【新版】人教版七年级上册数学教学案：1.2 有理数【精品】

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1．2 有理数

第一课时

三维目标

一、知识与能力

理解有理数的概念，懂得有理数的两种分类方法：会判别一个有理数是整数还是分数，是正数、负数还是零．

二、过程与方法

经历对有理数进行分类的探索过程，初步感受分类讨论的思想．

三、情感态度与价值观

通过对有理数的学习，体会到数学与现实世界的紧密联系．

教学重难点及突破

在引入了负数后，本课对所学过的数按照一定的标准进行分类，提出了有理数的概念．分类是数学中解决问题的常用手段，通过本节课的学习，使学生了解分类的思想并进行简单的分类是数学能力的体现，教师在教学中应引起足够的重视．关于分类标准与分类结果的关系，分类标准的确定可向学生作适当的渗透，集合的概念比较抽象，学生真正接受需要很长的过程，本课不宜过多展开．

教学准备

用电脑制作动画体现有理数的分类过程．

教学过程

四、课堂引入

1、我们把小学里学过的数归纳为整数与分数，引进了负数以后，我们学过的数有哪些？将如何归类？

2．举例说明现实中具有相反意义的量．

3．如果由A地向南走3千米用3千米表示，那么-5千米表示什么意义？

4．举两个例子说明+5与-5的区别．

5．数0表示的意义是什么？

二、自主探究

在学生讨论的基础上，引导学生自己进行有理数的分类，我们学过的数就可以分为

以下几类：

正整数，如1，2，3，…；

零：0；

负整数，如-1，-2，-3，…；

正分数，如1

3

，

22

7

，4.5（即4

1

2

）；

负分数，如-1

2

，-2

2

7

，-0.3（即-

3

10

），-

3

5

……

正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数，整数和分数统称有理数．回答下列各题：

（1）0是不是整数？0是不是有理数？

（2）-5是不是整数？-5是不是有理数？

（3）-0.3是不是负分数？-0.3是不是有理数？

2．你能对以上各种数作出一张分类表吗（要求不重复不遗漏）？

让学生把自己作出的分类表进行分类，可以根据不同需要，用不同的分类标准，?但必须对讨论对象不重不漏地分类．把一些数放在一起，就组成一个数的集合，?简称数集．所有的有理数组成的数集叫做有理数集．类似的，?所有整数组成的数集叫做整数集，所有正数组成的数集叫做正数集，所有负数组成的数集叫做负数集，如此等等．

五、题例精解

例把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里：-18，22

7

，3.1416，0，?2001，

?-3

5

，?0.142857，95%

六、随堂练习

一、判断

1．自然数是整数．（） 2．有理数包括正数和负数．（）

3．有理数只有正数和负数．（） 4．零是自然数．（）

5．正整数包括零和自然数．（） 6．正整数是自然数．（）

7．任何分数都是有理数．（） 8．没有最大的有理数．（）

9．有最小的有理数．（）

七、课堂小结：（提问式）

1．有理数按正、负数，应怎样分类？

2．有理数按整数、分数，应怎样分类？

3．分类的原则是什么？

八、课后作业：

1．课本第14页习题1．2第1题．

九、板书设计：

1．2 有理数

第一课时

1、复习巩固，例题讲解。

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.2.2 数轴

第二课时

三维目标

一．知识与技能

（1）掌握数轴三要素，能正确地画出数轴．

（2）能准备地将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数．

二、过程与方法

经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，初步学会数学的类比方法和数形结合的思想方法．

三、情感态度与价值观

体会知识源于生活，并应用于生活．

教学重、难点与关键

1．重点：理解数形结合的数学方法，?掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数． 2．难点：正确理解有理数和数轴上的点的对应关系．

3．关键：掌握数形结合的数学方法．

教具准备

投影仪．

教学过程

四、复习提问、新课引入

1．有理数包括哪些数？有理数是怎样分类的？

2．回顾小学数学是如何利用数轴表示正数和零的？

五、新授

引入负数后，又如何利用数轴表示有理数呢？让我们先看一个问题．

在一条东西走向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．

1．画一条直线表示马路，从左到右表示从西到东的方向．

2．因为柳树、杨树都在汽车站的东面，即在汽车站的右边．槐树、?电线杆在汽车站的西面，即在汽车站的左边，它们都相对汽车站而言，所以在直线上任取一个点O表示汽车站的位置，规定1个单位规定．（线段OA的长代表1m长）（如下图）

