北京市石景山区2010年高三统一测试

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数学试题（理科）

考生须知： 1．本试卷为闭卷考试，满分150分，考试时间为120分钟。 2．本试卷各题答案均答在本题规定的位置。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。 1．复数

2等于 1?iA．?2i

B．2i

C．1?i

D．1?i

（ ）

2．已知命题p:?x?R,x?2，那么命题?p为

A．?x?R,x?2 C．?x?R,x??2

B．?x?R,x?2 D．?x?R,x??2

（ ）

3．已知平面向量a?(1,2)，b?(?2,m),且a//b,则m的值为

（ ）

A．1 B．-1 C．4 D．-4

4．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：㎝2）为 A．80 B．60 C．40 D．20

5．经过点P（2，-3）作圆(x?1)2?y2?25的弦AB，使点P为

弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为

A．x?y?5?0

B．x?y?5?0

（ ）

（ ）

C．x?y?5?0 D．x?y?5?0

6．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）

1n1*B．求数列{}的前10项和(n?N)

2n1*C．求数列{}的前11项和(n?N)

n1*D．求数列{}的前11项和(n?N)

2n*A．求数列{}的前10项和(n?N)

7．已知函数f(x)的导函数f?(x)的图象如图所示， 那么函数f(x)的图象最有可能的是

8．已知函数f(x)?()?log2x，正实数a,b,c是公差为正数的等差数列，且满足

（ ）

13xf(a)?f(b)?f(c)?0。若实数d是方程f(x)?0的一个解，那么下列四个判断：

①d?a;②d?b;③d?c;④d?c中有可能成立的个数为 A．1

B．2

C．3

D．4

（ ）

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 9．二项式(x?作答）

10．已知曲线C的参数方程为?24)的展开式中的常数项为 ，展开式中各项系数和为 。（用数字x?x?cos?,（?为参数），则曲线C的普通方程是 ；点A

?y??2?sin?,?2x?y?2?0?在曲线C上，点M(x,y)在平面区域?x?y?2?0上，则|AM|的最小值是 。

?2y?1?0?11．如图，已知PE是圆O的切线，直线PB交圆O于

A、B两点，PA=4，AB=12，AE?43，则PE的 长为 ，?ABE的大小为 。 12．某校从参加高三年级期末考试的学生中抽出60名学

生，并统计了他们的历史成绩（成绩均为整数且满分 为100分），把其中不低于50分的成绩分成五段

?50,60?,?60,70??[90,100]后，画出部分频率分

布直方图（如图），那么历史成绩在?70,80?的学 生人数为 。

13．函数y?cosx?sinx?2sinx?cosx的最小正周期为 ，此函数的值域为 。

14．在数列{an}中，若an?an?1?p,(n?2,n?N,p为常数)，则称{an}为“等方差数列”，下

22*22

列是对“等方差数列”的判断；

2①若{an}是等方差数列，则{an}是等差数列；

②{(?1)n}是等方差数列；

③若{an}是等方差数列，则{akn}(k?N*,k为常数)也是等方差数列； ④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列。

其中正确命题序号为 。（将所有正确的命题序号填在横线上）

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分）

在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且a?1,c?2,cosC?3

，4 （1）求sin(A?B)的值； （2）求sinA的值； （3）求CB?CA的值。 16．（本题满分13分）

如图，两个圆形转盘A，B，每个转盘阴影部分各占转盘面积的

11和。某“幸运转盘积分活24动”规定，当指针指到A，B转盘阴影部分时，分别赢得积分1000分和2000分。先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转另一个转盘，此时活动结束，若第一次未赢得积分，则终止活动。

（1）记先转A转盘最终所得积分为随机变量X，则X的取值

分别是多少？

（2）如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先

转哪个转盘？请说明理由。 17．（本题满分14分） 如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1，?ACB?90?，E是棱CC1上动点，F是AB中点，

AC?BC?2,AA1?4.

