信号分析与处理_杨西侠_课后答案二三五章

2-1 画出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别

1）x1(t) = sin ? t·u(t)

1 0 -

xπ 234t

2）x2(t) = sin[ ? ( t – t0 ) ]·u(t)

1 0 -x2t3）x3(t) = sin ? t·u ( t – t0 )

t

x31 0 t4）x2(t) = sin[ ? ( t – t0 ) ]·u ( t – t0 )

t

1 0 -xtt

1

2-2 已知波形图如图2-76所示，试画出经下列各种运算后的波形图

1 x(t) 1 2 3 -1

0 t

图 2-76 （1）x ( t-2 )

1 x t -0 1 2 3 4

（2）x ( t+2 )

x 1 t ----0 1

（3）x (2t)

1 x(2t) t -1 0 1 2 3

（4）x ( t/2 )

1 x t --0 1 2 3 4

（5）x (-t)

2

x (-t) 1 t -3 -2 -1 0 1 2

（6）x (-t-2)

1 x (-t-2) t 1

-----0

（7）x ( -t/2-2 )

1 x ( -t/2-2 )

t -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

（8）dx/dt

1 dx/dt t -2 -1 0 1 2 3 -δ (t-2) 2-3 应用脉冲函数的抽样特性，求下列表达式的函数值

(1)

????????x(t?t0)δ(t) dt = x(-t)

0

(2)

??x(t0?t)δ(t) dt = x(t)

0

3

(3)

?????????(t?t0) u(t -

t020

t0) dt = u(

2)

(4)

?????(t0?t) u(t – 2t) dt = u(-t)

0

(5)

??e?????????t?t?δ(t+2) dt = e2-2

(6)

??t?sint?????δ(t-

?) dt =

1+

662

(7)

e?j?t???t????t?t0??dt–

=

?????e?j?t??t?dt?????e?j?t?(t?t0)dt

= 1-

e?j?t0 = 1 – cosΩt0 + jsinΩt0

2-4 求下列各函数x1(t)与x2(t) 之卷积，x1(t)* x2(t)

(1) x1(t) = u(t), x2(t) = e-at · u(t) ( a>0 )

x1(t)* x2(t) =

?????u(?)e?a?u(t??)d? =

?t0e?a?d?1 =

a(1?e?at)

?(2) x1(t) =δ(t+1) -δ(t-1) , x2(t) = cos(Ωt + ??4) · u(t) x1(t)* x2(t) =???[cos(?t??4)u(?)][?(t???1)??(t???1)]d?

?= cos[Ω(t+1)+

?]u(t+1) – cos[Ω(t-1)+

44]u(t-1)

(3) x1(t) = u(t) – u(t-1) , x2(t) = u(t) – u(t-2)

x1(t)* x2(t) =

?????[u(?)?u(??2)][u(t??)?u(t???1)]d?

当 t <0时，x1(t)* x2(t) = 0

当 0

?t0d? = t

4

当 1

?211d? = 1

当 2

?t?2d?=3-t

x1(t)* x2(t) 1 t 0 1 2 3

(4) x1(t) = u(t-1) , x2(t) = sin t · u(t)

x1(t)* x2(t) =

?????sin(?) u(?) u(t???1)d?

=

??0sin ? u(t-?-1)d? ??t-10sin ? d? ? -cos ?|0t-1

= 1- cos(t-1)

2-5 已知周期函数x(t)前1/4周期的波形如图2-77所示，根据下列各种情况的要求画出x(t)在一个周期( 0

(1) x(t)是偶函数，只含有偶次谐波分量 f(t) = f(-t), f(t) = f(t±T/2)

f(t) t -T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T

(2) x(t)是偶函数，只含有奇次谐波分量 f(t) = f(-t), f(t) = -f(t±T/2)

5

f(t) t -T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T

(3) x(t)是偶函数，含有偶次和奇次谐波分量 f(t) = f(-t)

f(t) t -T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T

(4) x(t)是奇函数，只含有奇次谐波分量 f(t) = -f(-t), f(t) = -f(t±T/2)

f(t) t -T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T

(5) x(t)是奇函数，只含有偶次谐波分量 f(t) = -f(-t), f(t) = f(t±T/2)

