华师版九年级数学下册教案全套

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第26章 二次函数 26．1 二次函数

认识二次函数，知道二次函数自变量的取值范围，并能熟练地列出二次函数关系式．

重点

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围． 难点

熟练地列出二次函数关系式．

一、创设情境，引入新课

(1)正方形边长为a(cm)，它的面积s(cm2)是多少？

(2)已知正方体的棱长为x cm，表面积为y cm2，则y与x的关系是________．

(3)矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．

请观察上面列出的三个式子，它们是不是函数？为什么？如果是，它是我们学过的函数吗？ 二、探究问题，形成概念

1．请你结合学习一次函数概念的经验，给以上三个函数下个定义． 2．归纳：二次函数的概念．

3．结合“情境”中的三个二次函数的关系式，给出常数a，b，c的取值范围． 4．结合“情境”中的三个二次函数的关系式，说说它们的自变量的取值范围．

例1 m取哪些值时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以x为自变量的二次函数？ 分析：若函数是二次函数，须满足的条件是：m2－m≠0.

解：若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数，则m2－m≠0，解得m≠0，且m≠1.因此，当m≠0，且m≠1时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数．

探索：若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？ 例2 写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数．

(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系式； (2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系式；

(3)某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y(元)与所存年数x之间的函数关系式；

(4)菱形的两条对角线的和为26 cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系式． 学生通过实际问题的分析，列出关系式，并观察、利用类比的思想总结出二次函数的概念．

归纳结论：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．

三、练习巩固

1．下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y＝x2＝0；

(2)y＝(x＋2)(x－2)－(x－1)2； 1

(3)y＝x2＋；

x

(4)y＝x2＋2x－3.

2．当k为何值时，函数y＝(k－1)xk2＋k＋1为二次函数？

3．已知正方形的面积为y(cm2)，周长为x(cm)．

(1)请写出y与x的函数关系式； (2)判断y是否为x的二次函数．

4．正方形铁片边长为15 cm，在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．

(1)求盒子的表面积S(cm2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3 cm时，求盒子的表面积．

四、小结与作业 小结

1．叙述二次函数的定义．

2．二次函数定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，c叫做常数项．

作业

1．布置作业：教材“习题26.1”中第1，2，4 题． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

本节课通过简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数．通过复习类比，大部分同学对于二次函数的理解都比较好，会找自变量，会列简单的函数关系式，总体效果良好！

26．2 二次函数的图象与性质 1． 二次函数y＝ax2的图象与性质

1．能够利用描点法作出y＝x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．

2．能作出二次函数y＝－x2的图象，并能够比较与y＝x2的图象的异同，初步建立二次函数关系式与图象之间的联系．

重点

会画y＝ax2的图象，理解其性质．

难点

结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来．

一、创设情境，引入新课

导语一 回忆一次函数和反比例函数的定义和图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？ 导语二 展示(用课件或幻灯片)具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？ 导语三 用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？

二、探究问题，形成概念

1．函数y＝ax2 的图象画法及相关名称

【探究1】画y＝x2的图象

学生动手实践、尝试画y＝x2的图象

教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线

教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y＝x2的图象，如图1. 【共同探究】该二次函数图像有何特征？特征如下： ①形状是开口向上的抛物线；

②图象关于y轴对称； ③有最低点，没有最高点．

结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向．

2．函数y＝ax的图象特征及其性质

1

【探究2】在同一坐标系中，画出y＝x2，y＝x2，y＝2x2的图象．

2

学生自己完成此题．教师做个别指导，在学生(大部分)完成后，教师可示范性地画出两函数的图象．如图2.

比较图中三个抛物线的异同．

相同点：①顶点相同，其坐标都为(0，0)； ②对称轴相同，都为y轴；

③开口方向相同，它们的开口方向都向上．

不同点：开口大小不同．

1

【练一练】画出函数y＝－x2，y＝－x2，y＝－2x2的图象．(分析：仿照探究2的实施过程)

21

比较函数y＝－x2，y＝－x2，y＝－2x2的图象．找出它们的异同点．

2相同点：①形状都是抛物线； ②顶点相同，其坐标都为(0，0)； ③对称轴相同，都为y轴；

④开口方向相同，它们的开口方向都向下．

不同点：开口大小不同． 【归纳】y＝ax2的图象特征：

(1)二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线；

(2)抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点．当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点；

(3)|a|越大，抛物线y＝ax2的开口越小．

三、练习巩固

1．已知函数y＝(m－2)xm2－7是二次函数，且开口向下，则m＝________. 2．已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．

(1)求此抛物线的函数关系式；

(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上．

3．已知y＝(k＋2)xk2＋k－4是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大． (1)求k的值；

(2)求顶点坐标和对称轴．

4．已知正方形周长为C (cm)，面积为S (cm2)． (1)求S和C之间的函数关系式，并画出图象； (2)根据图象，求出S＝1 cm2时，正方形的周长； (3)根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2. 四、小结与作业

2

小结

1．抛物线y＝ax2 (a≠0)的对称轴是y轴，顶点是原点．

2．当a＞0时，抛物线y＝ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小． 3．当a＜0时，抛物线y＝ax2的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大． 作业

1．布置作业：教材P7“练习”中第1，2，3题． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”的理念，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣．教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识．整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣．

2． 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 第1课时 二次函数y＝ax2＋c的图象与性质

1．使学生能利用描点法正确作出函数y＝x2＋2与y＝x2－2的图象． 2．理解二次函数y＝ax2＋c的性质及它与函数y＝ax2的关系．

重点

理解二次函数y＝ax2＋c的性质及它与函数y＝ax2的关系． 难点

理解二次函数y＝ax2＋c的性质及它与函数y＝ax2的关系．

一、创设情境，引入新课

同学们还记得一次函数y＝2x与y＝2x＋1的图象的关系吗？____________________. 你能由此推测二次函数y＝x2与y＝x2＋1的图象之间的关系吗？____________________. 那么y＝ax2与y＝ax2＋c的图象之间又有何关系？

________________________________________________________________________. 二、探究问题，形成概念

例1 在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋2的图象． 解 列表

x y＝2x2 … … －3 18 －2 8 －1 2 0 0 1 2 4 2 8 10 3 18 20 … … … 20 10 4 2 y＝2x2＋2 … 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图1所示．

当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

探索：观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数y＝2x2与y＝2x2－2的图象之间的关系吗？

例2 在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2＋1与y＝－x2－1的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线y＝－x2＋1得到抛物线y＝－x2－1.

解 列表 x y＝－x2＋1 … … －3 －8 －2 －3 －1 0 0 1 1 0 －2 2 －3 －5 3 －8 －10 … … … y＝－x2－1 … －10 －5 －2 －1 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图2所示．

可以看出，抛物线y＝－x2－1是由抛物线y＝－x2＋1向下平移两个单位得到的．

抛物线y＝－x2＋1和抛物线y＝－x2－1分别是由抛物线y＝－x2向上、向下平移一个单位得到的． 探索：如果要得到抛物线y＝－x2＋4，应将抛物线y＝－x2－1作怎样的平移？

1

例3 一条抛物线的开口方向、对称轴与y＝x2相同，顶点纵坐标是－2，且抛物线经过点(1，1)，

2求这条抛物线的函数关系式．

解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为(0，－2)， 因此所求函数关系式可看作y＝ax2－2(a＞0)，又抛物线经过点(1，1)， 所以1＝a×12－2，解得a＝3.

故所求函数关系式为y＝3x2－2.

回顾与反思 y＝ax2＋c(a，c是常数，a≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：

y＝ax2＋c a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 三、练习巩固

1．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 111

y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2. 222

观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线1

y＝x2＋c的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2

1

2．抛物线y＝x2－9的开口____________，对称轴是____________，顶点坐标是____________，

41

它可以看作是由抛物线y＝x2向____________平移____________个单位得到的．

4

3．函数y＝－3x2＋3，当x________时，函数值y随x的增大而减小．当x________时，函数取得

最________值，最________值y＝________.

