山东省德州市2022-2022学年高二上学期期末考试数学文试题

山东省德州市2020-2021学年高二上学期期末考试数学文试

题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知命题:0,1x p x e x ?>>+，则p ?为（ ）

A ．0,1x x e x ?>≤+

B ．0,1x x e x ?>≤+

C ．0,1x x e x ?<≤+

D ．0,1x x e x ?<≤+ 2．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）

A ．10,8?

? ??? B ．10,2?

? ??? C ．1

,08?? ??? D ．1

,02?? ???

3．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）

A ．x-2y-1=0

B ．x-2y+1=0

C ．2x+y-2=0

D ．x+2y-1=0

4．若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??+≥??--≤?

则2z x y =-的最大值为( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

5．函数()x f x xe =在点()()

0,0A f 处的切线斜率为（ ） A ．0 B ．-1 C ．1 D ．e

6．“02n <<”是“方程22

113x y n n

-=+-表示双曲线”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不

必要条件

7．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm ），可知此几何体的体积是（ ）

A ．324cm

B ．364cm 3

C ．3(6+

D ．3(24+

8．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（ ）

A ．内切

B ．相交

C ．外切

D ．相离 9．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A ．//m α，//n β且//αβ，则//m n

B ．

m α?，n α?，//m β，//n β，则//αβ C ．m α⊥，n β?，m n ⊥，则αβ⊥

D ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥

10．过点()2,0P 引直线l 与曲线y =相交于,A B 两点，O 为坐标原点，当AOB ?的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）

A B ．-C ．D ．11．设12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b

-=>>的左、右焦点．圆2222x y a b +=+与双曲线C 的右支交于点A ，且1223AF AF =，则双曲线离心率为（ ）

A ．125

B ．135

C ．2

D 12．已知点(0,2)A ，抛物线2:(0)C y mx m =>的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相

交于点M ，与其准线相交于点N ，若:FM MN =，则三角形OFN 面积为（ ）

A ．

B ．

C ．4

D ．

二、填空题

13．若曲线1()y x R αα=+∈在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α=__________． 14．某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h 为6米（如图所示），路面设计

是双向车道，车道总宽为，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道

设计的拱宽d 至少应是__________ 米．

15．若21()ln 2

f x x b x =-+在(1,)+∞上是减函数，则b 的取值范围是__________． 16．已知圆()()22:5121C x y -+-=和两点()()(),0,,00A a B a a ->．若圆C 上至

少存在一点P ，使得090APB ∠=，则a 的取值范围__________．

三、解答题

17．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=.

（1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.

（2）当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =时，求直线的方程. 18．如图，已知PA O ⊥所在的平面，AB 是O 的直径，4,AB C =是O 上一点，

且0,45,AC BC PCA E =∠=是PC 中点，F 为PB 中点．

（1）求证：//EF 面ABC ；

（2）求证：EF ⊥面PAC ；

（3）求三棱锥B PAC -的体积．

19．已知函数()32

2f x ax bx x =+-，且()f x 在1x =和2x =处取得极值． （1）求函数()f x 的解析式；

（2）设函数()()g x f x t =+，是否存在实数t ，使得曲线()y g x =与x 轴有两个交点，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）

已知命题:p 直线20ax y +-=和直线()32110ax a y -++=垂直；命题:q 三条直线2310,4350,10x y x y ax y -+=++=--=将平面划分为六部分．若p q ∨为真命题，求实数a 的取值集合．

21．已知函数()21ln 22

x f x x x =-+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；

（2）证明：当1x >时，()1f x x <-；

（3）确定实数k 的值，使得存在01x >，当()01,x x ∈时，恒有()()1f x k x >-．

22．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2

，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相

交于,A B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆C 截得线段长为（1）求椭圆C 的方程；

（2）在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q ，使得直线l 变化时，总有PQA PQB ∠=∠？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

1．B

【解析】

全称命题的否定是特称命题，所以命题:p “0,1x

x e x ?>>+”，的否定p ?为“0,1x x e x ?>≤+”故选B.

2．A

【解析】

【分析】

抛物线22y x =焦点在y 轴上，则128

p =得到答案. 【详解】 因为抛物线的方程为2

2y x =，所以其焦点在y 轴上，128p = 则抛物线的焦点坐标是10,8?? ???.

故选：A

【点睛】

本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.