6

f(t) t -T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T

(6) x(t)是奇函数，含有偶次和奇次谐波分量 f(t) = -f(-t)

f(t) t -T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T

f(t) t -T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T

2-6 利用信号x(t)的对称性，定性判断图2-78所示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量

(a)

7

x(t) t -2T -T 0 T 2T

这是一个非奇、非偶、非奇偶谐波函数，且正负半波不对称，所以含有直流、正弦等所有谐波分量，

因为去除直流后为奇函数。 (b)

x (t) t -T 0 T

(c)

这是一个奇函数。也是一个奇谐波函数，所以只含有基波、奇次正弦谐波分量。

x(t) t -T -T/2 0 T/2 T

(d)

除去直流分量后是奇函数，又f(t) = f(t±T/2)，是偶谐波函数，所以含有直流、偶次正弦谐波。

x (t) t -T -T/2 0 T/2 T

8

(e)

正负半波对称，偶函数，奇谐波函数，所以只含有基波、奇次余弦分量。

x (t) t -T/2 0 T/2 T

(f)

奇函数、正负半波对称，所以只含有正弦分量（基、谐）

x(t) t -T -T/2 0 T/2 T

正负半波对称、奇函数、奇谐波函数，所以只含有基波和奇次正弦谐波。

2-7 试画出x(t) = 3cosΩ1t + 5sin2Ω1t的复数谱图（幅度谱和相位谱）

解：a0 = 0, a1 = 3, b2 = 5, c1 = 3, c2 = 5 |x1| = |

12(a1-jb1)| =

32, |x2| =

12c2 =

52

φ1 = arctan (-φ2 = arctan (-

0350) = 0, φ-1= 0 ) = -

?2, φ-2=

?2

9

|xn| 3 2 1 nΩ1

-2Ω1 -Ω1 0 Ω1 2Ω1

π/2 nΩ1

-2Ω1 -Ω1 0 Ω1 2Ω1 -π/2

2-8 求图2-8所示对称周期矩形信号的傅里叶级数

E/2 x (t) t -T -T/2 0 T/2 T -E/2

解：这是一个正负半波对称的奇函数，奇谐函数，所以只含有基波和奇次正弦谐波。

2

bn =

T?T0x(t) sin n?t dt

2

=

TT?2E20 sin n?t dt2–

T?TE2T2 sin n?t dt

10

E

=

TT?20[sin n?t - sin n?(t-TT2) ]dt

T =

??E2n?E2n?cos n?t|02 ? E2n?E2n?cos [n?(t?T2)]|02

=

(cos n? -1) ? 2En?cos (1-cos n?)

，n为奇数，n = 1，3，5 ……

=

?En?(cos n? -1) ?

0 ，n 为偶数，n = 2，4，6 ……

2E∴ x(t) =

[ sin ?t ? sin 3?t ? sin 5?t ? ??? ] ?3511指数形式的傅里叶级数

0 , n = 0, ±2, ±4 ……

Xn=

12(an-jbn) =

??jEn? , n = ±1, ±3, ±5 ……

∴ x(t) = a0 +

?(Xn?0nejn?t?Xne?jn?t)

2-9 求图2-9所示周期信号的傅里叶级数

E x (t) t -T/2 0 T/4 T/2 3T/4 T

解：此函数是一个偶函数 x(t) = x(-t) ∴ 其傅里叶级数含有直流分量和余弦分量

1

ao =

TT ?40 4ET t dt=

E81 +

3TT ?T44 E dt1+

T ?3T4E(1-4TtT) dt

11

= =

E84 + –

TE24 + E– =

2ET42(T

2?916T)

26E3E3E2

an =

T1 ? x(t) cos n?t dt0

=

T ? x(t) (e0Tjn?t ? en?2-jn?t) dt

=

1T =

?4E(n?)2(1?cos), n = 1, 2, …

3E

∴ x(t) =

4E–

4?2[ cos ?t ? cos2?t ? cos 3?t ? ...]