3．分别标出柳树、杨树、槐树、电线杆的位置．

在点O右边，与O距离3个单位长度的点B表示柳树的位置：点O右边，与O?点距离7.5个单位长度的点C表示杨树的位置；点O左边，与点O距离3个单位长度的点D?表示槐树位置；点O的左边，与点O距离4.8个单位长度的点E表示电线杆的位置．

问：怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系？（方向、?距离）

为了使表达更清楚、更简洁，我们把点O?左右两边的数分别用正数和正数表示．符号表示方向，点O的左边表示负数，点O的右边表示正数．

这样就可以简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系了．

这里，-4.8中的负号“－”表示汽车站（点O）的左边，4.8表示与点O?的距离为4.8个单位长度．

说明：以上分析，教师应边讲边画，分步进行．

观察后回答：（课本第11页）温度计可以看作表示正数、0和负数的直线吗？?它和课本图1．2-1有什么共同点，有什么不同点？

答：可以，课本图1．2-2也是把正数、o和负数用一条直线上的点表示出来，它是向上方向为正（即0的上方表示正数，0的下方表示负数），只要把温度计水平放下就与课本图1．2-1相同了．

一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：

（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，记为0；

（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，?从原点向左（或下）为负方向；

（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，?每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…．像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素，缺一不可．

单位长度的大小可以根据不同的需要选择．

任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，例如3.5，数轴上从原点向右3.5个单

位长度的点表示3.5，又如要表示-21

3

，从原点向左2

1

3

个单位长度的点就表示-2

1

3

，如

下图．

归纳：先由学生填空，然后教师加以讲评．

六、巩固练习

1．请同学们在练习本上画一条数轴．

2．下面的各图是不是数轴？为什么？

3．在数轴上画出表示下列各数的点．

（1）4，-2，-4，113，0，-213

（2）-100，100，-250，-400，0，2.5

4．指出数轴上A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数？

5．在数轴上与表示-1的点的距离为2个单位长度的点有几个？请你在数轴上把它们画出来，它们分别表示什么数？

学生独立完成后，老师讲解，给出正确的答案．

七、课堂小结

数轴是非常重点的数学工具，它的出现对数学的发展起了重要作用，它揭示了数和形之间的内在联系，很多数学问题都可以以它为基础，借助图直观地表示，为研究问题提供了新方法．

八、作业布置

1．课本第10页练习1、2题，第14页习题1．2的第2题．

九、板书设计：

1.2.2 数轴

第二课时

1、像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素，缺一不可．

单位长度的大小可以根据不同的需要选择．

任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，例如3.5，数轴上从原点向右3.5个单位

长度的点表示3.5，又如要表示-21

3

，从原点向左2

1

3

个单位长度的点就表示-2

1

3

，如下

图．

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.2.3 相反数

第三课时

三维目标

一．知识与技能

（1）借助数轴了解相反数的概念，知道两个互为相反数的位置关系．

（2）给出一个数，能求出它的相反数．

二、过程与方法

借助数轴，通过观察特例，总结出相反数的概念．从数和形两个侧面理解相反数．

三、情感态度与价值观

鼓励学生积极进行归纳、比较交流等活动．

教学重、难点与关键

1．重点：理解相反数的意义，会求一个数的相反数．

2．难点：理解和掌握双重符合的简化．

3．关键：通过观察特例，以及互为相反数的两个数在数轴上的位置，?理解相反数．教学过程

四、复习提问课堂引入

在数轴上，画出表示6，-6，21

2

，-2

1

2

，4

1

3

，-4

1

3

各数的点．

五、新授

请同学们观察后回答：

1．上述中6和-6；21

2

和-2

1

2

，4

1

3

和-4

1

3

每对数有什么特点？

2．每对数在数轴上所表示的点有什么特点？

3．再观察课本第8页的图1．2-1中点D 和点B ，它们的位置关系如何？?它们各表示的数有什么特点？

概括：

（1）每一对数，只有符号不同．

（2）在数轴上表示每一对数的两个点分别在原点的两边，?并且离开原点的距离相等．

（3）点D 和点B 分别位于原点的两边，且与原点的距离相等，它们分别表示-3?和3．

思考：数轴上与原点的距离是2的点有几个？这些点表示的数是什么？?与原点的距离是5的点呢？

归纳：

一般地，设a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点左右，表示-a 和a ，那么称这两个点关于原点对称，如下图： -22-a a 0