四、小结与作业 小结

本节课你有何收获？本节课你有何疑问？ 作业

1．布置作业： 教材P10“练习”中第1，2，3题． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

函数的教学，尤其二次函数是学生普遍感觉较为抽象难懂的知识．在教学过程中，除了让学生多动手画图象，加深学生对函数图象的了解，加深他们对函数性质的了解外，更重要的是让学生参与到函数图象和性质的探索中去．要利用一切可以利用的材料来帮助学生理解所学的知识．本节中通过表格上函数值的变化让学生猜想函数图象的位置变化，给学生留下较深刻的印象，能较好的掌握图象的平移规律．

第2课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质

1．能画出二次函数y＝a(x－h)2的图象．

2．了解抛物线y＝ax2与抛物线y＝a(x－h)2的联系． 3．掌握二次函数y＝a(x－h)2的图象特征及其简单性质．

重点

会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系．

难点

理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系．

一、创设情境，引入新课

1我们知道，二次函数y＝ax2－2的图象可以由函数y＝ax2的图象向下平移得到，那么函数y＝(x

21

－2)2的图象是否可以由函数y＝x2的图象经过平移而得到呢？

2

二、探究问题，形成概念

11

问题：在同一坐标系中画出二次函数y＝－(x＋1)2，y＝－(x－1)2的图象，指出它们的开口方向、

22111

对称轴和顶点坐标；并结合图象，说说抛物线y＝－x2, y＝－(x＋1)2，y＝－(x－1)2的关系．

222

在教学过程中，学生独立思考后，合作完成．教师巡视指导，针对学生在画图、探究过程中可能出1

现的错误给予指正，对好的给予表扬，并展示其图象，在合作交流过程中探索出抛物线y＝－(x＋1)2，

211

y＝－(x－1)2与y＝－x2的联系．

22

归纳结论：函数y＝ax2与y＝a(x－h)2的图象及其性质如下表： 函数 y＝ax2 开口方向 a＞0，开口向上； 对称轴 y轴 顶点坐标 (0，0) a＜0，开口向下 y＝a(x－h)2 三、练习巩固

111

1．已知函数y＝－x2，y＝－(x＋1)2，y＝－(x－1)2.

222(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象；

(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)分别讨论各个函数的性质．

11

2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝－x2得到抛物线y＝－(x

221

＋1)2和y＝－(x－1)2?

2

3．函数y＝－3(x＋1)2，当x________时，函数值y随x的增大而减小．当x________时，函数取得最________值，最________值y＝________.

4．不画出图象，请你说明抛物线y＝5x2与y＝5(x－4)2之间的关系．

5．将抛物线y＝ax2向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为－2，且新抛物线经过点(1，3)，求a的值．

四、小结与作业 小结

先小组内交流收获感想，后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．

作业

1．布置作业：教材P13“练习”中第1，2 题． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

本节课，学生通过画图、观察、分析二次函数y＝a(x－h)与y＝ax2之间的关系．总结出二次函数

2

a＞0，开口向上； a＜0，开口向下 直线 x＝h (h，0) y＝(a－h)2的性质．在此过程中锻炼了学生分析问题、解决问题和总结概括的能力．

第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质

使学生理解函数y＝a(x－h)2＋k的图象与函数y＝ax2的图象之间的关系．会确定函数y＝a(x－h)2

＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

重点

确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y＝a(x－h)2＋k的图象与函数y＝ax2的图象之间的关系，理解函数y＝a(x－h)2＋k的性质．

难点

正确理解函数y＝a(x－h)2＋k的图象与函数y＝ax2的图象之间的关系以及函数y＝a(x－h)2＋k的性质．

一、创设情境，引入新课

由前面的知识，我们知道，函数y＝2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y＝2x2＋2的图象；函数y＝2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y＝2(x－3)2的图象，那么函数y＝2x2的图象，如何平移，才能得到函数y＝2(x－3)2＋2的图象呢？

二、探究问题，形成概念

111

1．在同一直角坐标系中，画出下列函数y＝x2，y＝(x－2)2，y＝(x－2)2＋1的图象．

2222．观察它们的图象，回答：它们的开口方向都向________，对称轴分别为____________、

____________、____________，顶点坐标分别为________、________、________.请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．

11

归纳结论：函数y＝(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝(x－2)2的图象向上平移1个单位得

221

到的，也可以看成是将函数y＝x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的．

2

二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y＝a(x－h)2＋k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．你能说出函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

【归纳总结】对于二次函数y＝a(x－h)2＋k. (1)开口方向由a决定；

(2)对称轴是直线x＝h，当h<0时，在y轴左侧，当h>0时，在y轴右侧； (3)顶点坐标为(h，k)；

(4)最值：当a>0时，x＝h时，y最小值＝k；当a<0时，x＝h时，y最大值＝k. 形如y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的二次函数关系式称为顶点式，顶点式能直接反映出抛物线的顶点坐标．

三、练习巩固

1．抛物线y＝－3(x＋2)2－4的顶点坐标是，当x时，函数值y随x的增大而增大．

2．若抛物线的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点坐标为(1，0)，则这条抛物线与x轴的另一个交点是________．

3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－4，3)，且经过坐标原点，则这个二次函数的关系式是________________________________________________________________________．

4．已知二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线1

y＝－(x＋1)2＋3.

2

(1)试确定a，h，k的值；

(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向，对称轴和顶点坐标． 5．将抛物线y＝2(x－1)2＋3作下列移动，求得到的新抛物线的关系式． (1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位； (2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向． 四、小结与作业 小结

1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质． 2．平移的方法．

作业

1．布置作业：教材P16“练习”中第1，3 题． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

本节课主要是通过让学生自主学习，动手操作获取经验，并从中获得知识，本节课教师主要处于引导地位，让学生充当学习的主人，较好地体现了学生学习的主动性．

第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质

1．能通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标．

2．会利用对称性画出二次函数的图象．

重点

通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标． 难点

理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质．

一、创设情境，引入新课

我们已经发现，二次函数y＝2(x－3)2＋1的图象，可以由函数y＝2x2的图象先向________平移________个单位，再向________平移________个单位得到，因此，可以直接得出：函数y＝2(x－3)2＋1的开口________，对称轴是____________，顶点坐标是________．那么，对于任意一个二次函数，如y＝－x2＋3x－2，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？

二、探究问题，形成概念

例1 通过配方，确定抛物线y＝－2x2＋4x＋6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．

解 y＝－2x2＋4x＋6 ＝－2(x2－2x)＋6

＝－2(x2－2x＋1－1)＋6 ＝－[2(x－1)2－2]＋6 ＝－2(x－1)2＋8

因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为(1，8)． 由对称性列表：

x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y＝－2x2 0 6 8 6 0 … －10 －10 … ＋4x＋6 描点、连线，如图所示． 回顾与反思：(1)列表选值时，应以对称轴直线x＝1为中心，函数值可由对称性得到．

(2)描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．

探索：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴____________，顶点坐标____________．

例2 已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，求a的值．

分析 顶点在坐标轴上有两种可能：(1)顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0；(2)顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0.

a＋22（a＋2）2a＋2（a＋2）2

解 y＝x－(a＋2)x＋9＝(x－)＋9－，则抛物线的顶点坐标是[，9－]，

2424

2

a＋2（a＋2）2

当顶点在y轴上时，有＝0，解得a＝－2；当顶点在x轴上时，有9－＝0，解得a＝4或

24a＝－8.所以，当抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上时，a有三个值，分别是－2，4，8.

三、练习巩固

1．函数y＝x2－2x＋3的图象的顶点坐标是( ) A．(1，－4) B．(－1，2) C．(1，2) D．(0，3)

1

2．抛物线y＝－x2＋x－4的对称轴是( )

4

A．直线x＝－2 B．直线x＝2 C．直线x＝－4 D．直线x＝4

3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )

A．ab>0，c>0 B．ab>0，c<0 C．ab<0，c>0 D．ab<0，c<0

4．把抛物线y＝－2x2＋4x＋1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( )

A．y＝－2(x－1)2＋6 B．y＝－2(x－1)2－6 C．y＝－2(x＋1)2＋6 D．y＝－2(x＋1)2－6

四、小结与作业 小结

2

bb4ac－b

二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－，)．

2a2a4a

2

作业

1．布置作业：教材P18“练习”中第1，2，3题． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

本节课的重点是用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴．为了使学生能在较复杂的题中顺利应用配方法，教师首先出示了几个较简单的练习由学生完成，并来讨论做题思路．这样这个重点和难点也就自然地得到了突破．

第5课时 二次函数最值的应用

1．会通过配方求出二次函数的最大或最小值．

2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．

重点

会通过配方求出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大或最小值． 难点

在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．

一、创设情境，引入新课

在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如

问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少元时，能使销售利润最大？

在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数y＝－10x2＋100x＋2000.那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗？

二、探究问题，形成概念 例1 求下列函数的最大值或最小值． (1)y＝2x2－3x－5； (2)y＝－x2－3x＋4.

分析 由于函数y＝2x2－3x－5和y＝－x2－3x＋4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．

解 (1)二次函数y＝2x2－3x－5中的二次项系数2＞0， 因此抛物线y＝2x2－3x－5有最低点，即函数有最小值．

349349

因为y＝2x2－3x－5＝2(x－)2－，所以当x＝时，函数y＝2x2－3x－5有最小值是－.

4848(2)二次函数y＝－x2－3x＋4中的二次项系数－1＜0，因此抛物线有最高点，即函数有最大值． 325325

因为y＝－x2－3x＋4＝－(x＋)2＋，所以当x＝－时，函数y＝－x2－3x＋4有最大值是.

2424回顾与反思：最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第

二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

探索：试一试，当2.5≤x≤3.5时，求二次函数y＝x2－2x－3的最大值或最小值．

例2 某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售单价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表：

x(元) 130 150 165 70 50 35 y(件) 若日销售量y是销售单价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售单价定为多少元？此时每日最大销售利润是多少元？

分析 日销售利润＝日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量． 解 由表可知x＋y＝200，因此，所求的一次函数的关系式为y＝－x＋200.