49112-10 若已知F[x(t)] = X(Ω)利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变换

(1) x(2t–5) (2) x(1–t) (3) x(t) · cos t

解：(1) 由时移特性和尺度变换特性可得

1

F [x( 2t - 5)] =

2 X (?2) e-j52?

(2) 由时移特性和尺度变换特性

1

F [x(at)] =

|a| X (?a)

F [x(t-t0)] =

X (?) e-j?t0

F [x(1–t)] =

X (-?) e-j?

(3) 由欧拉公式和频移特性

1

cos t =

2 ( e?j?0tjt? e-jt)

F [

x (t) e] = X(Ω

?Ω0)

Ω0 = 1

1

F [x(t) · cos t] =

2[ X(Ω–1) + X(Ω+1)]

12

2-11已知升余弦脉冲x(t) =

E2( 1 ? cos?t2 ) (???t??)求其傅里叶变换

解：x(t) = 求微分

E2( 1 ? cos?t2 )[ u( t +τ)–u( t–τ)]

x?(t) = ?x??(t) = ?x???(t)=

?22E?2? sin 22?t? [ u(t ? ?) - u(t-?)]

E?2?33

cos ?t? [ u(t ? ?) - u(t-?)]

22E?2?

sin ?t? [ u(t ? ?) - u(t-?)] +

22E?2? [ ?(t ? ?) - ?(t-?)]

=

? x?(t) E?+

2? [ ?(t ? ?) - ?(t-?)]

由微分特性可得：

( jΩ)3 X(Ω) =

[-(j?) X(?) ? E2(ej???e?j??)]??22

∴ X(Ω) =

? 2 ?2?(2??)?E?22sin2?2-12已知一信号如图2-81所示，求其傅里叶变换

x(t) t -τ/2 0 τ/2

解：(1) 由卷积定理求

x(t) =

G?(t) * G?(t)

22 13

G?(t) =

22E?[u(t??4)?u(t??4)]

G?(?) =

22E??2Sa(??4)

由时域卷积定理

X(Ω) =

G?(?) G?(?) =

22E?2Sa(2??4)

(2) 由微分特性求

2E

? ，–

?2< t < 0

2E?x(t) = – ，0 < t < ??2

0 ，| t | > ?2

x??(t) =

由微分特性

2E? [δ

( t +

?2) +δ( t–

?2)–2δ(t)]

( jΩ) X(Ω) =

2

2E?2(e??4j?2??e?j?2??2)?2E?(2cos??2?2)

E?

X(Ω) =

2Sa()

2-13已知矩形脉冲的傅里叶变换，利用时移特性求图2-82所示信号的傅里叶变换，并大致画出幅度谱

解：G?(t) = E [ u( t +

?2)–u( t–

?2)]

G?(?) = E? Sa(G??2??2) ?2

x(t) = ( t +

)–G?( t–)

由时移特性和线性性

14

X(Ω) =

E? Sa(??2)ej?2?–E? Sa(?2??2)e?j?2?

=

E? Sa(??2)ej?2??e2j?j·2j = 2jE? Sa(??2)sin ??2

2Eτ -2? ?-?? 0 ??Ω 2??

2-14已知三角脉冲x1(t)的傅里叶变换为

E?

X1(Ω) =

2Sa(2??4?2)

试利用有关性质和定理求x2(t) = x1(t–

) cosΩ0t的傅里叶变换

解：由时移性质和频域卷积定理可解得此题 由时移性质

F [x1 (t–

?2)] =

X1 (?) e-j??2

由频移特性和频域卷积定理可知：

1F [x(t )cosΩ0t]=

2[X(Ω–Ω0)+ X(Ω+Ω0)]

X2 (Ω) = F [x1 (t–

?2)cosΩ0t]

1

=

2[ X1 (Ω–Ω0)

e?j???02? + X(Ω+Ω0)

e?j???02?]

