九年级数学上册圆的知识点及练习（含答案）

第四讲：旋转和圆的基础知识

一、旋转 （一）．概念：

1.旋转：如果一个图形绕某一个定点沿某一个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角.

例：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？

（2）经过旋转，点A、B、C分别移动到什么位置？ [来_科_网源:学Z_X_X_K]

2 .中心对称图形：图形绕着中心旋转180°后与自身重合称中心对称图形（如：平行四边

旋转中心

形、圆等）。 （二）．性质

1．旋转的性质：[来源:学§科§网]

① 旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等). ② 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角). ③ 经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等 2.旋转三要点:旋转①中心,②方向,③角度. 二、圆

（一）.圆的相关概念 1、圆的定义

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

旋转

(二).弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦

连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） （2）直径

经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD） 直径等于半径的2倍。 （3）半圆

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“

”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

三、垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦

直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 四、圆的对称性

1、圆的轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

第五讲：圆心角和圆周角

一、圆心角：

1．定义： 叫做圆心角。

2．定理：在 中，相等的圆心角所对的 ，所对的 。 3．推论1：在 中，如果两条弧相等，那么它们所对的 ，所对的 。

4．推论2：在 中，如果两条弦相等，那么它们所对的 ，所对的 。

5．定理及推论的综合运用：在同圆或等圆中， 也相等。 课堂练习：

1．如图，弦AD=BC，E是CD上任一点（C，D除外），则下列结论不一定成立的是（ ） A. ADBC=

ACEDBB. AB=CD

C. ∠ AED=∠CEB. D. AB= CD

2. 如图，AB是 ⊙O的直径，C，D是 BE上的三等分点，∠AOE=60 ° ，则∠COE是（ ）

A． 40° B. 60° C. 80° D. 120 °

⌒ ,∠A=25°， 则∠BOD= °. 3. 如图，AB是 ⊙O的直径，⌒BC =BD

EADCB

ACBDAOOOBCA

⌒ =AC⌒ , ∠A=40°,则∠C= °. 4.在⊙O中, AB

⌒ =AC⌒ , ∠ACB=60°.求证: ∠AOB = ∠BOC = ∠AOC. 5. 在⊙O中, AB

OBC课堂检测

1如果两个圆心角相等，那么（ ）

A．这两个圆心角所对的弦相等。 B这两个圆心角所对的弧相等。 C 这两个圆心角所对的弦的弦心距相等。 D 以上说法都不对 2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则 ABCD与 的关系是（ ）

⌒ =2CD⌒ B. AB⌒ ＞ CD⌒ C. AB⌒ ＜2CD⌒ D. 不能确定 A AB

⌒ =⌒ ,则（ ） 3. 在同圆中，ABBC

A AB+BC=AC B AB+BC＞AC C AB+BC＜AC D. 不能确定 4．下列说法正确的是（ ）

A．等弦所对的圆心角相等 B. 等弦所对的弧相等

C. 等弧所对的圆心角相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等

5．如图，在⊙O中，C、D是直径上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上。 ⌒求证：⌒AM =BN

二、圆周角

1．圆周角的定义： ，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

2．定理：在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 。

3，推论：（1） （或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是 。

（2）在同圆或等圆中， 的圆周角所对的 。 4．圆内接多边形：圆内接四边形的 。

MAONBCD课堂练习：

1．下列说法正确的是（ ）

A 相等的圆周角所对弧相等形 B直径所对的角是直角

C 顶点在圆上的角叫做圆周角 D 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为（ ） A . 28° B. 56° C. 60° D. 62° 3.如图,在⊙O中, ∠ABC=40 ,则∠AOC= °.

4. 如图,AB是⊙O的直径,C,D,E都是圆上的点,则∠1+∠2= °.

COABAEABOC1CO2DB5.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB. 求证:BD=CD.

三、课堂检测

1. 如图,AB是⊙O的直径, BC,CD,DA是⊙O的弦,且 BC=CD=DA,则∠BCD=( ). A . 100° B. 110° C. 120° D130°

2. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,若∠BOD=80°,则∠A=( ) A . 60° B. 50° C. 40° D30°

ACODBDCAOBCAOB

3.如图,A,B,C是⊙O上三点, ∠AOC=100°, 则∠ABC= °.