设每日销售利润为s元，则有s＝y(x－120)＝－(x－160)2＋1600，因为－x＋200≥0，x－120≥0，所以120≤x≤200.

所以，当每件产品的销售单价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元． 回顾与反思：解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．

三、练习巩固

1．求下列函数的最大值或最小值．

(1)y＝－x2－2x；

(2)y＝2x2－2x＋1.

2．已知二次函数y＝x2－6x＋m的最小值为1，求m的值．

3．不论自变量x取什么数，二次函数y＝2x2－6x＋m的函数值总是正值，求m的取值范围． 4．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：

2

y＝－0.1x＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．

(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10分时，学生的接受能力是多少？ (3)第几分时，学生的接受能力最强？

5．如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2.

(1)求S与x的函数关系式；

(2)如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？

(3)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

四、小结与作业 小结

让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：

(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；

(2)研究自变量的取值范围； (3)研究所得的函数；

(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值； (5)解决提出的实际问题． 作业

1．布置作业：教材P20“练习”中第2，3题． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

本节课主要是通过配方，使学生能熟悉二次函数最值的求法，从而解决实际问题．使学生明白数学来源于生活，适用于生活．提高学生学习兴趣．

3． 求二次函数的表达式

会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．

重点

已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2，y＝ax2＋bx＋c的关系式是教学的重点．

难点

已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点．

一、创设情境，引入新课

一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数y＝kx＋b(k≠0)的关系式时，通常需要两个独立的条件；确定反比例函k

数y＝(k≠0)的关系式时，通常只需要一个条件；如果要确定二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的关系式，

x又需要几个条件呢？

二、思考探究，获取新知

例1 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

分析 如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是y＝ax2(a＜0)．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．

解 由题意，得点B的坐标为(0.8，－2.4)，

15

又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入y＝ax2(a＜0)，得－2.4＝a×0.82，所以a＝－.因此，函

415

数关系式是y＝－x2.

4

例2 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

(1)已知二次函数的图象经过点A(0，－1)，B(1，0)，C(－1，2)； (2)已知抛物线的顶点为(1，－3)，且与y轴交于点(0，1)；

(3)已知抛物线与x轴交于点(－3，0)，(5，0)，且与y轴交于点(0，－3)； (4)已知抛物线的顶点为(3，－2)，且与x轴两交点间的距离为4.

分析 (1)根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为y＝ax2＋bx＋c的形式；(2)根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为y＝a(x－1)2－3，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；(3)根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为y＝a(x＋3)(x－5)，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；(4)根据已知抛物线的顶点坐标(3，－2)，可设函数关系式为y＝a(x－3)2－2，同时可知抛物线的对称轴为直线x＝3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为(1，0)和(5，0)，任选一个代入y＝a(x－3)2－2，即可求出a的值．

解 (1)设二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个函数的图象过(0，－1)，可以得到c＝－

?a＋b＝1，

1.又由于其图象过点(1，0)，(－1，2)两点，可以得到?解这个方程组，得a＝2，b＝ －1.所以，

a－b＝3，?

所求二次函数的关系式是y＝2x2－x－1.

(2)因为抛物线的顶点为(1，－3)，所以设二次函数的关系式为y＝a(x－1)2－3，又由于抛物线与y轴交于点(0，1)，可以得到1＝a(0－1)2－3，解得a＝4.所以，所求二次函数的关系式是y＝4(x－1)2－3＝4x2－8x＋1.

(3)因为抛物线与x轴交于点(－3，0)，(5，0)，所以设二次函数的关系式为y＝a(x＋3)(x－5)，又由1

于抛物线与y轴交于点(0，－3)，可以得到－3＝a(0＋3)(0－5)．解得a＝.所以，所求二次函数的关系

5112

式是y＝(x＋3)(x－5)＝x2－x－3.

555

(4)根据前面的分析，本题已转化为与(2)相同的题型，请同学们自己完成． 回顾与反思：确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，给出三点坐标可利用此式来求．

(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求． (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点时可利用此式来求．

三、练习巩固

1．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，12)，B(2，－3)．

(1)求该二次函数的关系式；

(2)用配方法把(1)所得的函数关系式化成y＝a(x－h)2＋k的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．

2．已知二次函数的图象与一次函数y＝4x－8的图象有两个公共点P(2，m)，Q(n，－8)，如果抛物线的对称轴是直线x＝－1，求该二次函数的关系式．

3．某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB＝4 m，顶部C离地面高度为4.4 m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8 m，装货宽度为2.4 m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．

4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．

5．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(1，0)与(2，5)两点．

(1)求这个二次函数的关系式；

(2)请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y＝x2＋bx＋c关系式的题目，使所求得的二次函数与(1)的相同．

四、小结与作业 小结

求二次函数关系式的一般步骤是什么？有哪几种求法？ 作业

1．布置作业：教材“习题26.2”中第4，5题． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．

26．3 实践与探索 第1课时 二次函数与实际问题

会通过对现实情境的分析，确定二次函数的关系式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．

重点

确定二次函数的关系式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．

难点

在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求生活中的实际问题．

一、创设情境，引入新课

生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？

二、探究问题，形成概念

12

例1 如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y＝－x2＋x

1235

＋，问此运动员把铅球推出多远？ 3

125

解 如图，铅球落在x轴上，则y＝0，因此，－x2＋x＋＝0，解方程，得x1＝10，x2＝－2(不

1233合题意，舍去)．所以，此运动员把铅球推出了10米．

探索 此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个5

运动员推铅球，铅球刚出手时离地面m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10 m，铅球运

3行中最高点离地面3 m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．

例2 如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA高1.25 m，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1 m处达到距水面最大高度2.25 m.

(1)若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？

(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3.5 m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？(精确到0.1 m)

分析 这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．

解：(1)以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落下与x轴交点为C(如图)． 由题意得，A(0，1.25)，B(1，2.25)，因此，设抛物线为y＝a(x－1)2＋2.25.将A(0，1.25)代入上式，

得1.25＝a(0－1)2＋2.25，解得a＝－1，所以，抛物线的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25.当y＝0时，解得x1＝－0.5(不合题意，舍去)，x2＝2.5，所以C(2.5，0)，即水池的半径至少要2.5 m.

(2)由于喷出的抛物线形状与(1)相同，可设此抛物线为y＝－(x－h)2＋k.由抛物线过点(0，1.25)和(3.5，11729

0)，可求得h＝，k＝≈3.7.所以，水流最大高度应达3.7 m.

7196

三、练习巩固

1．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．

(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的关系式；

(2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物(货物与货船同宽)．问：此船能否顺利通过这座拱桥？

?n＝100a，

解 (1)设抛物线关系式为y＝ax设点B(10，n)，点D(5，n＋3)，由题意：?解得

?n＋3＝25a，

2

n＝－4，??12?1∴y＝－25x. ??a＝－25，

99

(2)方法一：当x＝3时，y＝－，∵－－(－4)＞3.6，∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱

2525桥．

221

方法二：当y＝3.6－4＝－时，－＝－x2，∴x＝±10，∵|±10|＞3，∴在正常水位时，此

5525船能顺利通过这座拱桥

2．某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x(十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：

x(十万元) y 0 1 1 1.5 2 1.8 … … (1)求y与x的函数关系式；

(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式；

(3)如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

??c＝1，

解 (1)设二次函数关系式为y＝ax＋bx＋c.由表中数据，得?a＋b＋c＝1.5，解得?b＝3，5

?4a＋2b＋c＝1.8，

2

1a＝－，

10

所

?c＝1，

以所求二次函数关系式为y＝－

123

x＋x＋1. 105

(2)根据题意，得S＝10y×(3－2)－x＝－x2＋5x＋10.