像这样只有符号不同的两个数叫做互为相反数，例如6和-6，212和-212，都是互为相反数，也就是说6的相反数是-6，-212的相反数是212

． 一般地，a 和-a 互为相反数，特别地，0的相反数仍是0．

问：数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关系？

答：数轴上表示相反数的两个点是关于原点对称，是在原点的两旁（除0?外），并且与原点的距离相等．

注意相反数与倒数的区别，若两个数只有符号不同，那么这两个数叫做互为相反数；若两个数的乘积等于1，则这两个数叫互为倒数．任何有理数都有相反数，?零的相反数是零，而零没有倒数．

例1：分别写出下列各数的相反数．

5，-7，-312

，+11.2，0． 解：5的相反数是-5；-7的相反数是7；-3的相反数是3；+11.2的相反数是-11.2；0的相反数是0．

强调书写格式，防止出现如“5=-5”的错误．

容易看出，在正数前面添上“－”号，就得到这个正数的相反数．在任意一个数的前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数．

例如：-（+5）=-5，-（-7）=7，-（-31

2

）=3

1

2

，-（+11.2）=-11.2，-0=0．

我们知道一个正数，前面的“＋”号可以写也可以不写，所以在一个数的前面添上“＋”号，表示这个数没有变化，还是它本身．

例如：+（-4）=-4，+（+12）=12，+0=0

六、课堂练习

1．写出下列各数的相反数．

+21

3

，-2.5，0，

4

3

2．化简下列各数．

-（-30），-（+3），-（-38.2），+（-5），+（+2

7）．

3．指出下列各对数，哪些是相等的数？哪些是互为相反数？

+（-3）与-3，-（+3）与3，-（-71

2

）与-7

1

2

．

4．如果a=-a，那么表示a的点在数轴上的什么位置？

5．你会化简下列各数吗？试试看．（本题可根据学生实际情况选用）

-[+（-2）]，-[-（-6）]．

提示：

因为任意数a是-a的相反数，所以表示a的点在数轴上与表示-a?的点关系原点对称，这两个点分别在原点左、右两边且与原点距离相等．

七、课堂小结

本节课我们学习了相反数的概念、相反数的求法和双重符号的简化．理解相反数的意义，相反数总是一正一反成对出现（零除外），从数轴上看，表示互为相反数的两个点，分别在原点的两边，且到原点距离相等．要表示一个数的相反数，只要在这个数前面添“－”号，-a表示a的相反数，当a是正数时，-a表示一个负数；当a是负数时，则-a表示正数．此外我们还应该注意相反数和倒数的区别．

八、作业布置

1．课本第11页练习1、2、3题，第15页习题1．2第3题．

九、板书设计：

1.2.3 相反数

第三课时

1、一般地，设a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点左右，表示-a 和a ，那么称这两个点关于原点对称，如下图： -22-a a 0

像这样只有符号不同的两个数叫做互为相反数，例如6和-6，212和-212，都是互为相反数，也就是说6的相反数是-6，-2

12的相反数是212

． 2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.2.4 绝对值

第四课时

三维目标

一、知识与技能

（1）借助数轴初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值． （2）通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．

二、过程与方法

通过观察实例及绝对值的几何意义，探索一个数的绝对值与这个数之间的关系，培养学生语言描述能力．

三、情感态度与价值观

培养学生积极参与探索活动，体会数形结合的方法．

教学重、难点与关键

1．重点：正确理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值．

2．难点：正确理解绝对值的几何意义和代数意义．

3．关键：借助数轴理解绝对值的几何意义，?根据绝对值定义和相反数的概念，理解绝对值的代数意义．

四、教学过程

一、复习提问，新课引入

1．什么叫互为相反数？

2．在数轴上表示互为相反数的两个点和原点的位置关系怎样？

五、新授

在一些量的计算中，有时并不注意其方向，例如，为了计算汽车行驶所耗的油量，起作用的是汽车行驶的路程而不是行驶的方向．

1．观察课本第11页图1．2-5，回答：

（1）两辆汽车行驶的路线相同吗？

（2）它们行驶路程的远近相同吗？

? ?这两辆车行驶的路线不同（方向相反），?但行驶的路程的远近相同，?都是10km．课本图1．2-5中表示-10的点B和表示10的点A离开原点的距离都是10，?我们就把这个距离10叫做数-10、10的绝对值．