4. 如图,正方形ABCD内接于⊙O,点E在劣弧AD上, 则∠BEC等于 °

EADOOACBBC5.. 如图,在⊙O中, ∠ACB=∠BDC=60°,AC=23,(1)求∠BAC的度数;(2)求⊙O的周长. 四．小结

1,圆周角与圆心角的概念比较接近,因此容易混淆,要结合图形观察角的位置进行判断. 2.一条弦所对的 圆周角有两种(直角除外),一种是锐角，一种是钝角。 3．有关圆的计算常用勾股定理计算，因此构造直角三角形是解题的关键。

ADCOB

第六讲：圆的知识复习

一、圆的基本性质

1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。 3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

来源学科网ZXXK]

圆周角定理推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

圆周角定理推论２：直径所对的圆周角是直角；９０°的圆周角所对的弦是直径。 例1 如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

解题思路：在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，?根据

a垂径定理，有R2=d2+（）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．答案C

2例2、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是( ) A、60° B、45° C、30° D、15° 解题思路：运用圆周角与圆心角的关系定理，答案：A

例3、如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，??∠APM=∠CPM． （1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

AFODNBMPECAEBMPD

NFC

(1) (2)

解题思路：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，?只要说明它们的一半相等．

上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．

解：（1）AB=CD

理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF

连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD

（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F ∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF 连接OA、OB、OC、OD

易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD

例4：如图,AB是⊙O的直径，C是⌒BD 的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F。

求证：CF=BF 练习：

1、已知：如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于P，且∠APD＝60°，∠COB＝30°，求∠ABD的度数．

ADAFOCEBCBPOD

2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，以AB为直径的半圆交AC于D，交BC于E．求

AD、DE、BE所对圆心角的度数．

3、如图，圆的弦AB、CD延长线交于P点，AD、BC交于Q点，∠P＝28°，

∠AQC＝92°，求∠ABC的度数．

PBQDOAADOBEC

4、已知：四边形ABCD内接于⊙O，且∠BOD＝100°．求∠A的度数．

C

第七讲：平面内点和圆的位置关系

一、点和圆的位置关系

平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内 当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点在圆外。 当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点在圆上。 当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点在圆内。

例 如图，在Rt△ABC中，直角边AB?3，BC?4，点E，F分别是BC，AC的中点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，则点E在圆A的_________，点F在圆A的_________．

解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部

，?4)．试判断点练习：在直角坐标平面内，圆O的半径为5，圆心O的坐标为(?1P(3，?1)与圆O的位置关系．

答案：点P在圆O上．

二、确定圆的条件：（1）过一个已知点可以作 个圆。

（2）过两个已知点可以作 个圆，圆心在 上。 （3）. 过 上的 确定一个圆，圆心为 交点。 三、圆与三角形的关系

1、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。

2、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。

3、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。

4、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。

例1 如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24－49所示，A、B、C?为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，?要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．

ACwww.czsx.com.cn站所在的位置．

例2 如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°， 则∠BOC=（ ）

A．130° B．100° C．50° D．65°

B

解题思路： 连结AB、BC，作线段AB、BC的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收

解题思路：此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，答案A

例3 如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ）．

AA．5 cm B．2.5cm C．3cm D．4cm

解题思路：直角三角形外心的位置是斜边的中点，答案 B

练习1：

1．下列说法：① 三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆； ③ 圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点； ⑤三角形的外心到三角形的各边的

BC距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在三角形内。其中正确的个数为（ ）

A．1 B. 2 C. 3 D. 4

2. 三角形的外心具有的性质是( )

A. 到三边的距离相等 B. 到三个顶点的距离相等 C. 外心在三角形内 D. 外心在三角形外

3. 用反证法证明一个三角形任意两边之和大于第三边时，假设正确的是（ ） A任意两边之和小于第三边 B 任意两边之和等于第三边 C任意两边之和小于或等于第三边 D任意两边之和不小于第三边

4．⊙O的半径为10cm, A，B，C三点到圆心的距离分别为8cm，10cm，12cm，则点A，B，C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 。

5．直角三角形的两直角边分别是3cm，4cm。则这个三角形的外接圆半径为 cm。 练习2：

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，以点B为圆心，4为半径作⊙B，则点A与⊙B的位置关系是（ ）

A 点A在⊙B上 B . 点A在⊙B外 C. 点 A在⊙B内 D.无法确定 2.以平面直角坐标系的原点O为圆心,5为半径作圆,点A的坐标为(-3,-4), 则点A与⊙O的位置关系是（ ）

A 点A在⊙O上 B . 点A在⊙O外 C. 点 A在⊙O内 D.无法确定 3.如图,已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，