15

=

E?4[Sa

2

(???0)?4e?j???02?+ Sa

2

(???0)?4e?j???02?]

2-15求图2-82所示X(Ω)的傅里叶逆变换x(t)

|X(Ω)| A A |X(Ω)| Ω -Ω0 0 Ω0 -Ω0 0 Ω0 Ω φ(Ω) π/2 π/2 φ(Ω) Ω -Ω0 0 -π/2 Ω0 -Ω0 0 -π/2 Ω0 Ω b)

a) 解：a) X(Ω) = | X(Ω)|

e?j?(?)

= G2?0(?)ej?t0

由定义：

1

x(t) =

2??????X(?)ej?td?

1

=

2?A??0??0Aej?t0ej?td?

=

2???0??0ej?(t?t0)d?

A

=

2?j(t?t0)ej?(t?t0)0|??0?

A

=

?(t?t0)sin[?0(t?t0)]

16

=

A?0?12?Sa[?0(t?t0)]

b) x(t)??????X(?)e?2j?td?

=

12?A2??0??0Ae?jej?td?+

12?A2?+

??00Aej?2ej?td?)

=

?0??e0j(?t??2)d?+

?A?00ej(?t??2d?

A

=

2?j?ej(?t??2)|0??02?j?ej(?t??2)|0?0

A

=

j?2?A2?j(?0t?A2?j(?0t??2e)?j(?0t??2)

A

–

j?2??2e)j(?0t??2)

A

=

?(?0t??2sin[(?0t?)?2)]=

A?Sa[?0t??2]

2-16确定下列信号的最低抽样频率与抽样间隔

(1) Sa(100t) (2) Sa2(100t)

(3) Sa(100t)+ Sa2(100t) 解：(1)由对偶性质可知：

Sa(100t)的频谱是个矩形脉冲，其脉宽为[-100,100] 即Ωm = 100 =2πfm

50∴ fm =

?

由抽样定理 fs ≥ 2fm

50∴ fs ≥ 2×? =

100?

Ts≤

?100

17

(2) 由对偶性质可知

Sa(100t)的频谱是个矩形脉冲，其脉宽为[-100,100] 又由频域卷积定理可知

Sa2(100t)的频谱是脉宽为[–200,–200]的三角形脉冲 即Ωm = 200 =2πfm

∴ fm =

100?

由抽样定理 fs ≥ 2fm ∴ fs ≥ 2×Ts≤

100? =

200?

?200

(3) 由线性性质可知

Sa(100t)+ Sa2(100t) 的频谱是Sa(100t)和Sa2(100t)之和 ∴其Ωm =2πfm= 200 即 fm =

100?

则fs ≥ 2fm = Ts≤

200?

?200

2-17已知人的脑电波频率范围为0～45Hz，对其作数字处理时，可以使用的最大抽样周期T是多少？若以T = 5ms抽样，要使抽样信号通过一理想低通滤波器后，能不是真的回复原信号，问理想低通滤波器的截至频率fc应满足什么条件？

解：由已知条件，可知fm = 45Hz 由抽样定理fs ≥ 2fm = 90Hz ∴ T ≤

190x(f)

T = 0.005 ∴ fs =

1T =

10005 = 200

f -45 0 45 由抽样定理和低通滤波可知 45 ≤ fc ≤ 200-45 = 155 即45 ≤ fc ≤ 155

x(f) 2-18若F[a(t)] = X(Ω), 如图2-85所示，当抽样脉冲p(t)为下列信号时，试分别求抽样后的抽样信号的频谱X s (Ω), 并画出相应的频谱图

(1) p(t) = cos t

f -45 0 45 1 X(Ω) 200 Ω

18

-1 0 1 图 2-85

(2) p(t) = cos2 t

??(3) p(t) =

??(t?2?n)

n?????(4) p(t) =

??(t??n)

n???解：由抽样特性可知 x s = x(t) p(t) 由频域卷积定理可知 X s (Ω) =

12?X(?)*P(?)

1 12?1212?12X(?)*P(?)

