225 1600 2025 2500 1187.5 yi 28.05 28.52 29.10 29.56 30.10 30.57 31.00 31.62 29.815 yi2 786.8 813.4 846.8 873.8 906.0 934.5 961.0 999.8 890.269 xiyi 420.8 570.4 727.5 886.8 1054 1223 1395 1581 982.219 x?32.5,y?29.815,xy?982.219x2?1187.5y2?890.269

代入（6-7）式中得：

aR0?A1?xy?x?y22x?xR0?A0?y?A1x?26.5R?26.5?0.101t

?0.101

故函数关系为

A10.101??3.81?10?3（1/℃） R026.5其中：R0?26.5（Ω），a?又由（6-8）式可得：

r?2xy?x?y(x?x)(y?y)222?0.9995

由r值可见，R与t之间有较好的线性关系，即相关程度较好。

用最小二乘法与用作图法求得的R-t之间的关系有一定的差别，说明作图法有一定的随意性。

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习 题

1．指出下列情况属于随机误差还是系统误差： （1）视差。（2）天平零点漂移。（3）游标卡尺零点不准。（4）照相底板收缩。（5）水银温度计毛细管不均匀。（6）电表的接入误差。（7）雷电影响。（8）振动。（9）电源不稳。

2．求下列各组的x、Sx值。

（1）4.113，4.198，4.152，4.147，4.166，4.154，4.132，4.170（cm）；

（2）2.904，2.902，2.900，2.903，2.900，2.904（cm）； （3）4.496，4.504，4.538，4.504，4.498，4.490（cm）； （4）2.010，2.010，2.011，2.012，2.009，1.980（cm）。

3．用单摆测得重力加速度g1?978?2(cm/s2)，用自由落体仪测得重力加速度g2?981.1?0.6(cm/s2),已知当地的g的标准值为g0?979.729(cm/s2)，问：

（1）g1、g2中哪一个存在系统误差？

（2）如果不知道g0，从g1和g2能得出什么结论？

4．一个铅圆柱体，测得直径d?(2.04?0.01)cm，高度h?(4.12?0.01)cm，质量m?(149.18?0.05)g

（1）计算铅的密度 ? ；

（2）计算 ? 的不确定度和相对不确定度； （3）正确表示结果。

5．写出下列函数的不确定度传递公式。

x?y(1)N?x?y?z(2)N?x?y 22sin?L?e(3)n?(4)f?sin?4L6．指出下列各量有几位有效数字 (1)L?0.0001(cm)(3)g?9.8403(m/s2)(5)e?2.7182818(2)c?2.998003(4)??3.14159(6)E?2.7?1025(J)

7．按照误差理论和有效数字运算规则，改正下列错误。 （1）N?(10.800?0.2)cm

（2）0.2870有五位有效数字，而另一种说法为三位有效数字，请纠正，并说明理由。 （3）28cm = 280mm，280mm =28cm （4）L?(28000?8000)mm （5）0.0221×0.221=0.00048841

400?1500?600000

12.60?11.608．试利有效数字运算规则计算下列各式。 （6）

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(1)1.048?0.3(3)2.0?105?2345(2)98.754?1.3(4)2.0?10?5?2345(5)2.00?105?2345(6)170.50?2.5(7)111?0.100(8)237.5?0.10

76.00050.00?(18.30?10.3)(9)(10)40.00?2.0(103?3.0)?(1.00?0.001)100.0?(5.6?4.412)89.04678?(3.0811?1.98)(11)?110.0(12)(98.00?77.0)?10.00039．写成科学表达式

299300,983?4,0.004521?0.000001,5420?108,32476?105,6700,0.00400

10．计算下列函数有效数的结果。

(1)?3.14,ex??(2)x?3?10?5,10x??(3)x?5.48,x??,(4)x?9.80,lnx??

11．实验测得在容器体积不变的情况下，不同温度的气体压强如下表，请用图示法表示。 温度T（℃） 压强P（cm/Hg） 20.0 82.0 30.0 85.0 40.0 90.0 50.0 94.0 60.0 97.0 70.0 100.0 80.0 103.0 90.0 106.6 12．用伏安法测电阴数据如下，试用直角坐标纸作图，并求出R值。 V（V） I（mA） 1.00 2.00 2.00 4.01 3.00 6.05 4.00 7.85 5.00 9.70 6.00 11.83 7.00 13.75 8.00 16.02 13．用最小二乘法求出y?A0?A1x中的A0、A1并检验线性。 （1）

i xi yi （2） i xi yi 1 20.0 5.45 2 30.0 5.66 3 40.0 5.96 4 50.0 6.20 5 60.0 6.45 6 70.0 6.86 7 80.0 7.01 1 2.0 14.34 2 4.0 16.35 3 6.0 18.36 4 8.0 20.34 5 10.0 22.39 6 12.0 24.38 7 14.0 26.33

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(1)1.048?0.3(3)2.0?105?2345(2)98.754?1.3(4)2.0?10?5?2345(5)2.00?105?2345(6)170.50?2.5(7)111?0.100(8)237.5?0.10

76.00050.00?(18.30?10.3)(9)(10)40.00?2.0(103?3.0)?(1.00?0.001)100.0?(5.6?4.412)89.04678?(3.0811?1.98)(11)?110.0(12)(98.00?77.0)?10.00039．写成科学表达式

299300,983?4,0.004521?0.000001,5420?108,32476?105,6700,0.00400

10．计算下列函数有效数的结果。

(1)?3.14,ex??(2)x?3?10?5,10x??(3)x?5.48,x??,(4)x?9.80,lnx??

11．实验测得在容器体积不变的情况下，不同温度的气体压强如下表，请用图示法表示。 温度T（℃） 压强P（cm/Hg） 20.0 82.0 30.0 85.0 40.0 90.0 50.0 94.0 60.0 97.0 70.0 100.0 80.0 103.0 90.0 106.6 12．用伏安法测电阴数据如下，试用直角坐标纸作图，并求出R值。 V（V） I（mA） 1.00 2.00 2.00 4.01 3.00 6.05 4.00 7.85 5.00 9.70 6.00 11.83 7.00 13.75 8.00 16.02 13．用最小二乘法求出y?A0?A1x中的A0、A1并检验线性。 （1）

i xi yi （2） i xi yi 1 20.0 5.45 2 30.0 5.66 3 40.0 5.96 4 50.0 6.20 5 60.0 6.45 6 70.0 6.86 7 80.0 7.01 1 2.0 14.34 2 4.0 16.35 3 6.0 18.36 4 8.0 20.34 5 10.0 22.39 6 12.0 24.38 7 14.0 26.33

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