（1）以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则B，C，D与⊙A的位置关系如何？

（2）以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？

ADBC4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=4cm，以点A为圆心，3cm为半径作⊙A，试判断：

（1） 点C与⊙A的位置关系 （2） 点B与⊙A的位置关系 （3） AB的中点D与⊙A的位置关系 四．小结

1．过三点作圆时，易忽略“过不在同一直线上的三点”这一前题条件，当三点在同一直线上时，无法确定一个圆。

2．判断点与圆的位置关系时，只需确定点与圆心的距离及圆的半径，然后进行比较即可

CDAB第八讲：直线和圆的位置关系

一、直线和圆的关系 1. 直线和圆的三种位置关系：

（1）、如图（1）直线和圆 公共点，那么就说直线和圆 。 （2）如图（2）直线和圆 公共点，那么就说直线和圆 ，这条直线叫做圆的 ，这个点叫做圆 。

（3）如图（3）直线和圆 公共点，那么就说直线和圆 。这条直线叫做圆的 。

lllOOO(1)(2)(3)

2．直线和圆的三种位置关系的判定与性质：

设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：

d＞r ? ； d=r ? d＜r ? 练习：

1．⊙O的半径为6。点O到直线l的距离为6.5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相离 B 相切 C 相交 D 内含

2．设⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则r与d之间的关系是（ ）

A d＞r B d=r C d＜r D d≤r

3．当直线和圆有唯一公共点时，直线l与圆的位置关系是 ，，圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系为 。

4．已知∠AOC=30°，点B在OA上，且OB=6，若以B为圆心，R为半径的圆与直线OC相离，则R的取值范围是 。

二、圆的切线的性质和判定

１．切线的判定定理：经过半径的 并且 的直线是圆的切线。 ２．判断一条直线是否为圆的切线，现已有 种方法：一是看直线与圆公共点的个数；二看圆心到直线的距离ｄ与圆的半径之间的关系；三是利用 。 ３．切线的性质定理：圆的切线 的半径。 练习1：

１．下面关于判定切线的一些说法：①与直径垂直的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 ；③与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；④经过半径外端的直线是圆的切线； ⑤经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，其中正确的是（ ） Ａ ①②③ Ｂ②③⑤ Ｃ ②④⑤ Ｄ③④⑤ ２．圆的切线（ ）

Ａ．垂直于半径 Ｂ．平行于半径 Ｃ．垂直于经过切点的半径 Ｄ．以上都不对 ３．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于C,若∠A=25°，

则∠D等于（ ）

Ａ４０° Ｂ５０° Ｃ６０° Ｄ７０° ４．如图，两个同心圆，弦AB，CD相等，AB切小圆于点E。 求证：CD是小圆的切线。 练习2：

1、如图，两个同心圆的半径分别为３ｃｍ和５ｃｍ，:弦AB与小圆相切于点C,则AB的长为（ ）

A 4cm B 5cm C 6cm D 8cm

2、如图，若⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D,且的半径为2，则CD的长为（ ）

A 23 B 43 C 2 D 4

3如图，∠MAB=30°，Ｐ为ＡＢ上的点，且ＡＰ＝６，圆Ｐ与ＡＭ相切，则圆Ｐ的半径为 。

4．如图 ，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D 作DE⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F。求证：直线DE是⊙O的切线。

三、圆的切线长性质

DBOCADCAEBAOCBCADOBMAPBCDFAOBE

1． 切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这

，叫做圆的切线长。

2切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 。这一点和圆心的连线 。

3．三角形的内切圆：与三角形各边 ，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 。 练习1：

1.如图，从圆外一点P引⊙O的两条切线PA、PB,切点分别A、B,如果∠APB=60°，PA=10，则弦AB的长（ ）

A．5 B.53 C.10 D.103

2. 如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°, 则∠BOC等于( ) A. 130° B.100° C.50° D.65°

3． 如图, ⊙O与∠ACB两边都相切,切点分别为A,C,且∠ABC=90°, 那么四边形ABCO是

AP

AOAOBCCBO

B4．.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=30°，求∠APB的度数。 练习2：

1．已知直角三角形的斜边长为了13ｃｍ，内切圆的半径是２ｃｍ，则这个三角形的周长是（ ）

Ａ ３０ｃｍ Ｂ２８ｃｍ Ｃ２６ｃｍ Ｄ２４ｃｍ

AOBP2．如图，△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，且∠FOD=∠EOD=135°，则△ABC是（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 3如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，⊙O的切线EF分别交PA，、、PB于E、F，切点⌒ 上，若PA的长为2，则△PEF的周长是 C在AB