[X(??1)?X(??1)]

X s (Ω) (1) P(Ω) = [δ(Ω+1)+δ(Ω-1)]

1/2 ∴ X s (Ω) =

Ω -2 -1 0 1 1/2 1 2 =

18 (1) X(?)*P(?)

[X(??2)?X(??2)]

(2) P(Ω) = [δ(Ω+2)+δ(Ω-2)] ∴ X s (Ω) =

X s (Ω) Ω -3 -2 -1 0 1 2 3 =

18 (2) (3) P(Ω) =

2?2?????(??n)

n?????12?X s (Ω) =

??(??n)

n???Ω -3 -2 -1 0 1 2 3 ∴ X s (Ω) =

12?X(?)*P(?)

18 (3) =

12??????n???X(??n)

(4) P(Ω) =

2????(??2n)

n?????1? X s (Ω) = 2??(??2n)

n???Ω -3 -2 -1 0 1 2 3 ∴ X s (Ω) =

12?X(?)*P(?)

18 (3) 19

=

1????n???X(??2n)

Xp (1) = 2, Xp (2) = 0, Xp (3) = 2

3-1 解：序列频谱的定义为

??X(ej?) =

j??x(n)en?-???n?-????jn?

(1) X(e) =

??(n)e?jn?= 1

(2) X(ej?) =

??(n?3)en?-????jn?=

e-j3?

(3) X(ej?) =

?n?-?[0.5?(n?1)??(n)?0.5?(n?1)]ee= 1 +

j??jn?

=

0.5e??j?+ 1 +0.5e?jn?-j??e2?j? = 1 +cos ?

(4) X(ej?) =

?n?-???au(n)en?jn?n

?? =

?n?0ae1 =

?n?0(ae?j?) (∵0 < a < 1, ∴收敛)

n =

1?ae???j?

N?1?jn?(5) X(ej?) =

?Rn?-?N(n)e=

?en?0?jn?1?e=

?jN??j?1?e

e

=

?jN?2e?j?2 ·ejN?2j?e?e?jN?2?2e?j?2 = e-jN-12sin?N?sin?22

??3-2 (1) DTFT[x(n-n0)] =

?n?-?x(n?n0)e?jn?

??m?n?n0?m?-?x(m)e?jm?e?jn0?= X(ej?)e?jn0?

20

当w?0时，X(ejw)?N 当w?2?Nk时，X(ejw)?0

11（4）由（3）可得，当x(n)由4点通过补零扩为10点时，此时的圆卷积和线卷积的结果相同。由于线卷积的长度为4+4-1=7

∴可知x(n)由4点通过补零扩为最少7点时，圆卷积和线卷积相等。

?ln3-12 证明：频移定理为 IDFT? ??Xp(k?l)RN(k)??x(n)WN 由IDFT的定义可知，

?IDFT??Xp(k?l)RN(k)??1NN?1?k?0Xp(k?l)eXp(m)elnj2?Nnk

?1???NN?l?1?k??lj2?N?j2?Nnm?j2N?ln?e?

?x(n)e?x(n)WN?ln3-13 解：频移定理

?ln? IDFT? ?Xp(k?l)RN(k)??x(n)WN （1）∵cos(2?N??mn)?12(ej2?Nmn?e?j2?Nmn)?12(WN?mn?WN)

mn ∴DFT?x(n)cos( 由频移特性： DFT?x(n)cos(??2?2?1?1?mn??x(n)WNmn? mn)??DFT?x(n)W?DFTN??2??N?2?1mn)???Xp(k?m)?Xp(k?m)?RN(k) ??N?2 （2）∵sin(2?Nmn)?12j(ej2?Nmn?e?j2?Nmn)?12j(WN?mn?WN)

mn ∴DFT?x(n)sin(??2?11??mnmn??? mn)??DFT?x(n)W?DFTx(n)WNN????N2j?2j 由频移特性： DFT?x(n)sin(??2?1??Xp(k?m)?Xp(k?m)?RN(k) mn)????N2j?3-14