565

(3)S＝－x2＋5x＋10＝－(x－)2＋.由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大．

24四、小结与作业

小结

先小组内交流收获感想，再以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充． 作业

1．布置作业：教材P28“练习”． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释；课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论．并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励．

第2课时 二次函数和一元二次方程(不等式)的关系

通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系．

重点

使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题．

难点

了解二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．

一、创设情境，引入新课

我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题．

二、探究问题，形成概念 问题3：(教材P28，问题3)

(1)先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－x3

－的图象． 4

13

教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－，0)和(，

220)．

(2)让学生完成(2)的解答．教师巡视指导并讲评．

(3)对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：33

从“形”的方面看，函数y＝x2－x－的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－＝0的解；从“数”

4433

的方面看，当二次函数y＝x2－x－的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－＝0的解．更

44一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y

＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系．

13

(4)根据问题3的图象回答下列问题．①当x取何值时，y＜0；当x取何值时，y＞0(当－＜x＜时，

2213

y＜0；当x＜－或x＞时，y＞0)；②能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题？(能用含有x的不等

2233

式来描述(1)中的问题，即x2－x－＜0的解集是什么？x2－x－＞0的解集是什么？)

44

想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？

让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识：

(1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．

(2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元

二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系．

问题4：(教材P29，问题4)

提问：(1)这两种解法的结果一样吗？ (2)小刘解法的理由是什么？

(3)函数y＝x2和y＝bx＋c的图象一定相交于两点吗？你能否举出例子加以说明？

(4)函数y＝x2和y＝bx＋c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2＝bx＋c的解吗？ (5)如果函数y＝x2和y＝bx＋c图象没有交点，一元二次方程x2＝bx＋c的解怎样？

归纳总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．

三、练习巩固

1．根据二次函数y＝x2－3x－4的图象解题，

则方程x2－3x－4＝0的________________________________________________________________________， 不等式x2－3x－4＞0的解________________________________________________________________________，

解集

是是

不等式x2－3x－4＜0的解集是________________________________________________________________________．

2．抛物线y＝3x2－2x－5与y轴的交点坐标为________，与x轴的交点坐标为________________．

5

3．已知方程2x2－3x－5＝0的两根是，－1，则二次函数y＝2x2－3x－5与x轴的两个交点间的

2距离为________．

4．利用函数的图象，求下列方程的解：

3

(1)x2＋x－1＝0；

221(2)x2＋x＋＝0. 33

5．利用函数的图象，求下列方程组的解：

??y＝－x，(1)?22 ?y＝（x＋1）－5；???y＝x－6，(2)? 2

??y＝－x＋2x.

6．如图所示，二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y2＝kx＋b(k≠0)的图象交于A(－2，4)，B(8，2)．求能使y1＜y2成立的x的取值范围．

四、小结与作业 小结

先小组内交流收获感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充． 作业

1．布置作业：教材“习题26.3”中第3，4题． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

本节课主要是向学生渗透两种思想：函数与方程、不等式互相转化的思想；数形结合思想．难度较大，学生不容易理解，应多加练习．

第27章 圆 27．1 圆的认识 1． 圆的基本元素

1．使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念． 2．让学生深刻认识圆中的基本概念．

重点

圆中的基本概念的认识． 难点

对等弧概念的理解．

一、创设情境，引入新课

圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象．

1．观察以上图形，体验圆的和谐与美丽．请大家说说生活中还有哪些圆形？ 2．请同学们在草稿纸上用圆规画圆，体验画圆的过程，想想圆是怎样形成的． 二、探究问题，形成概念

探究1：圆是如何形成的？

1．请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的． 2．圆的位置是由什么决定的？而大小又是由什么决定的？ 回顾圆的画法，感受圆的形成过程．为本节课的教学作铺垫． 探究2：圆的基本元素

问题：据统计，某个学校的同学上学方式是：有的同学步行上学，有的同学坐公共汽车上学，还有其他方式上学的同学，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式．

我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，右图就是反映学校学生上学方式的扇形统计图．

如右图，线段OA，OB，OC都是圆的半径，线段AC为直径．这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，︵记为“⊙O”．线段AB，BC，AC都是圆O中的弦，曲线BC，BAC都是圆中的弧，分别记为BC，BAC，︵

其中像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像BAC这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，称为等弧．∠AOB，∠AOC，∠BOC就是圆心角．半径相等的圆是等圆．结合上面的扇形统计图，同学们进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素．

三、练习巩固 1．判断：

(1)直径是弦．( ) (2)弦是直径．( )

(3)半圆是弧，但弧不一定是半圆．( )

(4)半径相等的两个半圆是等弧．( ) (5)长度相等的两条弧是等弧．( ) (6)周长相等的圆是等圆．( ) (7)面积相等的圆是等圆．( ) (8)优弧一定比劣弧长．( )

2．如图，在⊙O中，点A，O，D与点B，O，C分别在同一直线上，图中弦的条数为( )

A．2 B．3 C．4 D．5

3．如图，半圆的直径AB＝________.

四、小结与作业 小结

1．这节课你学习了哪些知识？学习了哪些数学思想方法？ 2．你运用怎样的方法来获得这些知识的？ 3．通过今天的学习你有什么收获？ 作业

1．布置作业：教材P37“练习”． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

本节课的概念较多，从学生掌握的情况来看，有的概念弄混淆了．所以应在这方面多讲解、练习．

2． 圆的对称性 第1课时 圆的对称性

1．使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形，并能运用其特有的性质推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．

2．会用这三者之间的关系进行简单的证明．能运用这些关系解决问题．

重点

圆心角、弧、弦之间的关系定理及其推论． 难点

运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题．

一、创设情境，引入新课 要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的．如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合．

由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．

二、探究问题，形成概念

1．同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等．

实验1 将图形1中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度，得到图2中的图形，同学们可以通︵

过比较前后两个图形，发现∠AOB＝∠A′OB′，AB＝A′B′，AB＝A′B′.

实质上，∠AOB确定了扇形AOB的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等．

问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？

三、练习巩固

1．见教材P38例题．

2．下列说法正确的是( ) A．相等的圆心角所对的弧相等

B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等

C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等

3．如图，AB，AC，BC都是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC，∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？

错误! 错误!

四、小结与作业 小结

师生共同总结本节课所学的有关定理． 作业

1．布置作业：教材P39“练习”． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

,第4题图)

4．如图，在⊙O中，弦AB＝AC，AD是⊙O的直径．试判断弦BD和CD是否相等，并说明理由．

本节课的设计完全采用学生小组合作探究的方式进行．《课标》要求学生“做数学”，在做的活动中通过小组合作的方式，尝试与他们交流中获益，并学会尊重他人的看法，在数学活动中感受他人的思维方式和思维过程，以改进自己在认知方面的单一性，促进每一个学生的发展．充分体现学生的课堂参与性与教师的指导性．

第2课时 垂径定理

1．知道圆是轴对称图形，并会用它推导出垂径定理．

2．能运用垂径定理解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法．

重点

垂径定理及其推论的发现、记忆与证明． 难点

垂径定理及其推论的运用．

一、创设情境，引入新课

1．将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？

2．将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？ 3．一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？ 二、探究问题，形成概念 探究1：垂径定理

(思考)如图：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E. ①这个图形是对称图形吗？

②你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由． ③你能用一句话概括这些结论吗？ ④你能用几何方法证明这些结论吗？ ⑤你能用符号语言表达这个结论吗？

归纳结论：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 探究2：垂径定理的推论

如上图，若直径CD平分弦AB，则

①直径CD是否垂直弦且平分弦所对的两条弧？如何证明？ ②你能用一句话总结这个结论吗？

③如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？

归纳结论：垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．

三、练习巩固

︵

1．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，根据圆的轴对称性可得：CE＝________，BC︵

＝________，AC＝________.

,第1题图) ,第2题图)

2．如图，在⊙O中，MN为直径，若MN⊥AB，则________，________，________，若AC＝BC，AB不是直径，则________，________，________.

3．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中)，点O是这段弧的圆心，C是弧上一点，OC⊥AB，垂足为D. AB＝300 m，CD＝50 m，则这段弯路的半径是________m.

四、小结与作业 小结

1．本节课你学到了哪些数学知识？

2．在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？ 3．这些方法中你又用到了哪些数学思想？ 作业

1．布置作业：教材P40“练习”． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

这节课我们主要学习了垂径定理(学生回答)，它是这节课的重点，要求大家分清楚定理的条件和结论，并熟练掌握定理的简单应用，会推导它的逆定理．

3. 圆周角

1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用． 2．理解圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角的定理及其推论并灵活运用．

重点

认识圆周角，同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征．

难点

发现同一条弧的圆周角和圆心角的关系，利用这个关系进一步得到其他知识，运用所得到的知识解决问题．

一、创设情境，引入新课 1．圆心角定义？

2．弦、弧、圆心角三者的关系？ 3．圆周角的性质？

刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，而在其它的位置上，如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．

二、探究问题，形成概念 1．认识圆周角

如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？(顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角)，今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角．

究竟什么样的角是圆周角呢？像图(3)中的角就叫做圆周角，而图(2)、(4)、(5)中的角都不是圆周角．同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角．(顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角)

练习：试找出图1中所有相等的圆周角．

,图1 图2 )

2．圆周角的度数

探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？圆周角所对的弦是否是直径？

如图2，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点(除点A，B)，那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角．想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？

启发学生用量角器量出∠ACB的度数，而后让同学们再画几个直径AB所对的圆周角，并测量出它们的度数，通过测量，同学们认识到直径所对的圆周角等于90°(或直角)，进而给出严谨的说明．

证明：因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，所以∠OAC＝∠OCA，∠OBC180°

＝∠OCB. 又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°.因此，

2不管点C在⊙O上何处(除点A，B)，∠ACB总等于90°，即半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角)．反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径．

3．探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系

(1)分别量一量图中弧AB所对的两个圆周角的度数，比较一下．再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化．你发现其中有什么规律吗？

(2)分别量出图中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？

我们可以发现，圆周角的度数没有变化．并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半． 由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半．