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作│a│．

这里的数a可以是正数、负数和0．

例如上述的10和-10的绝对值记作│10│=10，│-10│=10，?同样在数轴上表示+6和-6的两个点，离开原点的距离都是6，即6和-6的绝对值都是6，记作│6│=6，?│-6│=6．数轴上表示数0的点与原点的距离是0，所以│0│=0．

2．试一试：

（1）│+2│=______，│1

5

│=_____，│+10.6│=________．

（2）│0│=_______．

（3）│-12│=_______，│-20.8│=_______，│-321

7

│=_______．

3．你能从上面解答中发现什么规律吗？

学生若有困难，教师可提示：所得的结果与绝对值符号内的数有什么关系？

从而得出绝对值的代数意义：

（1）一个正数的绝对值是它本身；

（2）零的绝对值是零；

（3）一个负数的绝对值是它的相反数．

我们用a表示任意一个有理数，上述式子可以表示为：

①当a是正数时，│a│=_______；

②当a是负数时，│a│=_______；

③当a=0时，│a│=_______．

以上先让学生填空，然后让学生给a?取一些具体数值检验所填写的结果是否正确．教师问：

（1）任何一个有理数都有绝对值吗？一个数的绝对值有几个？

（2）有没有一个数的绝对值等于-2？任何一个数的绝对值一定是怎样的数？

（3）绝对值等于2的数有几个？它们是什么？

归纳：

①任何有理数都有唯一的绝对值，任意一个数的绝对值总是正数或0，?不可能是负数，即对任意有理数a，总有│a│≥0．

②两个互为相反数的绝对值相等，即│a│=│-a│．

③因为0的绝对值是0，而0的相反数是它本身0，因此可知绝对值等于它本身的数是正数或者零，绝对值等于它的相反数的数是负数或零．

六、巩固练习

1．课本第12页练习1、2题．

第1题强调书写格式，防止出现“-8=8”的错误．

第2题（1）错，如3与-2的符号相反，但它们不是互为相反数，?应改为“只有大小相等符号相反的数是互为相反数”．（2）正确．（3）错，因为这个点也可能越靠左，应改为：“一个数的绝对值越大，表示它的点离原点越远．”（4）正确．

七、课堂小结

理解绝对值的几何意义和代数意义．从几何意义可知，一个数的绝对值是表示该数的点与原点的距离，因为距离总是正数和零，所以有理数的绝对值不可能是负数，从绝对值的代数定义也可进一步理解这一点．