3．A

【分析】

设出直线方程，利用待定系数法得到结果.

【详解】

设与直线

平行的直线方程为， 将点代入直线方程

可得，解得． 则所求直线方程为

．故A 正确． 【点睛】

本题主要考查两直线的平行问题，属容易题．两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以与直线

平行的直线方程可设为．

4．B

【分析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.

【详解】

作出约束条件1,0,20,y x y x y ≤??+≥??--≤?

，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得

1122y x z =-，平移直线12

y x =可知，当直线经过点()1,1C -时，直线的截距最小，代值计算可得z 取最大值()max 1213z =-?-=

故选B.

【点晴】

本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

5．C

【解析】

由题'()(1)x

f x e x =+ ， 0'(0)(01)1f e ∴=+=

∴ 函数()x f x xe =在点()()0,0A f 处的切线斜率为

1

6．A 【解析】

方程

22

1

13

x y

n n

-=

+-

表示双曲线则1+(3)0

n n

?->

（），解得13

n

-<<，

∴02

n

<<是“方程

22

1

13

x y

n n

-=

+-

表示双曲线”的充分不必要条件.

7．B 【解析】

由三视图可知，该几何体是如下图所示的四棱锥，故体积为164

444

33

???=3

cm.故选B.

8．B

【解析】

=，半径分别为2,3，

3223

∴-<<+，所以两圆相交．故选C．

考点：圆与圆的位置关系．

9．D

【分析】

对每一个命题逐一判断得解.

【详解】

对于A ，若m ∥α，n ∥β且α∥β，说明m 、n 是分别在平行平面内的直线，它们的位置关 系应该是平行或异面或相交，故A 不正确；

对于B ，若“m ?α，n ?α，m ∥β，n ∥β”，则“α∥β”也可能α∩β＝l ，所以B 不成立． 对于C ，根据面面垂直的性质，可知m ⊥α，n ?β，m ⊥n ，∴n ∥α，∴α∥β也可能α∩β＝l ， 也可能α⊥β，故C 不正确；

对于D ，由m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m 与n 一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾， 通过平移使得m 与n 相交，且设m 与n 确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即 为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m 与n 所成的角为90°，故命题D 正确． 故答案为D

【点睛】

本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力和空间 想象能力.

10．B

【解析】

当AOB ?面积取最大值时，,OA OB ⊥

曲线y =,A B 两点，O 为坐标原点，

∴圆心()0,0O

，半径r =AOB ?

是等腰直角三角形，2OA OB AB ∴===，∴圆心()0,0O 到直线l 的距离为1，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，不合题意；当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程为()2y k x =-，圆心()0,0O 到直线l

的距离为1d ==

，解得k =±

，0,k k <∴= B. 11．D

【详解】

12F F 是双曲线()2222

:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点，圆22222x y a b c +=+=与双曲线C 的右支交于点A ，所以122F F c =， 1290,F AF ∴∠=1232AF AF =，

12212,2

AF AF AF a ∴-==126,4AF a AF a ∴==， 22236164a a c ∴+=

，,c c e a ∴=∴==， 故选:D.

【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据双曲线的定义以及勾股定理关于焦半径和焦距的关系．从而找出,a c 之间的关系，求出离心率e ．

12．A

【详解】 根据抛物线的定义有MB MF =

，依题意可知cos NMB ∠=

tan NMB ∠=

即2tan 4

OA AFO m

OF ∠===

，故m =所以ONF ?

的高为4=

，面积为142

=故选A.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义，考查直线与圆锥曲线位置关系，考查数形结合的数学思想方法.首先根据题意画出图象，包括M 到准线的距离MB ，根据题目所给的比例关系，利用角的正切值建立方程，求得m 的值，然后利用角的正切值求出高并求出三角形的面积. 13．2

【解析】

y ′＝αx α－1，∴y ′|x ＝1＝α.

曲线在点(1,2)处的切线方程为y －2＝α(x －1)，将点(0,0)代入方程，得α＝2.