为了验证这个猜想，如图所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：①折痕是圆周角的一条边，②折痕在圆周角的内部，③折痕在圆周角的外部．

我们来分析一下第一种情况：如图(1)，由于OA＝OC，因此∠A＝∠C，而∠AOB是△OAC的外1

角，所以∠C＝∠AOB.对②、③，有同样的结论．(让同学们把推导的过程写出来)，由以上的猜想和

2推导可以得到：

一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半． 三、练习巩固

1．在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等吗？为什么？相等的圆周角所对的弧相等吗，为什么？

2．你能找出下图中相等的圆周角吗？

,第2题图) ,第3题图)

3．这是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你有什么简捷的办法？ 4．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝80°.求∠ABC的度数．

5．在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x＋100)°和(5x－30)°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数．

四、小结与作业 小结

1．圆周角的概念及定理和推论．

2．圆内接多边形与多边形的外接圆的概念和圆内接四边形的性质．

3．应用本节定理解决相关问题． 作业

1．布置作业：教材P44“练习”． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

本节课教师应组织学生先自主探究，再小组合作交流，总结出圆周角定理及其推论，再运用所学知识进行应用，巩固知识．

27．2 与圆有关的位置关系

1． 点与圆的位置关系

1．掌握点和圆的三种位置关系．

2．了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法．

重点

掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法；了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 难点

经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．

一、创设情境，引入新课

同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的；下图是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹．你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算．(击中最里面的圆的成绩为10环，依次为9，8，…，1环)

这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆的位置关系呢？ 二、探究问题，形成概念 探究1：点与圆的位置关系

如图所示，设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d.

则有：点P在圆外，d>r；点P在圆上，d＝r；点P在圆内，d

探索一：(1)经过一个已知点A能确定一个圆吗？ (2)这时圆心和半径都是确定的吗？

探索二：(1)经过两个已知点A，B能确定一个圆吗？ (2)如何确定圆心才能使圆心到两个点的距离相等？

(3)这时圆心和半径都是确定的吗？

探索三：(1)经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？

(2)如何确定圆心才能使圆心到三个点的距离相等？能否受到上一个探究的启发呢？ (3)这时圆心和半径都是确定的吗？ 归纳结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆．经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形．

探索四：过不在同一条直线上的三个点作圆

作法：

(1)作线段AB，BC的垂直平分线，其交点O即为圆心； (2)以点O为圆心，OC长为半径作圆．则⊙O即为所求．

三、练习巩固

1．点A在以O为圆心，3 cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________． 2．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是( ) A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外

D．点P在⊙O上或⊙O外

3．下列命题中，错误的命题是( )

A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．等弧所对的圆周角相等 C．经过三点一定可作圆

D．若一个梯形内接于圆，则它是等腰梯形

4．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是( )

A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 5．判断题：

(1)经过三点一定可以作圆．( )

(2)任意一个三角形有且只有一个外接圆．( ) (3)三角形的外心是三角形三边中线的交点．( ) (4)三角形外心到三角形三个顶点的距离相等．( )

6．如图，残破的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.AB＝24 cm，CD＝8 cm.

(1)求作此残片所在的圆的圆心(不写作法，保留作图痕迹)； (2)求(1)中所作圆的半径．

四、小结与作业 小结

这节课的学习让你有哪些收获呢？

可以分别从知识角度，思想方法角度来谈一谈． 作业

1．布置作业：教材P48“练习”． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

本节课需要注意改进的方面：

1．学生的探究活动时间要得到保证，让学生真正成为学习的主人，教师只是组织者、引导者，不要用教师的讲来代替学生的做．

2．教学过程中发现少数困难生在探究活动中态度欠积极，教师要及时给予指导和引导，唤起他们学习的积极性．

2． 直线与圆的位置关系

理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．

重点

理解直线与圆的三种位置关系． 难点

用数量关系(圆心到直线的距离)判断直线与圆的位置关系．

一、创设情境，引入新课

1．我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？ 2．本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系． 二、探究问题，形成概念

1．用移动的观点认识直线与圆的位置关系

同学们也许看过海上日出，如图，如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，它和地平线就有图中的三种位置关系．

请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？

2．用数量关系判断直线与圆的位置关系

从以上的两个例子，可以看到，直线与圆的位置关系只有以下三种：

如图(1)所示，如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离．

如图(2)所示， 如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切．此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．

如图(3)所示，如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线．

如何用数量来体现圆与直线的位置关系呢？

如上图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，从图中可以看出：

若d＞r?直线l与⊙O相离； 若d＝r?直线l与⊙O相切； 若d＜r?直线l与⊙O相交．

所以，若要判断圆与直线的位置关系，必须对圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，由比较的结果得出结论．

三、练习巩固

1．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是( ) A．相离 B．相切

C．相交 D．无法判断 2．若∠OAB＝30°，OA＝10 cm，则以O为圆心，6 cm为半径的圆与射线AB的位置关系是( ) A．相交 B．相切

C．相离 D．不能确定

3．⊙O内最长弦长为m，直线l与⊙O相离，设点O到l的距离为d，则d与m的关系是( ) A．d＝m B．d＞m mm

C．d＞ D．d＜ 22

4．菱形对角线的交点为O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为( )

A．相交 B．相切

C．相离 D．不能确定

5．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB为63，以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是( ) A．相离 B．相交

C．相切 D．不能确定

四、小结与作业 小结

直线与圆的位置关系有哪些？ 作业

1．布置作业：教材P50“练习”． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

本节课是让学生由图形观察直线与圆的位置关系，从而直观形象地得出直线与圆的位置关系，教学效果较好．

3． 切线

第1课时 切线的性质定理与判定定理

1．理解切线的性质定理．

2．通过学生动手实践，使学生理解切线的判定定理．

重点

理解切线的判定定理． 难点

切线的性质定理、判定定理的综合应用．

一、创设情境，引入新课

当你在下雨天快速转动雨伞(圆)时雨水飞出，让你感受到直线与圆的哪种位置关系？

上节课我们学习了直线与圆的三种位置关系．这节课我们来学习切线的判定定理和性质定理． 二、探究问题，形成概念

探究1：切线的判定定理

(1)已知圆O上一点A，怎样根据圆切线的定义，过点A作圆O的切线l？(请你自己动手完成) (2)观察：

①圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系？ ②二者位置有什么关系？为什么？

(3)由此你发现了什么？

归纳结论：切线的判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

探究2：切线的性质定理：如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？

归纳结论：切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 例1 如图，直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝OA，∠OBA＝45°，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？

例2 如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，∠BAD＝∠B＝30°，边BD交圆于点D，BD是⊙O的切线吗？为什么？

分析 欲证BD是⊙O的切线，由于BD过圆上点D，若连结OD，则BD过半径OD的外端，因此只需证明BD⊥OD，因OA＝OD，∠BAD＝∠B，易证BD⊥OD.

教师板演，给出解答过程及格式． 三、练习巩固

1．见教材P52例2.

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为( )

A．2 cm B．2.4 cm C．3 cm D．4 cm

3．如图，Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？

4．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB＝∠A.

(1)CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由； (2)若CD与⊙O相切，且∠D＝30°，BD＝10，求⊙O的半径． 四、小结与作业 小结

1．切线的判定定理是什么？ 2．切线的性质定理是什么？ 作业

1．布置作业：教材P52“练习”． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

本节课是让学生由图形观察直线与圆的位置关系，从而直观形象地得出直线与圆相切时切线的判定定理和切线的性质定理，教学效果较好．

第2课时 切线长定理与三角形的内切圆

1．掌握切线长定理及其应用． 2．理解三角形内切圆的有关概念． 3．学会作三角形的内切圆．

重点

切线长定理及其应用，三角形的内切圆的画法和内心的性质． 难点

三角形的内心及其半径的确定．

一、创设情境，引入新课

请同学们回顾一下，如何判断一条直线是圆的切线？圆的切线具有什么性质？(经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径)

你能说明以下这个问题吗？

如图所示，PA是∠BAC的平分线，AB是⊙O的切线，切点为E，那么AC是⊙O的切线吗？为什么？

解 连结OE，过点O作OF⊥AC，垂足为F，因为AB是⊙O的切线，所以OE⊥AB，又因为PA是∠BAC的平分线，OF⊥AC，所以OF＝OE，所以AC是⊙O的切线．

二、探究问题，形成概念

(一)探究从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等以及这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角 问题：

1．从圆外一点可以作圆的几条切线？请同学们画一画．

2．请问：这一点与切点之间的两条线段的长度相等吗？为什么？ 3．切线长的定义是什么？

通过以上几个问题的解决，使同学们得出以下的结论：

从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等．这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角．

在解决以上问题时，鼓励同学们用不同的观点、不同的知识来解决问题，它既可以用书上阐述的对称的观点解决，也可以用以前学习的其他知识来解决问题．

(二)对以上探究得到的知识的应用

思考：如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A，B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交PA，PB于点E，F，已知PA＝12 cm，∠P＝70°，(1)求△PEF的周长；(2)求∠EOF的度数．

解 (1)因为PA，PB，EF是⊙O的切线，所以PA＝PB，EA＝EQ，FQ＝FB，所以△PEF的周长＝AE＋EP＋PF＋FB＝PA＋PB＝24 cm

(2)连结OA，OB，OQ，因为PA，PB，EF是⊙O的切线，所以PA⊥OA，PB⊥OB，EF⊥OQ，∠1

AOE＝∠QOE，∠QOF＝∠BOF，所以∠AOB＝180°－∠P＝110°，所以∠EOF＝∠AOB＝55°.

