2017年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷(3)

2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（3）姓名_______

一、填空题，每题8分 1.设sinx?cosx?

2.设i为虚数单位，化简(i?1)2016?(i?1)2016?

3.已知等差数列a1,a2,?a1000的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则a1? 4.集合

1，则sin3x?cos3x? 2??x???2x???3x?x?R???1,2,?,100?共有个元素，其中?x?表示不超过x的最大

整数。

5.若关于x的方程x2?aex有三个不同的实根，则实数a的取值范围是

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O为正方体的中心，点M,N分别在6.在如图所示的单位正方体ABCD?A1BC11D1中，设

棱A1M?1D1,CC1上，A12,CN?,则四面体OMNB1的体积等于 23MA1D1B1C1NDAOBC

7.已知抛物线P以椭圆E的中心为焦点，P经过E的两个焦点，并且P与E恰有三个交点，则E得离心率等于

二、简答题

22an?1?3an?1?98.已知数列?an?满足a0?1,a1?5,an?，n?2。用数学归纳法证明：

2an?2an?2n?2?3

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229.证明：对任意的实数a,b,c都有a?ab?b?a2?ac?c2?3a2?(a?b?c)2并

求等号成立的充分必要条件。

10.求满足1?mn?nm?mn的所有正整数对(m,n)

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2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案

三、填空题，每题8分 1.设sinx?cosx?1，则sin3x?cos3x? 2解答：由sinx?cosx?113ncxo?s，故sinxcosx??，从而，可得1?2six2481311(1?)? 2816sin3x?cos3x?(sinx?cosx)(sin2x?cosxsinx?cos2x)?2.设i为虚数单位，化简(i?1)2016?(i?1)2016? 解答：由(i?12)?i2，可得(i?12)01?621，同理可得(i?12)01?621故

(i?1)2016?(i?1)2016?21009

3.已知等差数列a1,a2,?a1000的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则a1? 解答：设等差数列的公差为d，则有100a1?4950d?100，100a1?94950d?1000解得

a1?0.505

4.集合

??x???2x???3x?x?R???1,2,?,100?共有个元素，其中?x?表示不超过x的最大

整数。

解答：设f(x)??x???2x???3x?则有f(x?1)?f(x)?6，当0?x?1时，f(x)的所有可能值为

0,1,2,3.由此

?f(x)得值域S??6k,6k1,k?62k?,6?k?,3Z??x???2x???3x?x?R???1,2,?,100??4?17?1?67个元素。

5.若关于x的方程x2?aex有三个不同的实根，则实数a的取值范围是 解答：设f(x)?xe，则f'(x)?(2x?x)e2?x2?x当x?0时，f(x)?xe单调递减，当

2?x0?x?2时，f(x)?x2e?x单调递增，当x?2时，f(x)?x2e?x单调递减，f(0)?0，

f(2)?4e?2，当x???时f(x)?0因此，f(x)?x2e?x?a有三个不同的实根当且仅

当0?a?4e

?2O为正方体的中心，点M,N分别在6.在如图所示的单位正方体ABCD?A1BC11D1中，设

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棱A1M?1D1,CC1上，Ax,y,z轴建立空间直解答：以A为原点，AB,AD,AA1为

????????????12,CN?,则四面体OMNB1的体积等于 231112角坐标系，则有O(,,0),M(0,,1),N(1,1,),B1(1,0,1)2223?111????????????由此四面体OMNB1的体积V?OB1?ON?OM?

6727.已知抛物线P以椭圆E的中心为焦点，P经过E的两个焦点，并且P与E恰有三个交点，则E得离心率等于

MA1D1B1C1NDAOBCx2y2解答：不妨设椭圆E的方程为2?2?1(a?b?0)，Pab经过E的两个焦点，x2?2cy?c2

a2?b2?c2，P与E恰有三个交点，所以c?2b，则E得离心率等于e?四、简答题

c25 ?a522an?1?3an?1?98.已知数列?an?满足a0?1,a1?5,an?，n?2。用数学归纳法证明：

2an?2an?2n?2?3

证明：a0?1?22?3,a1?5?23?3,从而an?2n?2?3对n?0,1成立。 当n?2时假设an?1?2n?1?3，an?2?2n?3 由递推公式可得

22an2(2n?1?3)2?3(2n?1?3)?94?22n?15?2n?9n?2?1?3an?1?9an????2?3 nn2an?22(2?3)2?3由此，an?2n?2?3对一切n?0成立。

229.证明：对任意的实数a,b,c都有a?ab?b?a2?ac?c2?3a2?(a?b?c)2并

求等号成立的充分必要条件。

证明方法一：a2?ab?b2?a2?ac?c2?3a2?(a?b?c)2两边平方

?2a2?a(b?c)?b2?c2?2(a2?ab?b2)(a2?ac?c2)?4a2?2a(b?c)?(b?c)2移项合并?1(a2?ab?b2)(a2?ac?c2)?a2?a(b?c)?bc两边平方展开可得

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?a4?a3(b?c)?a2(b2?bc?c2)?abc(b?c)?b2c2移项合并 12222?a?a(b?c)?a((b?c)?2bc?c)?abc(b?c)?bc2432?3223a(b?c2)?a2bc?a2(b?c)2?0 42不等式成立的必要是a(b?c)?0

当a?0不等式等号成立等价于bc?0，当b?c时不等式等号成立。

综上所述，不等式等号成立的充分必要条件是a?0且bc?0或者b?c

证明方法二：设向量??(a?b3c3,b),??(a?,c)则2222????a2?ab?b2?a2?ac?c2 ????(2a?b?c23)?(b?c)2?3a2?(a?b?c)2 24根据三角不等式???????即可得所要证明的不等式，不等号成立的充分必要条件

b2c2-b(a?)=0?a(b?c)?0，以下同证是?、?平行且方向相同。当?∥?时，c(a?）明方法一。

10.求满足1?mn?nm?mn的所有正整数对(m,n)

解答：引理1:f(x)?lnx在(0,e?上单调递增，在?e,???上单调递减。 x引理2：当x?0时，ln(1?x)?x

由引理1可得mn?nm?lnmlnn?有以下情形， mn情形一：n?1,m?2，(m,n)均满足题设

情形二：m?2,n?5设g(x)?2?x?2x,x?5则g(x)?2ln2?2x?2?0

x2'x由g(5)??3,g(6)?16，可得满足题设条件的(m,n)只有(2,5)

情形三：m?3,n?2易知满足要求。 情形四：m?3,n?m?1，设

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g(x)?mx?xm?mx当x?m?1时

g'(x)?mxlnm?mxm?m?xm?mxm?1?m?xm?1?m?0所以 g(x)?mx?xm?mx单调递增，因此，

1??g(n)?g(m?1)?mm?1?(m?1)m?m(m?1)?mm?1?m?(1?)m??m(m?1)

m??当m?3时，g(m)?5

当m?4时，g(m)?mm?m(m?1)?0无(m,n)满足题设条件。 综上，所有满足题设条件的正整数为(m,1),(2,5)(3,2)m?2

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