解：由DFT的定义可知，

26

rN?1DFT?y(n)???n?0n(kr)y(n)e?j2?rNnkN?1??x(n)en?0?j2?rNnk

?N?1?n?0x(n)e?j2?N

k?X()r3-15 证明：频域圆卷积定理，

若y(n)?x(n)h(n) 则

Y(k)?Xk(?)Hk() ? N ? N11N?1?l?0N?1l?0XlH(p)k?l(RNl) lX(p)k?l(RNl)N?1()()?HY(k)?DFT?y(n)??N?1?x(n)h(n)Wn?0?nkNN?1N?1 ??x(n)??IDFT?H(k)???Wn?0?nkN

? ??1??x(n)?n?0?N?H(k)Wl?0?lnN?nk?WN?1N1NN?1N?1(k?l)nN

?H(l)?x(n)Wl?0N?1n?0?H(l)Xl?0p(k?l)RN(l) 同理可证Y(k)?1NN?1?X(l)Hl?0p(k?l)RN(l)

3-16 证明：由卷积的定义可知

?（1）x(n)??(n)??m???x(m)?(n?m)?x(n)

?（2）x(n)??(n?n0)??m???x(m)?(n?n0?m)?x(n?n0)

3-19解：（1）T1min?T1T1??F??0.02?150?0.02s（2）Tmax?612fn?12?1000?0.5?10?3s

（3）N??0.5?10?3?40 ∴Nmin?2?64

7 （4）分辨力提高一倍，则T1min?0.04s，则N?80，取N?2?128

nn???3-17解：18..DFT??(?1)??DFT?(?1)RN(n)??X(k?N2)又DFT?RN(n)??N?(k)

n??N?(k?(?1) ∴DFT???N2)

27

x(0) x(8) x(4) x(12) x(2) x(10) x(6) x(14) x(1) x(9) x(5) x(13) x(3) x(11) x(7) x(15) x1(0) x1(1) x1(2) x1(3) x1(4) x1(5) x1(6) x1(7) x1(8) x1(9) x1(10) x1(11) x1(12) x1(13) x1(14) x1(15) x2(0) x2(1) x2(2) x2(3) x2(4) x2(5) x2(6) x2(7) x2(8) x2(9) x2(10) x2(11) x2(12) x2(13) x2(14) x2(15) x3(0) x3(1) x3(2) x3 (3) x3 (4) x3 (5) x3 (6) x3 (7) x3 (8) x3 (9) x3 (10) x3 (11) x3 (12) x3 (13) x3 (14) x3 (15) X(0) X(1) X(2) X (3) X (4) X (5) X(6) X (7) X(8) X (9) X (10) X (11) X (12) X (13) X (14) X(15)

N?13-18 解：DFT??X(N)???N?12r?0?(?1)n?0nnkWN??(?1)r?0N?122r2rkWN??(?1)r?0N?122r?1(2r?1)k WN?

rkkW?W?NN2rkW?N r?02N?12Nn??DFT?(?1)nRN(n)??X(k?DFT?(?1)) ????2 28

5-1 用冲击响应不变法求相应的数字滤波器系统函数H(z)