2

(三)三角形的内切圆

想一想，发给同学们如图所示三角形纸片，请在它的上面截一个面积最大的圆形纸片？

提示：画圆必须先确定其位置和大小，即确定圆的圆心和半径，而要截出的圆的面积最大，这个圆必须与三角形的三边都相切．

如图，在△ABC中，如果有一个圆与AB，AC，BC都相切，那么该圆的圆心到这个三角形的三边的距离都相等，如何找到这个圆的圆心和半径呢？

等待同学们想过之后再阐述如何确定圆心和半径．

我们知道，角平分线上的点到角的两边距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．因此，圆心就是△ABC的角平分线的交点，而半径是这个交点到边的距离．

根据上述所阐述的，同学们只要分别作∠BAC，∠CBA的平分线，他们的交点I就是圆心，过I点作ID⊥BC，线段ID的长度就是所要画的圆的半径，因此以I点为圆心，ID长为半径作圆，则⊙I必与△ABC的三条边都相切．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等．

问题：三角形的内切圆有几个？一个圆的外切三角形是否只有一个？

例题 △ABC的内切圆⊙O与AC，AB，BC分别相切于点D，E，F，且AB＝5 cm，BC＝9 cm，AC＝6 cm，求AE，BF和CD的长．

解 因为⊙O 与△ABC 的三边都相切，所以AE＝AD，BE＝BF，CD＝CF，设AE＝x，BF＝y，

??y＋z＝9，CD＝z，则?解得?y＝4，即AE＝1 cm，BF＝4 cm，CD＝5 cm ?z＋x＝6，?z＝5，

三、练习巩固

1．下列说法中，正确的是( )

A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．圆有且只有一个外切三角形 C．三角形有且只有一个内切圆

D．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等

x＋y＝5，x＝1，

2．如图，⊙O内切于Rt△ABC，切点分别是D，E，F，则四边形OECF是________．

,第2题图) ,第3题图)

3．如图，在△ABC中，O是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DO＝DB. 4．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A，B，若直径AC＝12，∠P＝60°，求弦AB的长．

,第4题图) ,第5题图)

5．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2 cm，AD＝4 cm.

(1)求⊙O的直径BE的长； (2)计算△ABC的面积．

四、小结与作业 小结

通过本节课的学习你学会了哪些知识？学会了哪些方法？还有哪些疑惑？ 作业

1．布置作业：教材P55“练习”． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

本节课是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识．体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合．在习题和内切圆的计算中体现了把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而渗透转化思想和方程思想，提高应用意识．

27．3 圆中的计算问题

第1课时 弧长和扇形面积的计算

理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练地运用两个公式进行相关计算．

重点

弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积． 难点

应用公式解决问题．

一、创设情境，引入新课

问题1 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只羊，问：

(1)这只羊的最大活动面积是多少？

(2)如果这只羊只能绕过柱子n°角，那么它的最大活动面积是多少？ nπ×32nπ2

答案：(1)9π m (2)＝(m)

36040

2

问题2 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，这就涉及到计算弧长的问题．

︵

如图，根据图中的数据你能计算AB的长吗？求出弯道的展直长度．

二、探究问题，形成概念 1．探索弧长公式

思考1 你还记得圆的周长的计算公式吗？圆的周长可以看作多少度的圆周角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角所对的弧长是多少？

分析 在半径为R的圆中，圆周长的计算公式为：C＝2πR，则： 圆的周长可以看作360°的圆心角所对的弧；

∴1°的圆心角所对的弧长是1/360·2πR＝πR/180； 2°的圆心角所对的弧长是2/360·2πR＝πR/90； 4°的圆心角所对的弧长是4/360·2πR＝πR/45； ∴n°的圆心角所对的弧长是l＝nπR/180；

由此可得出n°的圆心角所对的弧长是l＝nπR/180.

说明：①在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义，n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式可以按推导过程来理解记忆；③区分弧、弧度、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等；弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中才可能是等弧．

2．扇形面积计算公式

如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．

思考2 扇形面积的大小与哪些因素有关？(学生思考并回答) 从扇形的定义可知，扇形的面积大小与扇形的半径和圆心角有关．扇形的半径越长，扇形面积越大；扇形的圆心角越大，扇形面积越大．

思考3 若⊙O的半径为R，求圆心角为n°的扇形的面积．

nπR21nπR1

【结论】n°的圆心角所对扇形面积为S＝＝××R＝lR，∴扇形的面积公式为S＝

36021802nπR21

或S＝lR. 3602

三、练习巩固

1．见教材P61例1.

2．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，︵

即AB的长．(结果精确到0.1 mm)

︵

3．扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求AB的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1 cm2)．

︵︵

4．如图，两个同心圆被两条半径截得的AB的长为6π cm，CD的长为10π cm，又AC＝12 cm，求阴影部分ABDC的面积．

四、小结与作业 小结

本节课你有哪些收获和体会？ 作业

1．布置作业：教材P62“练习”． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

我们的学生大部分学习比较被动，他们所掌握的知识就局限于老师上课讲的内容，没做过、没讲过的题目基本不会做，一节课所学的内容不能多、不能快，宁可慢点，小步伐地带领学生逐一突破难关.

第2课时 圆锥的相关计算

通过实物演示让学生知道圆锥的侧面展开图是扇形；知道圆锥各部分的名称，能够计算圆锥的侧面积和全面积．

重点

计算圆锥的侧面积和全面积． 难点

圆锥侧面展开的扇形和底面圆之间有关元素的计算．

一、创设情境，引入新课

多媒体播放：青青草原上的蒙古包，介绍蒙古包资料． 请同学们仔细观察蒙古包图片，说说它整体框架近似地看成是由哪些几何体构成的？你知道怎么计算包围在它外表毛毡的面积吗？ 二、探究问题，形成概念 1．圆锥的相关概念

由具体的圆锥模型认识它的侧面展开图，认识圆锥各部分的名称．

把一个圆锥模型沿着母线剪开．让学生观察圆锥的侧面展开图，学生很容易得出：圆锥的侧面展开图是一个扇形．

圆锥的全面展开图是一个扇形和一个圆．

如图，把圆锥底面圆上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线(图中的线段l)，连接顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高(图中的h)．

问题 圆锥有多少条母线？圆锥的母线有什么性质？

通过这个问题使学生理解，在讨论圆锥的侧面展开图时，无论从哪里展开都行． 【结论】圆锥有无数条母线，圆锥的母线长相等． 2．圆锥的侧面积和全面积．

设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么把圆锥侧面展开后的扇形的半径为l，扇形的弧长为1

2πr，因此圆锥的侧面积为·2πr·l＝πrl.圆锥的全面积为πrl＋πr2＝πr(l＋r)．

2

例1 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2，高为3.2 m，外围高1.8 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡？(π取3.142，结果取整数)

解 由题意可知：下部圆柱的底面积为12 m2，高为1.8 m，∴上部圆锥的高为3.2－1.8＝1.4(m)．圆柱的底面圆半径为12

≈1.954(m)．∴圆柱的侧面积为2π×1.954×1.8≈22.10(m2)，圆锥的母线长为π

1

1.9542＋1.42≈2.404(m)．圆锥侧面展开扇形的弧长为2π×1.954≈12.28(m)．圆锥的侧面积为×2.404

2×12.28≈14.76(m2)，∴搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡20×(22.10＋14.76)≈737(m2)

例2 如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图是扇形OAB，经测量，纸杯上开口圆的直径为6 cm，下底圆直径是4 cm，母线长EF＝8 cm，求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积．(结果保留π)

解 设AC，BD交于点O，OC为r，∠AOB＝n°，则有－

nπrnπ（r＋8）nπ（r＋8）

＝4π，＝6π，180180180

nπrnπr45

＝2π，解得n＝45，把n＝45代入＝4π，得r＝16，∴S侧＝π[(r＋8)2－r2]＝π(2r＋8)180180360三、练习巩固

1．圆锥底面圆的半径为5 cm，母线长为8 cm，则它的侧面积为________cm2. 2．圆锥底面圆的直径为6 cm，高为4 cm，则它的全面积为________cm2.

3．圆锥的底面半径为40 cm，母线长为90 cm，则它的侧面展开图的圆心角为________．

＝40π(cm2)，S表＝S侧＋S底＝40π＋4π＝44π(cm2)

4．亮亮想制作一个圆锥模型，模型的侧面是用一个半径为9 cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作的，再用一块圆形铁皮做底，请你帮他计算这块圆形铁皮的半径为________cm.

