2015中考精英数学(人教)总复习讲解练习 第27讲 图形的相似及位

第27讲 图形的相似及位似

基础过关

一、精心选一选 1．(2014·凉山州)如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为( D ) A．1∶25 B．1∶5 C．1∶2.5 D．1∶5 2．(2014·玉林)△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( D )

A．3 B．6 C．9 D．12 3．(2014·河北)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．

乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．

对于两人的观点，下列说法正确的是( A )

A．两人都对 B．两人都不对

C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对

4．(2014·武汉)如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为1位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为( A )

2

A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)

5．(2014·宁波)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为( C )

A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D.2∶3

6．(2013·上海)如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( A )

A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5

7．(2014·南通)如图，△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为( D )

A．1 B．2

C．122－6 D．62－6

8．(2014·泸州)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB＝90°，AC⊥BC，ACBF

＝BC，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点E，F，则的值是( C )

EF

A.2－1 B．2＋2 C.2＋1 D.2 二、细心填一填 9．(2014·邵阳)如图，在?ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：__答案不唯一，如：△ABP∽△AED__．

,第9题图) ,第10题图)

10．(2014·娄底)如图，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为__9__m.

11．(2013·乌鲁木齐)如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB6＝2，CD＝3，则GH的长为____．

5,第11题图) ,第12题图)

BE312．(2013·黔东南州)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是____．

EC313．如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方

形的面积，S2表示长是AB，宽为PB的矩形的面积，则S1__＝__S2.(填“＞”“＜”或“＝”)

,第13题图) ,第14题图)

14．(2013·泰州)如图，平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，－53)，△AB′O′是△ABO关于A的位似图形，且O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为__(，

3－4)__．

15．(2014·遵义)“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝__1.05__里．

三、用心做一做 16．(2013·南宁)如图，△ABC三个定点坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)． (1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1∶S△A2B2C2的值．

1

解：(1)图略 (2)图略，S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝

4

17．(2013·陕西)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m．已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD的长．(精确到0.1 m)

解：设CD长为x m，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，∴MA∥CD，BN∥CD，∴EC＝CD＝x，∴△ABN∽△ACD，∴6.125≈6.1，∴路灯高CD约为6.1 m

18．(2013·广东)如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C. (1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3, 则S1__＝__S2＋ S3；(用“>”“<”或“＝”填空)

(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．

BNAB1.751.25＝，即＝，解得x＝CDACxx－1.75

解：(2)△BCF∽△DBC∽△CDE；选△BCF∽△CDE，证明：在矩形ABCD中，∠BCD

＝90°且点C在边EF上，∴∠BCF＋∠DCE＝90°，在矩形BDEF中，∠F＝∠E＝90°，∴在Rt△BCF中，∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠CBF＝∠DCE，∴△BCF∽△CDE

19．(2013·莆田)定义：如图①，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．

如图②，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.

(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点； (2)求出线段AD的长．

解：(1)∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠BD

CBD＝∠ABD＝36°，∠BDC＝72°，∴AD＝BD，BC＝BD，∴△ABC∽△BDC，∴＝ABCDADCD

，即＝，∴AD2＝AC·CD，∴点D是线段AC的黄金分割点 BCACAD

(2)∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD＝

5－15－1

AC＝ 22

20．(2013·泰安)如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．

(1)求证：AC2＝AB·AD； (2)求证：CE∥AD；

AC

(3)若AD＝4，AB＝6，求的值．

AF

解：(1)由△ABC∽△ACD得AC2＝AB·AD (2)∵E点为Rt△ABC斜边AB的中点，∴1

EC＝AB＝AE，∴∠ECA＝∠EAC，可得∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD (3)由CE∥AD得

2△ECF∽△DAF，∴

AC－AF3ECCF1CF3AC7

＝，EC＝AB＝3，∴＝，即＝，∴＝ ADAF2AF4AF4AF4

21．(2014·自贡)阅读理解：

如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．

解决问题：

(1)如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

(2)如图②，在矩形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形

的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；

(3)如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．

解：(1)∵∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，∴∠AED＋∠ADE＝135°，∠AED＋∠CEB＝135°，∴∠ADE＝∠CEB，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点 (2)如图，点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点

(3)∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM.由折叠可知△ECM≌△DCM，∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，111BE3

∴∠BCE＝∠BCD＝30°，BE＝CE＝AB.在Rt△BCE中，tan∠BCE＝＝tan30°＝，322BC3AB23

∴＝ BC3

挑战技能 22．(2013·东营)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及x，那么x的值( B )

A．只有1个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．有无数个

23．(2014·泰州)如图，A，B，C，D依次为一条直线上4个点，BC＝2，△BCE为等边三角形，⊙O过A，D，E三点，且∠AOD＝120°.设AB＝x，CD＝y，则y与x的函数关4系式为__y＝(x＞0)__．

x

24．(2014·咸宁)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点(不与B，C4

重合)，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝.下列结论：①△ADE∽△ACD；

5

25

②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜

2CE≤6.4.其中正确的是__①②③④__.(把你认为正确结论的序号都填上)

25．(2014·玉林)如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP，BP.

(1)求证：四边形BMNP是平行四边形；

(2)线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．

解：(1)在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠C，由SAS可证△ABM≌△BCP，∴AM＝BP，∠BAM＝∠CBP，∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∴∠CBP＋∠AMB＝90°，∴AM⊥BP，∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM＝MN，∴MN∥BP，∴BP＝MN，∴四边形BMNP是平行四边形 (2)BM＝MC.理由如下：∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∠AMB＋∠CMQ＝90°，∴∠BAM＝∠CMQ，又∵∠ABM＝∠C＝90°，∴△ABM∽△MCQ，∴∴

ABAMABAM

＝，∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴＝，MCMQBMMQ

ABAB

＝，∴BM＝MC MCBM

26．(2014·黄石)AD是△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM＝xAB，AN＝yAC(x，y≠0)．

(1)如图①，当△ABC为等边三角形且α＝30°时证明：△AMN∽△DMA；

11

(2)如图②，证明：＋＝2.

xy

解：(1)在△AMD中，∠MAD＝30°，∠ADM＝60°，∴∠AMD＝90°，在△AMN中，∠AMN＝90°，∠MAN＝60°，∴△AMN∽△DMA

NCCF

(2)作CF∥AB交MN于点F，则△CFN∽△AMN，∴＝，又可证△CFD≌△BMD，

NAAMAN－ACBMAB－AMyAC－ACAB－xAB1

∴BM＝CF，∴＝＝，∴＝，∴x＋y＝2xy，∴＋ANAMAMyACxABx1

＝2 y

27．(2014·武汉)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.

(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值； (2)连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．

BPBQ

解：(1)①当△BPQ∽△BAC时，∵＝，BP＝5t，QC＝4t，AB＝10 cm，BC＝8 cm，

BABC5t8－4tBPBQ5t8－4t32∴＝，∴t＝1；②当△BPQ∽△BCA时，∵＝，∴＝，∴t＝，∴t＝108BCBA8104132

1或时，△BPQ与△ABC相似 (2)过P作PM⊥BC于点M，设AQ，CP交于点N，则有

41PB＝5t，PM＝3t，MC＝8－4t，∵∠NAC＋∠NCA＝90°，∠PCM＋∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴7

解得t＝ 8

ACCQ64t＝，∴＝，CMMP8－4t3t

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