14．32

【解析】 设椭圆方程为222136x y a +=

，当点()

4.5在椭圆上时，2291672136a ?? ????+=，解得16,a =车辆高度不超过4.5米，16,232a d a ∴≥=≥，即拱宽至少32，故答案为32. 15．(,1]-∞

【解析】

()20,b f x x b x x

≤'=-+

≤恒成立，由于()1,x ∈+∞，故1b ≤. 16．[]12,14

【解析】 由090APB ∠=，可得P 在以AB 为直径的圆O ：222x y a += 上，所以圆C 上至少存在一

点P ，使得090APB ∠=

，即两圆有公共点，所以1131a CO a -≤==≤+ ，解得1214.a ≤≤

17．（1）34

a =-

；（2）20x y -+=或7140x y -+=. 【分析】

（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数a 的值；

（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的值，进而可得出直线l 的方程.

【详解】

（1）圆C 的标准方程为()2244x y +-=，圆心C 的坐标为()0,4，半径长为2， 当直线l 与圆C

2=，解得34a =-；

（2）由题意知，圆心C 到直线l

的距离为d ==

由点到直线的距离公式可得d ==整理得2870a a ++=，解得1a =-或7-.

因此，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题.

18．(1)见解析(2) 见解析（3

）3B PAC V -=

【解析】

试题分析：（1）根据直线与平面平行的判定定理可知，只需证EF 与面ABC 内一直线平行即可，根据中位线定理可知//EF BC ，又BC ?面,ABC EF ?面ABC ，满足定理所需条件； （2）由PA ⊥面,ABC BC ?面ABC ，则BC PA ⊥，而AB 是O 的直径，则BC AC ⊥，又PA AC A =，则BC ⊥面PAC ，由于//EF BC 所以EF ⊥面PAC ；（3）根据PA ⊥面ABC ，则PA 即为三棱锥B PAC -的高，将三棱锥B PAC -的体积转化成三棱锥P ABC -的体积，根据锥体的体积公式进行求解即可.

试题解析：（1）证明：在三角形PBC 中，E 是PC 中点，F 为PB 中点，

∴//EF BC ，BC ?平面,ABC EF ?平面ABC ，∴//EF 面ABC ；

（2）证明：∵PA ⊥面ABC ，BC ?平面ABC ，∴BC PA ⊥，

又∵AB 是O 的直径，∴BC AC ⊥，

又PA AC A ?=，∴BC ⊥面PAC ，

∵//EF BC ，∴EF ⊥面PAC ；

（3）∵045PCA ∠=，∴PA AC =，

在Rt ABC ?中，∵,4AC BC AB ==

，∴AC BC ==

∴1·33

B PA

C P ABC ABC V V S PA --?===． 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.

证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的. 19．（1）()3213232f x x x x =-

+-；（2）56

t =或23t =． 【解析】

试题分析：（1）由f （x ）=ax 3+bx 2-2x 在x=1或2处取得极值，可得f'（1）=f'（2）=0，故可得到a 、b 的方程组，求解即可；

（2）曲线y=g （x ）与x 轴有两个交点，转化成g （x ）=0有两个不同的实数解，然后利用导数研究函数的单调性和极值，然后依题意有g （x ）极大值=0或g （x ）极小值=0即可求出t 的值．

试题解析：（1）()2322f x ax bx '=+-， 因为()f x 在1x =和2x =处取得极值，

所以1x =和2x =是()0f x '=的两个根， 则21232123b a a ?+=-?????=-??，解得1332a b ?=-????=??， 经检验符合已知条件，故()3213232f x x x x =-

+-； （2）由题意知()()322132,3232

g x x x x t g x x x =-+-+=-+-'， 令()0g x '=得，1x =或2x =，

()()g x g x 、'随着x 变化情况如下表所示：

由上表可知()()()()521,263

g x g t g x g t 极小值极大值==-==-， 又x 取足够大的正数时，()0g x <，

x 取足够小的负数时，()0g x >，

因此，为使曲线()y g x =与x 轴有两个交点，结合()g x 的单调性，

得()506g x t =-

=极小值或()203g x t =-=极大值， ∴56t =或23

t =， 即存在t ，且56t =或23

t =时，曲线()y g x =与x 轴有两个交点． 20．4212,,,,13333??---???

? 【解析】

试题分析：p 真：()23210a a -+=，()()23213110a a a a --=+-=，∴13a =-或1a =；q 真：如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，一是 20ax y +-=过另外两条直线的交点，做出交点坐标代入直线方程，得到a 的值，二是这条直线与另外两条直线中的一条平行，求出23a =或43a =-或23

a =-，p q ∨真，可得p q 、至少有一个为真，从而可得a 的取值集合为4212,,,,13333??---????