（1）求证：CF?平面ABB1；

（2）当E是棱CC1中点时，求证：CF//平面AEB1； （3）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角

A—EB1—B的大小是45°，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由。

18．（本题满分13分）

在数列{an}中，a1?3,an??an?1?2n?1(n?2,且n?N)

*

（1）求a2,a3的值；

（2）证明：数列{an?n}是等比数列，并求{an}的通项公式； （3）求数列{an}的前n项和Sn。 19．（本题满分14分）

x2y26已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，3ab直线l:y?kx?m交椭圆于不同的两点A、B。

（1）求椭圆的方程；

???????? （2）求m?k,且OA?OB?0,求k的值（O点为坐标原点）；

（3）若坐标原点O到直线l的距离为 20．（本题满分13分）

已知函数f(x)?px?3，求?AOB面积的最大值。 2p?2lnx. x （1）若p?2，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线；

（2）若函数f(x)在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围； （3）设函数g(x)?取值范围。

2e,若在[1,e]上至少存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，求实数p的x

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数学试题（理科）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。 1—5CBDAA 6—8BAC

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

9．24，81

10．x2?(y?2)2?1 11．80，30 12．18

13．?,[?2,2]

14．①②③④ 注：一题两空的第1个空3分，第2个空2分。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分）

解：（1）?在?ABC中，A?B???C

?sin(A?B)?sin(??C)?sinC

又?cosC?3， 4，

?0?C??2

?sinC?1?cos2C?7. 3分 47. 4

?sin(A?B)? （2）由正弦定得得

ac?. sinAsinC

?sinA?asinC?c1?74?14. 8分

8222 （2）由余弦定理得c?a?b?2abcosC

23?(2)2?12?b2?2?1?b?，

4则2b?3b?2?0 解得b?2或b??21（舍） 11分 2

?CB?CA?|CB|?|CA|?cosC?1?2?33?. 13分 4216．（本题满分13分） 解：（1）X的取值分别是：0分，1000分，3000分 3分 （2）由已知得，转动A盘得到积分的概率为

转动B盘得到积分的概率为

1， 21 5分 4设先转A盘所得的积分为X分，先转B盘所得的积分为Y分，则有

11?, 6分 22113P(X?1000)??(1?)?， 7分

248111P(X?3000)???. 8分

2481316000?EX?0??1000??3000??. 9分

28883同理：P(Y?0)? 10分

41P(Y?2000)?, 11分

81P(Y?3000)?. 12分

83115000?EY?0??2000??3000??.

4888P(X?0)?1? 故先转A盘时，赢得积分平均水平较高。 13分

17．（本题满分14分）

（1）证明：?三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，

?BB1?平面ABC

又?CF?面ABC， ?CF?BB，1分

??ACB?90°，AC=BC=2，F是AB中点 ?CF?AB 2分

又?BB1?AB?B, 3分

?CF?平面ABB1。 4分

（2）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG

?F,G分别是棱AB、AB1中点， ?FG//BB1,FG?1BB1 21又EC//BB1,EC?BB1

2?FG//EC,FG?EC

?四边形FGEC是平行四边形，6分

?CF//DG. 7分

?CF?平面AEB1，EG?平面AEB1 8分

?CF//平面AEB1。 9分

（3）解：以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x,y,z轴正半轴，

建立如图所示的空间直角坐标系C?xyz.

则C（0，0，0），A（2，0，0），B1（0，2，4） 10分

?设E(0,0,m)，平面AEB1的法向量n?(x,y,z)

?????????则AB1?(?2,2,4),AE?(?2,0,m) ?????????????且AB1?n,AE?n

??????????AB1?n??2x?2y?4z?0,于是???? ????AE?n??2x?0y?mz?0mz?x?,??2所以?

?y?mz?4z??2

?取z?2,则n?(m,m?4,2) 12分

?三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，

?BB1?平面ABC，

又?AC?平面ABC

?AC?BB1

??ACB?90? ?AC?BC

?BB1?BC?B.

?AC?平面ECBB1 ?????CA是平面EBB1的法向量，

????CA?(2,0,0)

二面角A—EB1—B的大小是45°，

?????CA?n2m2????则cos45????? 13分

2222|CA|?|n|2?m?(m?4)?2解得m?

5. 2?在棱CC1上存在点E，使得二面角A—EB1—B的大小是45°。

5此时CE?. 14分

218．（本题满分13分）

（1）解：?a1?3,an??an?1?2n?1(n?2,且n?N*)

?a2??a1?4?1??6. 2分 a3??a2?6?1?1. 4分

（2）证明：

?an?n(?an?1?2n?1)?n?an?1?n?1????1.

an?1?(n?1)an?1?n?1an?1?n?1

?数列{an?n}是首项为a1?1?4，

公比为-1的等比数列。 7分

?an?n?4?(?)n?1，

即an?4?(?1)n?1?n,

?{an}的通项公式为an?4?(?1)n?1?n(n?N*)

（3）解：?an?4?(?1)n?1?n(n?N*)