四、小结与作业 小结

圆锥的侧面展开图是什么？如何计算圆锥的侧面积和全面积？你还有什么疑惑？ 作业

1．布置作业：教材“习题27.3”中第1，2，3题． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

1．本节课从观察圆锥模型开始，通过猜想侧面展开图的形状，然后由老师具体操作验证结论的正确性，并能运用所学知识推导出圆锥的侧面积和全面积公式，培养了学生观察、猜想、探索等方面的能力．

2．本小节教材是复习圆周长公式推出弧长公式，复习圆面积公式推出扇形面积公式，是在小学基础知识上的提升，圆柱和圆锥的侧面积的计算，是将立体图形化为平面图形，通过具体操作，学生可以获得直观的感受，对于学习高中立体几何，会大有帮助．

27．4 正多边形和圆

1．掌握圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角的概念． 2．正多边形的画法．

重点

圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角的概念． 难点

探索正多边形和圆的关系，正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．

一、创设情境，引入新课

观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体．

(1)你能从图案中找出多边形吗？

(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？ 二、探究问题，形成概念

1．如果我们以正多边形的所有对称轴的交点作为圆心，这个点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图．

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

例如：以正五边形为例，这些对称轴也是正五边形各内角的平分线，根据角平分线的性质，点O

到各边的距离都相等，记为r.那么以点O为圆心，r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它是正五边形的内切圆．

由此我们得到：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆．这两个圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角．

2．画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的．等分圆周有两种方式：

(1)用量角器等分圆周

方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆． 方法二：先用量角器画一个等于360°/n的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的1/n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点．

说明：这两种方法可以任意等分圆，但不可避免地存在误差． (2)用尺规等分圆 正方形的作法：如图(1)，在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，则可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形．

正六边形的作法：方法一：如图(2)，任意作一条直径AB，再分别以A，B为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于点C，D和E，F，则A，C，E，B，F，D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD.

方法二：如图(3)，由于正六边形的半径等于边长．所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连结各等分点即可得到正六边形．

说明：尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法，但有较大的局限性，它不能将圆任意等分．

三、练习巩固

1．如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，则∠APB的度数为________．

2．边长为2/π的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为________．

3．如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比．

4．如图，点M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，……正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.

(1)求图1中的∠MON的度数；

(2)在图2中，∠MON的度数为________，在图3中，∠MON的度数为________； (3)试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系．(直接写出答案) 四、小结与作业 小结

谈谈你在本节课的收获或体会：知识、方法、反思、猜想、交流、愉快、困惑、生活． 作业

1．布置作业：教材“习题27.4”中第1，2，3题． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

本节课的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，以“引导——探究——发现”教学法为主，辅之直观演示、讨论交流，让学生真正动手操作，动脑思考，动口交流，动心关注．

第28章 样本与总体 28．1 抽样调查的意义 1． 普查和抽样调查 2． 这样选择样本合适吗

1．了解并掌握：普查、抽样调查、总体、样本、个体这些基本概念． 2．在调查中，会选择合理的调查方式．

3．使学生知道在抽样调查时，所选取的样本必须具有代表性，并能掌握科学的抽样方法，即具有代表性，样本容量必须足够大避免遗漏某一群体，使得所抽取的样本比较合理，能比较准确地反映总体的特征．

重点

1．掌握普查与抽样调查的区别与联系．

2．判断所选取的样本是否具有代表性，是否能够反映总体的特征． 难点

判断所选取的样本是否具有代表性，是否能够反映总体的特征．

一、创设情境，引入新课

利用课本中提出的三个问题导入新课，这是一个比较实际的问题，同学们很容易理解，也容易展开讨论. (营造开放的讨论场面，引导学生讨论并发现问题)

二、探究问题，形成概念

(一)让学生阅读课本78～79页内容并回答 第一个问题同学们把表中的内容填好

表一

姓名 家庭 人数

家庭 人数 家庭 1 2 3 4 5 6 … 人口总数 平均数 … … 表二 人口总数 平均数 数目 第二个问题稍难一些，因为调查的家庭数太多了，不过，利用2010年第六次全国人口普查的数据，我们是可以回答的．

第三个问题最难回答，为什么呢？因为全国人口普查的工作量极大，我国一般每十年进行一次全国人口普查，每五年进行一次全国1%人口的抽样调查．即只是研究约1300万人口，然后对这部分人进行调查，从而得出一个估计的答案．

让学生回答总体、个体、样本、样本容量的概念． 我们把要考察的对象的全体叫做________，把组成总体的每一个考察对象叫做________．从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个________．一个样本包含的个体的数量叫做这个样本的________． 由此可见，________是通过调查总体的方式来收集数据的，________是通过调查样本的方式来收集数据的．

(二)选择合适的样本

1．老师布置给每个小组一个任务，用抽样调查的方法估计全班学生的平均身高，坐在教室最后面的小胖为了争速度，立即就近对他周围的3位同学作调查，计算出他们4个人的平均身高后，就举手向老师示意已经完成任务了．他这样选择样本合适吗？

2．在投掷正方体骰子时甲同学说：“6, 6, 6…啊！真的是6！你只要一直想某个数，就会掷出那个数．”乙同学说：“不对，我发现我越是想要某个数就越得不到这个数，倒是不想它反而会掷出那个数．” 这两位同学的说法正确吗？

3．小强的自行车失窃了，他想知道所在地区每个家庭平均发生过几次自行车失窃事件．为此，他和同学们一起，调查了全校每个同学所在家庭发生过几次自行车失窃事件．

以上3个抽样调查中所抽取的样本行吗？为什么？那么，在抽样调查中抽取样本时应注意些什么？ 归纳结论：抽样调查中抽取样本时应注意：样本必须具有代表性、随机性、广泛性；样本容量要足够大；仅仅增加调查人数不一定能够提高调查质量．

三、练习巩固

1．为了解九年级1000名学生期中数学考试情况，从中抽取了300名学生的数学成绩进行统计．下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②1000名学生是总体；③每名学生的数学成绩是个体；④300名学生是总体的一个样本；⑤300名是样本的容量．其中正确的判断有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．下列调查，适合用普查方式的是( ) A．了解一批电视机显像管的使用寿命

B．了解某河段被污染的程度 C．了解你们班同学的视力情况 D．了解人体血液的成分

3．为了解某市7万名初中毕业生中考的数学成绩，从中抽取了考生人数的10%，然后对他们的数学成绩进行分析，对这次抽样调查描述不正确的是( )

A．每名考生的数学成绩是个体 B．样本容量是7000 C．10%的考生是样本

D．7万名考生的数学成绩是总体

4．某课外兴趣小组为了解所在地区某影片的受欢迎状况，分别进行了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是( )

A．在公园调查了100名游人的评价

B．在电影院里调查了1000名观众的评价 C．调查了10名邻居的评价

D．利用问卷方式随机调查了该区10%公众的评价

5．小明从一批乒乓球中随意摸出三个，检测全部合格，因此小明断定这批乒乓球全部合格．在这个问题中，小明( )

A．忽略了抽样调查的随机性

B．忽略了抽样调查的随机性和广泛性 C．抽取的样本容量太小，不具有代表性 D．忽略了抽样调查的随机性和代表性

6．下列抽样调查中抽取的样本合适吗？为什么？

(1)数学老师为了了解全班同学数学学习中存在的困难和问题，请数学成绩优秀的10名同学开座谈会；

(2)在北京市调查我国公民的受教育程度； (3)在七年级学生中调查青少年对网络的态度；

(4)调查每个班学号为5的倍数的学生，以了解全校学生的身高和体重．

四、小结与作业 小结

通过本节课的学习，同学们有什么收获和疑问？ 作业

1．布置作业：教材“习题28.1”中第1，2，3，4题． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

在学生的练习中反映出这样几个问题：1.交代总体、样本、个体时只说人数，不交代调查的内容；2.说样本容量时带单位；3.判断样本是否合适时，语言不够简练．所以，在课后应对这3点进行强调．