1）Ha(s) = 2）Ha(s) =

s?3s?3s?2s?1s?2s?422

解：由Ha(s)分解成部分分式之和 1）Ha(s) = ∴H(z) =

21?e?Ts?3s?3s?22=

1s?3(s?2)(s?1)=

2s?1?T–

1s?2?T

?1z?1–

1?e?2Tz?1=

11?e1?e?T(1?2e?T)z(1?e)z?1?e?3Tz?2

1j2）Ha(s) =

s?1s?2s?42=

2?3+

12s?2e?j?3

s?2e1∴H(z) =

1?e2j?3+

z?12?j?3?2Te1?e?2Tez?1=

1?e1?2e?T?Tcos(3T)z?1?1?2Tcos(3T)z?ez?2

5-2 设ha(t)表示一个模拟滤波器的单位冲击响应 ha(t)=

0 , t＜0

（1）用冲击响应不变法，将此模拟滤波器转换成数字滤波器，确定系统函数H(z)（以T作为参数）

（2）证明，T为任何值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器，还是高通滤波器

e?0.9t , t≥0

解：（1）∵ ha(t)= e?0.9tu(t) 29

∴ Ha(s) =

∴ H(z) =

1s?0.91?0.9T

z?11?e

(2)∵ H(z) =

11?e?0.9Tz?1

则其极点为z=e?0.9T ∵ T > 0 ∴ |z| < 1 H(ej?) =H(z)|z?ej? =

eej?j??0.9T?e

可以看出当ω↑时，| H(ej?) |↓ ∴ 是低通滤波

5-3 图5-40是由RC组成的模拟滤波器，写出其系统函数Ha(s)，并选用一种合适的转换方法，将Ha(s)转换成数字滤波器H(z) 解：由回路法可知（这是一个高通滤波器）

C ya(t)=RC∴

Y(s)X(s)dUc(t)dt=

RCdxa(t)dt–RCdya(t)dt

xa(t)

R

ya(t)

=

RCs1?RCs= Ha(s)

由于脉冲响应不变法只适宜于实现带通滤波器，所以最好用双线性变换法实现H(z)

2RC∴H(z) =

Ha(s)|s?21?z?T1?z?1?1T1?z=?12RC1?z1???1T1?z?1?z?1?1=

2RC(1?z)(T?2RC)?(T?2RC)z?1?1?z?2

30

5-4 设模拟滤波器的系统函数为Ha(s)=

?cs??c，式中Ωc是模拟滤波

器的3dB带宽，利用双线性变换，设计一个具有0.2π的3dB带宽的单极点低通数字滤波器

解：由预畸可知

?c=

2Ttan(12?0.2?)=

0.650.65T

∴ Ha(s) =

s?T0.65T

由双线性变换法可得

0.65H(z) =

Ha(s)|21?zs??T1?z?1?1=

2T?T?11?z1?z?1?0.65T=

0.65(1?z?1)?12.65?1.35z

5-5 要求通过模拟滤波器设计数字滤波器，给定指标：3dB截至角频率ωc=π/2，通带内ωp=0.4π处起伏不超过1dB，阻带内ωs=0.8π处衰减不小于20dB，用Butterworth滤波特性实现

（1）用冲击响应不变法 （2）用双线性变换法 解：（1）用冲击响应不变法

① 先将数字指标转换为低通原型模拟滤波器指标

?p=

?Tp==

0.4?T

?s=

?sT0.8?T 31

②设计模拟滤波器，求出Ha(s) Butterworth的频响函数为

|Ha(j?)|=

211?(??c)2n

11?(110∴ Ha(j?p)=

1?(1?p=

)2n?p?c=10)2n?

?cHa(j?s)=

1?(10102lg(21101?s?c))2n=

1?(1?s?c)2n=10?2010

lg(?1?1)∴ n =

?s?p=2.14

∴ 取 n = 3 ③ 求?c

|Ha(j?)|=

1?(21?s?c)2n=10?2

∴ ωc = ∴ ?c=

?s60.8?rad/s =

610?1299= 0.372π

?cT 设T = 1, 则 ?c= 0.372π

④ 求Ha(s)查表可得

Ha(s?)?12(s??1)(s??s??1)

1∴ Ha(s) =

Ha(s?)|s??s?c?(s?c?1)(s22?c?s?c

?1) 32

⑤ 由冲击响应不变法 先将Ha(s)分解成部分分式 Ha(s) =

A1s?s1+

A2s?s2+

A3s?s3

=

A11?e?s1T?1则H(z) =

=

z+

A21?e?s2Tz?1+

A31?e?s3Tz?1

（2）用双线性变换法

①由预畸求模拟滤波器原型指标

?p=

2T2Ttan?p2==

1.453T0.155T

?s=

tan?s2 ②设计模拟滤波器，求出Ha(s)

Butterworth的频响函数为

|Ha(j?)|=

1?(21??c)2n

110∴ Ha(j?p)=

1?(1?p=10)2n?