所以当n是奇数时，

1Sn??ak??[4?(?1)k?1?k]??(n2?n?8). 10分

2k?1k?1当n是偶数时，

nn1Sn??ak??[4?(?1)k?1?k]??(n2?n). 12分

2k?1k?1?12?(n?n?8),n是正奇数,??2综上，S?? 13分

?-1(n2?n),n是正偶数,??2nn

19．（本题满分14分）

解：（1）设椭圆的半焦距为c，

?c6?,?依题意?a3

?a?3?解得c?22

2

2由a?b?c,得b?1. 2分

x2?所求椭圆方程为?y2?1. 3分

3

（2）?m?k,?y?kx?k?k(x?1)

设A(x1,y1),B(x2,y2)，

?x22??y?1其坐标满足方程?3

?y?(kx?1)?消去y并整理得

(1?3k2)x2?6k2x?3k2?3?0, 4分

则??(6k2)2?4(1?3k2)(3k2?3)?0（*） 5分

?6k23k2?3,x1?x2?故x1?x2? 6分 221?3k1?3k

?AO?OB?0

?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?1)?(kx2?1)

?(1?k2)x1x2?k2(x1?x2)?k2

3k2?32?6k2k2?32?(1?k)?k??k?2?0

1?3k21?3k23k?12

?k??3 经检验?k??3满足式（*）式 8分

（3）由已知

2|m|1?k2?3， 2

可得m?32(k?1) 9分 4将y?kx?m代入椭圆方程，

整理得(1?3k)x?6kmkx?3m?3?0.

222??(6km)2?4(1?3k2)(3m2?3)?0(*)

?6km3m2?3?x1?x2?,x1?x2?. 10分 221?3k1?3k

36k2m212(m2?1)?|AB|?(1?k)(x2?x1)?(1?k)[2?] 2(3k?1)3k?12222

12(k2?1)(3k2?1?m2)3(k2?1)(9k2?1)?? 11分 222(3k?1)(3k?1)

12k2?3?4?3?9k?6k2?11， k21212?3??4(k?0) 12分 12?3?69k2?2?6k

当且仅当9k?2

即k??3时等号成立， 33满足（*）式 3

经检验，k??

当k?0时，|AB?3 综上可知|AB|max?2.13分

?当|AB最大时，?AOB的面积最大值S?133 14分 ?2??22220．（本题满分13分）

解：（1）当p?2时， 函数f(x)?2x?2?2lnx,f(1)?2?2?2ln1?0 x22f(x)?2?2?

xx曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为

f1(1)?2?2?2?2. 1分

从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

y?0?2(x?1),

即y?2x?2

p2px2?2x?p. 3分 （2）f?(x)?p?2??2xxx

2令h(x)?px?2x?p，要使f(x)在定义域（0，∞）内是增函数

只需h(x)?0在（0，+∞）内恒成立 4分

由题意p?0,h(x)?px?2x?p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为

2

x?1p?(0,??)， ?h(x)1min?p?p, 只需p?1p?0,即p?1时， h(x)?0,f?(x)?0

?f(x)在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是?1,???3）?g(x)?2ex在[1,e]上是减函数， ?x?e时， g(x)min?2;

x?1时,g(x)min?2e，

即g(x)?[2,2e] 1分

①当p?0时，h(x)?px2?2x?p 其图象为开口向下的抛物线，对称轴x?1p在y轴的左侧， 且h(0)?0，所以f(x)在x?[1,e]内是减函数。 当p?0时，在h(x)??2x 因为x?[1,e]， 所以h(x)?0,f?(x)??2xx2?0. 此时，f(x)在x?[1,e]内是减函数。 故当p?0时，f(x)在x?[1,e]上单调递减

?f(x)max?f(1)?0?2，不合题意；

②当0?p?1时，由x?[1,e]?x?1x?0 所以f(x)?p(x?1)?2lnx?x?1xx?2lnx. 又由（2）知当p?1时，f(x)在x?[1,e]上是增函数，

6分

（

?x?111?2lnx?e??2lne?e??2?2，不合题意； 11分 xee③当p?1时，由（2）知f(x)在x?[1,e]上是增函数，

f(1)?0?2

又g(x)在x?[1,e]上是减函数， 故只需f(x)max?g(x)min,x?[1,e]

而f(x)max?f(e)?p(e?)?2lne,g(x)min?2 即P(e?)?2lne?2, 解得p?1e1e4e， e2?14e,??)。 13分 2e?1所以实数p的取值范围是(注：另有其它解法，请酌情给分。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6er7.html