28．2 用样本估计总体 1． 简单随机抽样

正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法的一般步骤．

重点

正确理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法的步骤． 难点

能灵活应用相关知识从总体中抽取样本．

一、创设情境，引入新课

情景1：妈妈为了知道饼熟了没有，从刚出锅的饼上切下一小块尝尝，如果这一小块熟了，那么能否估计整张饼熟了？

情景2：环境检测中心为了了解一个城市的空气质量情况，会在这个城市中分散地选择几个点，从各地采集数据．如果是你，你准备怎样做？

二、探究问题，形成概念 1．什么是简单的随机抽样

上面的例子不适宜做普查，而需要做抽样调查，那么应该如何选取样本，使它具有代表性，而能较好地反映总体的情况呢？

要想使样本具有代表性，不偏向总体中的某些个体，有一个对每个个体都公平的方法，决定哪些个体进入样本，这种思想的抽样方法我们把它称为简单的随机抽样．

2．用简单的随机抽样方法来选取一些样本

假设总体是某年级300名学生的数学考试成绩，我们已经按照学号顺序排列如下： 97 92 89 86 93 73 74 72 60 98 70 90 89 90 71 80 69 92 70 64 92 83 89 93 72 77 79 75 80 93 93 72 87 76 86 82 85 82 87 86 81 88 74 87 92 88 75 92 89 82 88 86 85 76 79 92 89 84 93 75 93 84 87 90 88 90 80 89 72 78 73 79 85 78 77 91 92 82 77 86 90 78 86 90 83 73 75 67 76 55 70 76 77 91 70 84 87 62 91 67 88 78 82 77 87 75 84 70 80 66 80 87 60 78 76 89 81 88 73 75 95 68 80 70 78 71 80 65 82 83 62 72 80 70 83 68 74 67 67 80 90 70 82 85 96 70 73 86 87 81 70 69 76 68 70 68 71 79 71 87 60 64 62 81 69 63 66 63 64 53 61 41 58 60 84 62 63 76 82 76 61 72 66 80 90 93 87 60 82 85 77 84 78 65 62 75 64 70 68 66 99 81 65 98 87 100 64 68 82 73 66 72 96 78 74 52 92 83 85 60 67 94 88 86 89 93 99 100 79 85 68 60 74 70 78 65 68 68 79 77 90 55 80 77 67 65 87 81 67 75 57 75 90 86 66 83 68 84 68 85 74 98 89 67 79 77 69 89 68 55 58 63 77 78 69 67 80 82 83 98 94 96 80 79 68 70 57 74 96 70 78 80 87 85 93 80 88 67 70 93.

用简单抽样的方法选取三个样本，每个样本含有5个个体，老师示范完成了第一个样本的选取，请同学们继续完成第二和第三个样本的选取．

第一个样本：

抽到的编号(学号) 成绩 第二个样本：

111 80 254 86 167 66 94 91 276 67

抽到的编号(学号) 成绩 第三个样本：

抽到的编号(学号) 成绩 课堂活动：用简单的随机抽样方法从300名学生的数学成绩的总体中选取两个样本，每个样本含有20个个体．

第一个样本：

抽到的 编号 (学号) 成绩 第二个样本：

抽到的 编号 (学号) 成绩 同学们从刚才的活动中可以体会到，抽样之前，同学们不能预测到哪些个体会被抽中，像这样不能够预先预测结果的特性叫做随机性．所以统计学家把这种抽样的方法叫做随机抽样．

你能总结抽签法的一般步骤吗？

【归纳结论】开始→编号→制签→搅匀→抽签→定样→结束

三、练习巩固

1．下列抽样方法是简单随机抽样的是( )

A．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表 B．从实数集中逐个抽取10个数分析能否被2整除 C．福利彩票用摇奖机摇奖

D．规定凡买到明信片的最后几位号码是“6637”的人获三等奖 2．为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有________．

①2000名运动员是总体； ②每个运动员是个体；

③所抽取的20名运动员是一个样本； ④样本容量为20；

⑤这个抽样方法可采用随机法抽样； ⑥每个运动员被抽到的机会相等．

3．下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为什么？

(1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；

(2)箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子．

4．某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？ 5．人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时按次序翻牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种抽样方法是否是简单随机抽样？

四、小结与作业 小结

通过引导学生回顾简单随机抽样的概念及实施方法，鼓励学生积极回答，最后教师再从数学思想方法上作总结：简单随机抽样并不是随意或随便抽取，因为随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素，影响公正性．

作业

1．布置作业：教材“习题28.2”中第1题． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

1．本节课能注重学生发展自主性，主张给学生多一点空间、时间，使学生在亲历知识结论的探索中获得对数学价值的认识．

2．整个教学过程突出三个注重，即①注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决问题的乐趣；②注重师生间、同学间的互动协作，共同提高；③注重从现实生活中提炼有价值的数学问题，养成用数学思想方法思考实际问题的习惯．

3．面对不同层次的教学对象，学生的基础反应情况和感悟情况不一，因此在教学时间上应作适当的调整，对运用新知、深化理解等环节视实际情况作灵活的增删．

2． 简单随机抽样调查可靠吗

使学生认识到只有样本容量足够大，才能比较准确地反映总体的特性，这样的样本才可靠，体会只有可靠的样本，才能用样本去估计总体．

重点

通过随机抽样选取样本，绘制频数分布直方图、计算平均数和方差，并与总体的频数分布直方图、平均数和方差进行比较，得出结论．

难点

通过随机抽样选取样本，绘制频数分布直方图、计算平均数和方差，并与总体的频数分布直方图、平均数和方差进行比较，得出结论．

一、创设情境，引入新课

在上节课中，我们知道在选取样本时应注意的问题，其一是所选取的样本必须具有代表性，其二是所选取的样本的容量应该足够大，这样的样本才能反映总体的特性，所选取的样本才比较可靠．

二、探究问题，形成概念

1．用例子说明样本中的个体数太少，不能真实反映总体的特性

让我们仍以上一节300名学生的考试成绩为例，考察一下抽样调查的结果是否可靠．上一节中，老师选取的一个样本是： 抽到的编号(学号) 成绩 111 80 254 86 167 66 94 91 276 67 它的频数分布直方图、平均成绩和方差分别如下：

另外，同学们也分别选取了一些样本，它们同样也包含五个个体，根据小明取到的两个样本数据得到的频数分布直方图、计算它们的平均成绩和方差，如下图所示：

从以上三张图比较来看，它们之间存在明显的差异，平均数和方差与总体的平均数与方差也相去甚远，显然这样选择的样本不能反映总体的特性，是不可靠的．以下是总体的频数分布直方图、平均成绩和方差，请同学们把三个样本的频数分布直方图、平均成绩和方差与它进行比较，更能反映这样选取样本是不可靠的．

2．选择恰当的样本个体数目

下面是某位同学用随机抽样的方法选取两个含有40个个体的样本，并计算了它们的平均数与方差，绘制了频数分布直方图，具体如下：

从以上我们可以看出，当样本中个体太少时，样本的平均数、方差往往差距较大，如果选取适当的样本的个体数，各个样本的平均数、方差与总体的方差相当接近．

三、练习巩固

1．对某校400名学生的体重(单位：kg)进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60 kg以上的人数为( )

A．300 B．100 C．60 D．20

2．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( ) A.66 B. 55

C.2 D．2 3．为了了解我市某县参加今年初中毕业会考的6000名考生的数学成绩，从中抽查了200名学生的数学成绩(成绩为整数，满分120分)进行统计分析，并根据抽查结果绘制了如下的统计表和扇形统计图：

成绩(分) 人数 成绩(分) 人数 59.5以下 28 79.5～89.5 59.5～69.5 44 89.5～99.5 69.5～79.5 46 99.5以上 32

(1)请将以上统计表和扇形统计图补充完整； (2)若规定60分以下(不含60分)为“不合格”，60分以上(含60分)为“合格”，80分以上(含80分)为“优秀”，试求该样本的合格率、优秀率；

(3)在(2)的规定下，请用上述样本的有关信息估计该县本次毕业会考中数学成绩优秀的人数和不合格的人数．

四、小结与作业 小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充．

作业

1．布置作业：教材“习题28.2”中第2 题． 2．完成同步练习册中本课时的练习．

一般来说，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确，相应地，搜集、整理、计算数据的工作量也就越大，因此，在实际工作中，样本容量既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出的代价的大小．

28．3 借助调查做决策 1． 借助调查做决策

1．了解媒体是获取信息的一个重要渠道，学会从媒体上获取数据信息，包括上网、看电视、读报、听广播等，并通过对这些数据的分析进行决策．

2．学会对来自媒体的数据信息进行合理的分析，发表自己的观点．

重点

1．综合运用所学统计知识读取媒体信息，并进行适当的分析．

2．能够对信息中数据的来源及处理数据的方法以及由此得到的结果进行合理的质疑． 难点

从统计(数学)的角度对媒体信息进行质疑，并能有条理地阐述自己的观点．

一、创设情境，引入新课

媒体是获取信息的一个重要渠道，通过媒体可以便捷地获取丰富、实时的信息．

举例：如果明天我们要郊游，可以留意报纸、广播、电视中的天气预报或者上网查询，要是天气预报说“明天降雨概率为90%”，那我们可能都会带上雨具．

请同学再举几个通过媒体获取数据进行决策的例子．

二、探究问题，形成概念

某啤酒厂推出一种有奖销售方案：该厂在出厂的所有啤酒的瓶盖内分别印上“再”“来”“一”“瓶”“啤”“酒”六个字中的一个(文字颜色与啤酒颜色相近，从瓶外无法看清文字)，集齐分别印有这六个不同文字的六个啤酒瓶盖就可换取一瓶该品牌的啤酒．假如印有这六个文字的瓶盖个数一样多，而且每

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