概率论与随机过程作业六

哈尔滨理工大学

概率论与随机过程作业（6）

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一、填空题

1. 从数1,2,?,N中任取一数，记为X1；再从1,2,?,X1中任取一数，记为X2；

如此下去，从1,2,?,Xn?1中任取一数，记为Xn，可证得?Xn:n?1?构成一齐次马氏链，则它的状态空间为 它的一步转移概率矩阵为 2. 设X0?1 ，X1,X2,?,Xn,?是相互独立的且都以概率p?0?p?1?取值

n1，以概率q?1?p取值0的随机变量序列，令Sn??Xk?0k，可证得

?Sn:n?0?构成一齐次马氏链，则它的状态空间为 它的一步转

移概率矩阵为

3. 设?Xk:k?1,2,??是互不相关的随机变量序列，且E?Xk??0，

EX?2k??4，则有R?k,l?? ，从而随机变量序列是

X 随机序列

4. 设平稳过程X?t??acos??t???，t????,???，其中a,?是常数，?在

?则RX???0,2??上服从均匀分布，

?自协方差函数CX?t1,t2?的?? ，

????最大值为

二、解答题

1. 设马氏链?Xn:n?0?的状态空间为I??0,1,2?，一步转移概率矩阵为

0??3/41/4???1/41/21/4? ?03/41/4???1?i??，i?0,1,2，

3初始分布为pi?0??P?X0求（1）P?X1?1,X2?2|X0?0?；（2）P?X0?0,X2?1?； （3）P?X2?2,X4?1?；（4）P?X0?1|X2?2?；（5）X2的分布

1

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2. 设马氏链?Xn:n?0?的状态空间为I??1,2,3?，一步转移概率矩阵为 0??1/43/4???1/31/31/3? ?01/43/4???111初始分布为p1?0??，p2?0??，p3?0??，

424求（1）P?X1?2,X2?2|X0?1?；（2）P?X0?1,X1?2,X3?2?； （3）证明此马氏链具有遍历性，并求其极限分布

2

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3. 设随机过程X?t??sinUt，t?T，其中U在?0,2??上服从均匀分布的随机变量，

(1) 如果T??1,2,??,求X?t?的均值函数和相关函数，并由此证明X?t?是平稳随机序列

（2）如果T??0,???，求X?t?的均值函数，并由此证明X?t?不是平稳随机过程

4. 设随机过程X?t??V，t????,???，其中V是随机变量，P?V??1??12，P?V?1??12，讨论X?t?的各态历经性

3

且

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四、证明题

1．证明填空题的1，2小题中的?Xn:n?1?和?Sn:n?0?都构成齐次马氏链

2．重复抛掷一颗骰子，设Xn是第n次?n?1?抛掷出现的点数，则?Xn:n?1?是一独立同分布的随机变量序列（随机过程），证明?Xn:n?1?是一齐次马氏链

3．设X?t?与Y?t?是相互独立的平稳过程，证明下列随机过程也是平稳过程

（1）Z1?t??X?t?Y?t?；（2）Z2?t??X?t??Y?t?

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6ffv.html