. 试题解析：p 真：()23210a a -+=，()()23213110a a a a --=+-=，∴13

a =-或1a =， q 真：∵2310x y -+=与4350x y ++=不平行，

则2310x y -+=与10ax y --=平行或4350x y ++=与10ax y --=平行或三条直线交于一点，

若2310x y -+=与10ax y --=平行，由11231a --=≠-得23

a =， 若4350x y ++=与10ax y --=平行，由11435a --=≠得43a =-，

若三条直线交于一点，由23104350x y x y -+=??++=?，得113x y =-???=-??

， 代入10ax y --=得23a =-

， ∴q 真，23a =或43a =-或23

a =-， ∵p q ∨真，∴p q 、至少有一个为真，

∴a 的取值集合为4212,,,,13333??---???

?． 21．（1

）? ??

；

（2）见解析；（3）(),1-∞． 【分析】

（1）先求函数的定义域，然后求导令导数大于零即可求得函数的递增区间；

（2）构造函数()()()1F x f x x =--，利用导数求得函数在1x >时函数值小于零，由此证得不等式成立；

（3）由（2）可知1k =时不存在，当1k >时，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，故也不存在，当1k <时，构造函数()()()1G x f x k x =--，利用导数证得不等式成立即可.

【详解】

（1）()211'1x x f x x x x

-++=-+=，()0,x ∈+∞. 由()'0f x >得2010x x x >??-++>?

解得0x <. 故()f x

的单调递增区间是10,2? ??

.

（2）令()()()1F x f x x =--，()0,x ∈+∞，则有()2

1'x F x x

-=. 当()1,x ∈+∞时，()F'0x <，

所以()F x 在()1,+∞上单调递减，

故当1x >时，()()10F x F <=，即当1x >时，()1f x x <-.

（3）由（2）知，当1k =时，不存在01x >满足题意.

当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意.

当1k <时，令()()()1G x f x k x =--，()0,x ∈+∞，

则有()1'1G x x k x =-+-= ()211x k x x

-+-+. 由()'0G x =得，()2

110x k x ---=.

解得10x =<，21x =>.

当()21,x x ∈时，()'0G x >，故()G x 在()21,x 内单调递增.

从而当()21,x x ∈时，()()10G x G >=，即()()1f x k x >-，

综上，k 的取值范围是(),1-∞.

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，利用导数求参数的取值范围.用导数求单调区间首先要求出函数的定义域，然后对函数求导，通分，令导数等于零，求出极值点后写出单调区间.求极值点大多数可以因式分解求出，无法时可用求根公式求出.

22．（Ⅰ）22

184

x y +=；（Ⅱ）存在定点(0,4)Q 满足题意. 【解析】

试题分析：（1）由椭圆C 的离心率是

2，直线l 被椭圆C 截得的线段长为列方程组求出224,8b a ==，从而可得椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 方程为1y kx =+，由22281x y y kx ?+=?=+?得()2221460k x kx ++-=，()221624210k k ?=++>，根据韦达定理

及斜率公式可得()

()2442163

QA QB k t k k k k t --+=+-=-，令40t -=，可得4t =符合题意. 试题解析：（1

）∵222122

c e e a ===，∴2222222,?2a c b c b c a b ==+==， 椭圆方程化为：22

2212x y b b

+=

，由题意知，椭圆过点)， ∴226112b b

+=，解得224,8b a ==， 所以椭圆C 的方程为：22

184

x y +=； （2）当直线l 斜率存在时，设直线l 方程：1y kx =+，

由22281

x y y kx ?+=?=+?得()2221460k x kx ++-=，()221624210k k ?=++>， 设()()1221122122421,,,,621k x x k A x y B x y x x k -?+=??+?-?=?+?

， 假设存在定点()0,Q t 符合题意，∵PQA PQB ∠=∠，∴QA QB k k =-， ∴

()()()()21121221121212121212

11QA QB x y x y t x x x kx x kx t x x y t y t k k x x x x x x +-++++-+--+=

+== ()()

()()1212122124421063

kx x t x x k t k k t x x +-+--==+-==-， ∵上式对任意实数k 恒等于零，∴40t -=，即4t =，∴()0,4Q ，

当直线l 斜率不存在时，,A B 两点分别为椭圆的上下顶点()()0,2,0,2-， 显然此时PQA PQB ∠=∠，综上，存在定点()0,4Q 满足题意．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6ebl.html