引入绝对值概念后，有理数可以理解为由性质符号和绝对值两部分组成的，如-5

就是由“－”号和它的绝对值5两部分组成．

八、作业布置

1．课本第15页习题1．2第4、7、10题．

九、板书设计：

1.2.4 绝对值

第四课时

①任何有理数都有唯一的绝对值，任意一个数的绝对值总是正数或0，?不可能是负数，即对任意有理数a，总有│a│≥0．

②两个互为相反数的绝对值相等，即│a│=│-a│．

③因为0的绝对值是0，而0的相反数是它本身0，因此可知绝对值等于它本身的数是正数或者零，绝对值等于它的相反数的数是负数或零．

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.2.4 绝对值

第五课时

三维目标

一、知识与技能

掌握有理数的大小比较的两种方法──利用数轴和绝对值．

二、过程与方法

经历利用绝对值以及利用数轴比较有理数的大小，进一步体会“数形结合”的数学方法，培养学生分析、归纳的能力．

三、情感态度与价值观

会把所学知识运用于解决实际问题，体会数学知识的应用价值．

教学重、难点与关键

1．重点：会利用绝对值比较有理数的大小． 2．难点：两个负数的大小比较．

3．关键：正确理解绝对值的概念．

四、教学过程

一、复习提问，引入新课

用“>”、“<”号填空．

1．5.7______6.3； 2．2

7

_____

3

8

； 3．0.03_______0；

4．│-3│_______│2│； 5．│-2

3

│_______│-

3

2

│．

五、新授

引入负数后，如何比较两个有理数的大小呢？让我们从熟悉的温度来比较，大家观察课本第12页中“未来一周天气预报”．

1．课本图1．2-6中共有14个温度，其中最低的是多少？最高的是多少？

2．请你将这14个温度按从低到高的顺序排列．

课本图1．2-6中的14个温度按从低到高排列为：

-4℃，-3℃，-2℃，-1℃，0℃，1℃，2℃，3℃，4℃，5℃，6℃，7℃，8℃，9℃．按照这个顺序排列的温度，在温度计上所对应的点是从下到上的，按照这个顺序把这些数表示在数轴上，表示它们的各点的顺序是从左到右的，如课本图1．2-?7，这就是说在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数，因此，我们可以利用数轴比较有理数的大小．

例如在数轴上表示-6的点在表示-5的点的左边，所以-6<-5．

同样-5<-4，-31

2

<-3，-2<0，-1<1，…

从数轴上可知：

表示正数的点都在原点的右边；表示负数的点都在原点左边．

因此有正数大小0，0大于负数，正数大于负数．

两个正数的大小比较小学已学过，不画数轴你会比较两个负数的大小吗？

探索：

我们知道，在数轴上越靠左边的点所表示的数越小，而这个点与原点的距离越大，即这个点所表示的数的绝对值越大，因此，我们还可以利用绝对值比较两个负数的大小．即两个负数，绝对值大的反而小．

例如：│-2│=2，│-5│=5，即│-2│<│-5│，因此-2>-5．

同样│-1│<│-3│，所以-1>-3．

例1：比较下列各对数的大小：

（1）-（-1）和-（+2）； （2）-821

和-37； （3）-（-0.3）和│-13│． 解：（1）先化简，-（-1）=1，-（+2）=-2，

正数大于负数，1>-2．

即 -（-1）>-（+2）．

（2）这是两个负数比较大小，要比较它们的绝对值，绝对值大的反而小．

│-

821│=821

，│-37│=37=921． 因为821<921，即│-821

│<│-37│， 所以-821>-37

． （3）先化简，-（-0.3）=0.3，│-13│=13

=.0.3， 0.3<0.3，即-（-0.3）<│-13│． 初学时，要求学生按以上步骤进行，能化简的要先化简，?然后按照有理数的大小比较法则：异号两数比较大小，要考虑它们的正负，根据“正数大于负数”，?同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值，特别是两个负数大小比较，先各自求出它们的绝对值，然后依法则：两个负数，绝对值大的反而小，比较绝对值大小后，即可得出结论． 例2：已知a>0，b<0且│b │>│a │，比较a ，-a ，b ，-b 的大小．

解：方法一，可通过数轴来比较大小，先在数轴上找出a ，-a ，b ，-b?的大致位置，再比较．

由a>0，b<0可知表示a 的点在原点的右边，表示b 的点在原点的左边；由│b │>?│a │，可知表示b 的点离开原点的距离更远，即它应在表示a 的点的左边，?然后再根据两个互为相反数在数轴上所表示的点在原点两边，且与原点距离相等即可得到下图． -b -a a 0b

根据数轴上，较左边的点所表示的数较小，可得：

b<-a

六、课堂练习

1．课本第14页练习．

2．补充练习：

（1）比较大小，并用“<”连结．

①-34，-712，-56

；②-（-10），-│-10│，9，-│+18│，0． （2）有理数a ，b 在数轴上的表示如下图，用“>”或“<”号填空． 1-1a 0b

①a_____b ； ②│a │_____│b │； ③-a_____-b ； ④

1a _____1b ． 七、全课小结（提问式）

比较有理数的大小有哪几种方法？

有两种方法，方法一：利用数轴，把这些数用数轴上的点表示出来，然后根据“数轴上较左边的点所表示的数比较右边的点所表示的数小”来比较．

方法二：利用比较法则：“正数大于零，负数小于零，两个负数比较绝对值大的反而小”来进行．

在比较有理数的大小前，要先化简，从而知道哪些是正数，哪些是负数．

八、作业布置

1．课本第15页习题1．2第5、6、8题．

九、板书设计：

1.2.4 绝对值

第五课时

1、表示正数的点都在原点的右边；表示负数的点都在原点左边．

因此有正数大小0，0大于负数，正数大于负数．

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6eeq.html