四．小结

１．在利用数量关系判断直线与圆的位置关系时，易忽略条件“圆心到直线的距离“，盲目选择圆心到直线上某一点的距离进行判定，导致出现错误的结论，应引起注意。 ２．要判断直线与圆的位置关系有两种方法：一看直线与圆公共点的个数；二看圆心到直线的距离ｄ与圆的半径之间的关系。

3．在证明圆的切线问题时，常作两种辅助线：若已知一直线经过圆上一点，则连接这点和圆心得半径，证明该直线与半径垂直；若不知直线与圆有无公共点，则过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径。

4．已知一条直线是圆的切线时，常作辅助线为连接圆心与切点，得半径，那么半径垂直于这条切线。

5. 切线长与切线是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。注意区别和联系。

AFOEPEAOCFBBDC

第九讲：点及直线和圆的位置综合练习

1.如图，已知ＰＡ是⊙O的切线，Ａ是切点，ＰＣ是过圆心的一条割线，点Ｂ，Ｃ是它与⊙O的交点，且ＰＡ＝８，ＰＢ＝４，则⊙O的半径为 。

2．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与X轴相切于B,与Y轴交于C(0,1)

DACOBXACOBYpD(0,4)两点，则点A的坐标是（ ） A.(

3．如图，ＡＢ为半圆Ｏ的直径，点Ｃ在半圆Ｏ上，过点Ｏ作ＢＣ的平行线交ＡＣ于点Ｅ，交过点Ａ的直线于点Ｄ，且∠Ｄ＝∠ＢＡＣ。 求证：ＡＤ是半圆Ｏ的切线。

4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连结BD，并延长至E，连结AD若AB＝AC，∠ADE＝65°，试求∠BOC的度数．

5、 在

中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直

E D 353553,) B.(,2) C.(2, ) D.(,) 222222DCEBOA线BC相切？相交？相离？

6．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=??∠A． （1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由． （2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．

C

A

OBD

7. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点。求证：∠AOB=

8.如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝4，BC＝9，CD＝13，以AB为直径作⊙O，是判断⊙O与CD的位置关系并证明你的结论.

1∠APB。 2AOPBADOBC

9. 如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN的中点，P为直径MN上一动点，求PA＋PB的最小值．

ABMONP

10. 如图，ＡＢ为半圆Ｏ的直径，点Ｃ在半圆Ｏ上，过点Ｏ作ＢＣ的平行线交ＡＣ于点Ｅ，交过点Ａ的直线于点Ｄ，且∠Ｄ＝∠ＢＡＣ。求证：ＡＤ是半圆Ｏ的切线。

DCEBOA第十讲、圆与圆的位置关系

一、圆与圆的位置关系：

第十一讲、圆的综合练习

一、选择题

1.下列命题中正确的有( )个

(1) 平分弦的直径垂直于弦

（2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 （3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半 （4）平面内三点确定一个圆

（5）三角形的外心到各个顶点的距离相等 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个

2.如图，直线PA，PB是O的两条切线，A，B分别为切点，∠APB?120?，OP?10 厘米，则弦AB的长为（ ）

A．53厘米

B．5厘米 C．103厘米 D．

532厘米 3.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（

4.已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC的内切圆的半径为（ ） A．

10123 B．5 C．2 D．3 A P O B ）5.若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm、深约为2 cm的小坑，则该铅球的直径约为( ) A. 10 cm 二.填空题

6.一扇形的圆心角为150°，半径为4，用它作为一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的表面积是_____________

7.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，开始

时，PO=6cm．如果⊙P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间

0

B. 14.5 cm C. 19.5 cm D. 20 cm

t（秒）满足条件 时，⊙P与直线CD相交．

8.已知BC是半径为2cm的圆内的一条弦，点A为圆上除点B，C外任意一点，若

BC?23cm，则?BAC的度数为 ．

9.⊙0的半径为5，A、B两动点在⊙0上，AB=4,AB的中点为点C,在移动的过程中，点C始

终在半径为_______的一个圆上，直线AB和这个圆的位置关系是______ 10. Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为________ 三、解答题

11.已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。

（1）如图1，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）： ① ；② ；③ 。 （2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线。

12.求作一个⊙O，使它与已知∠ABC的边AB，BC都相切，并经过另一边BC上

图1 图2

的一点P．

ABPC13.如图，从点P向⊙O引两条切线PA，PB，切点为A，B，AC为弦，BC为⊙O?的直径，若

∠P=60°，PB=2cm，求AC的长．

CABP

14.图，已知扇形AOB的半径为12，OA⊥OB，C为OB上一点，以OA为直线的半圆O与以BC为直径的半圆O相切于点D．求图中阴影部分面积．

O

15. 如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0），直线l过点A（—1，0），与⊙C相切于点D，求直线l的解析式。

第十二讲、圆的综合练习

一、选择题（每题3分，共24分）

1．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（ ） A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径 B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径 C．⊙O上有两点到点P的距离最小 D．⊙O上有两点到点P的距离最大

2．若⊙A的半径为5，点A的坐标为（3，4），点P的坐标为（5，8），则点P的位置为（ ） A．在⊙A内

B．在⊙A上

C．在⊙A外

D．不确定

3．半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于（ ） A．

3R 4 B．

3R 2

C．3R

D．23R

4．已知：如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O的半径为（ ）

A．4cm B．5cm

C．42cm D．23cm

5．下列说法正确的是（ ）

A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边都和圆相交的角是圆周角

C．圆心角是圆周角的2倍 D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半 6．下列说法错误的是（ ）

A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等

C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等 7．⊙O内最长弦长为m，直线ι与⊙O相离，设点O到ι的距离为d，则d与m的关系是（ ） A．d=m

B．d＞m

C．d＞

m 2 D．d＜

m 28．菱形对角线的交点为O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（ ）

A．相交

B．相切

C．相离

D．不能确定

二、填空题（每题3分，共24分）

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心，5cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有 ，在圆上的有 ，在圆内的有 ．

10．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这个圆的半径是 cm． 11．AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，且CD=6cm，OE=4cm，则AB= ．

12．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是 ，最长的弦长是 ．

13．如图，A、B、C是⊙O上三点，∠BAC的平分线AM交BC于点D，交⊙O于点M．若∠BAC=60°，∠ABC=50°，则∠CBM=

，∠AMB=

．

14．⊙O中，若弦AB长22cm，弦心距为2cm，则此弦所对的圆周角等于 ． 15．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB为63，以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是 ．

16．已知⊙O1和⊙O2外切，半径分别为1 cm和3 cm，那么半径为5 cm与⊙O1、⊙O2都相切的圆一共可以作出 个．

三、解答题（40分）

17（6分）.如图：由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动，距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？

18（8分）. ⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围．

19（10分）.如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．

（1）求证：AC⊥OD； （2）求OD的长； （3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．

20（8分）. 东海某小岛上有一灯塔A，已知A塔附近方圆25海里范围内有暗礁，我110舰在O点处测得A塔在其北偏西60°方向，向正西方向航行20海里到达B处，测得A在其西北方向．如果该舰继续航行，是否有触礁的危险？请说明理由．（提示2=1．414，3=1．732）

21（8分）. 设直线ι到⊙O的圆心的距离为d，半径为R，并使x－2dx＋R=0，试由关

2

于x的一元二次方程根的情况讨论ι与⊙O的位置关系．

四、附加题（12分 ）

22.（1）如左图，两个半径为r的等圆⊙O1与⊙O2外切于点P．将三角板的直角顶点放在点P，再将三角板绕点P旋转，使三角板的两直角边中的一边PA与⊙O1相交于A，另一边PB与⊙O2相交于点B（转动中直角边与两圆都不相切），在转动过程中线段AB的长与半径r之间有什么关系？请回答并证明你得到的结论；

（2）如右图，设⊙O1和⊙O2外切于点P，半径分别为r1、r2（r1＞r2），重复（1）中的操作过程，观察线段AB的长度与r1、r2之间有怎样的关系，并说明理由．

参考答案：

一、1．B （ 提示：点P到圆心的距离小于半径，到点P的距离等于⊙O的半径的点都在以P为圆心，以⊙O的半径为半径的圆上．⊙O和⊙P有两个公共点，⊙O上到点P距离最小的点，只有一个；到点P距离最大的点也只有一个）．

2．A （提示：本题两种方法，既可以画图，也可以计算AP的长新 课 标第一 网x kb 1.com

∵AP=

?5?3?2??8?4?2=

22?42=20＜5，所以点P在圆内

3．C 提示：利用垂径定理和勾股定理求得．

4．B 解：连接OA，设OA=r，则OP=（r－2）cm．

222222

在Rt△AOP中，OA=OP＋AP，r=4＋（r－2）．解得r=5． 5．D 提示：本题考查圆周角的定义．

6．D 提示：等弦所对的圆周角相等或互补． 7．C 提示：最长弦即为直径，所以⊙O的半径为8．B 提示：O到四边的距离都相等． 二、

9．点B；点M；点A、C 点拨：AB=25cm，CM=5cm． 10．r=

mm，故d＞． 229?49?4=6．5或r==2．5 22提示：当点在圆外时，r=2．5；当点在圆内时，r=6．5．

11．10cm 解：连接OC，在Rt△OCE中，OC=OE2?CE2=42?32=5，

∴AB=2OC=10（cm）．

12．6；10 解：如答图，过P作CD⊥OP交⊙O于C、D两点，设直线OP交⊙O与A、B两点．

在Rt△OPC中，CP=OC2?OP2=52?42=3，

∴CD=2CP=6，AB=2OC=10．

提示：直径AB为过P点的最长弦，而过P点与OP垂直的弦CD为最短弦．

13．30°；70° 提示：利用△ABC内角和定理求得∠C=70°，最后根据同弧所对的圆周角相等得∠AMB=∠ACB=70°，∠CBM=∠CAM=30°．

14．45°或135° 提示：一条弦所对的圆周角相等或互补（两个）．

15．相切（提示：过点O作OC⊥AB于C，则AC=BC=

1AB=33，∴OC=OA2?AC2=262?33=3．∴以3为半径的同心圆与AB相切．

注：数形转化，即d=R推出相切．） 16. 6个 三、

17. 提示：求出A市距沙尘暴中心的最近距离与300km比较可得答案，本题实际考查与圆的位置关系和解直角三角形．

解：过A作AC⊥BD于C．

由题意，得AB=400km，∠DBA=45°．在Rt△ACB中，

∵sin∠ABC=

∵2002＜300，∴A市将受到沙尘暴的影响．

??2AC2，∴AC=AB·sin∠ABC=400×=2002≈282．8（km）． AB218.提示：求出OP的长最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理．

解：如图，作OM⊥AB于M，连接OB，则BM=

11AB=×8=4． 22在Rt△OMB中，OM=OB2?BM2=52?42=3．

当P与M重合时，OP为最短；当P与A（或B）重合时，OP为最长．所以OP的取值范

围是3≤OP≤5．

注：该题创新之处在于把线段OP看作是一个变量，在动态中确定OP的最大值和最小值．事实上只需作OM⊥AB，求得OM即可．

19.解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°． ∵OD∥BC，∴∠ADO=∠C=90°．∴AC⊥OD．

（2）∵OD∥BC，又∵O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线．

11BC=×4=2（cm）． 2211（3）∵2sinA－1=0，∴sinA=．∴∠A=30°．在Rt△ABC中，∠A=30°，∴BC=AB．∴

22∴OD=

AB=2BC=8（cm）．即⊙O的直径是8cm．

20.提示：从几何角度看，实际上是讨论一下直线OB与半径为25的⊙A的位置关系．相切和相交都有触礁危险，只有相离才安全，为此只须计算A点到直线OB的距离与25比较后即得答案．本题仍是考查直线与圆的位置关系．

解：该舰继续向西航行，无触礁危险．理由是： 如图，作AC⊥OB于C，则AC=BC·tan45°=BC．

在Rt△ACO中，OC=AC·cot30°=3AC． ∵OC－BC=OB，∴3AC－AC=20．

解得AC=27．32（海里）． ∵AC=27．32＞25（半径），∴直线OB与⊙A相离． ∴该舰向西航行无触礁危险．

点拨：将实际问题转化为数学模型，再利用数学知识来解决问题．

21.提示：据题意知，应首先求出判别式△，然后讨论d与R的关系，从而确定ι与⊙O的位置关系．

解：△=（－2d）－4R=4d－4R，∴当△＞0，即4d－4R＞0，得d＞R时，ι与⊙O

2

相离；

当△=0，即4d－4R=0，得d=R时，ι与⊙O相切； 当△＞0，即4d－4R＜0，得d＜R时，ι与⊙O相交． 注：（1）形数的等阶转换是确定直线与圆位置关系的重要方法；（2）一元二次方程根的情况和直线与圆的位置关系的综合是一个创新．

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