?cHa(j?s)=

1?(1?s?c)2n=10?2010

33

lg(10102110?1?1)) ∴ n =

2lg(?s?p=1.51

取n =2

③求?c

|Ha(j?s)|=

1?(21??c)2n=10?2 取T=1

∴ ?c=6?s10?126.155rad/s =

699= 2.862

④求Ha(s)

查表可得：

Ha(s?)=

1s??1.4142s??1222

1Ha(s) = Ha(s?)|s??s=

?cs?c?1.4142s?c

?1 =

⑤由双线性变换法求 H(z) =

Ha(s)|21?zs??T1?z?1?1=

5-6 已知图5-41h1(n)是偶对称序列N=8，h2(n)是h1(n)圆周位移后的序列。设H1(k)=DFT[h1(n)], H2(k)=DFT[h2(n)]

(1) 问|H1(k)| = |H2(k)|是否成立？θ1(k)与θ2(k)有什么关系？ (2) h1(n)，h2(n)各构成低通滤波器，试问它们是线性相位的？延时

34

是多少？

(3) 这两个滤波器的性能是否相同？为什么？若不同谁优谁劣？ 解：(1) 由DFT的时移定理

mkDFT[xp(n-m)RN(n)]= WNX(k)可知

H1(k)和H2(k)只有相位差，幅值相等，即有 |H1(k)| = |H2(k)| θ1(k)和θ2(k)相差WN 即θ2(k)–θ1(k)= W=e4k8mk?j2?84k=e?jk?

(2) ∵ 无论h1(n)，h2(n)都是偶对称序列

∴ 所以他们构成的低通滤波器具有线性相位

N?12延时 α=

=

8?12=3.5

(3) 不相同，相位相差kπ

h1(n)要优于h2(n)，因为其相位滞后时间少

5-7用矩形容器设计一个近似理想频率响应的FIR线性相位的数字滤

?j?? , 0? |?|??c 波器 e

Hd(ej?) =

， ?c? |?|??

0

(1) 求出相应于理想低通的单位脉冲响应hd(n)

(2) 求出矩形窗设计法的h(n)表达式确定τ与N之间的关系 (3) N取奇数或偶数对滤波特性有什么影响？

35

解：(1) hd(n)= =

12?1????Hd(ej?)ej?nd?

sin[?c(n??)]2?????cce?j??ej?nd? =

?(n??)

(2) h(n)= hd(n) RN(n), h(n)只能取偶对称序列，由线性相位 τ=

N?12

(3) 由于N无论取奇数还是偶数，都可实现低通滤波，而且只

N?12要N的取值使h(n)为关于的偶对称函数，就能保证线性相关，

另外N的大小，只影响余振的多少和过滤带的窄宽，不会影响阻带良域。

5-8用矩形容器设计一个线性相位高通FIR数字滤波器

?j?? , ?c? |?|?? eHd(ej?) =

， 0? |?|??c

0

(1) 求出响应于理想高通的单位脉冲响应hd(n)

(2) 求出矩形窗口设计法的h(n)表达式，确定τ与N之间的关系 (3) N的取值有什么限制？为什么？ 解：(1) hd(n)= = = =

12?12?12?12???c????j???Hd(ej?)ej?nd??c

e?j?????eejn?d?+

12?12???eejn?d?

?????ce?j?(n??)d?+

???cj?(n??)d?

?c[e?j?(n??)?ej?(n??)]d?

36

= = =

1????ccos[?(n??)]d?

1?(n??)1sin[?(n??)]|?c sin[(n??)?]–

sin[?c(n??)]??(n??)?(n??)

= Sa[?(n??)]–

?c?Sa[?c(n??)]

∴ hd(n)仍然是偶函数

(2) h(n)= hd(n) RN(n)

∴ h(n)为偶对称序列，要保持滤波器具有线性相位，则须有 τ=

N?12

(3) 这是一个高通滤波器，由于h(n)为偶对称，而当N取偶数时，

所得到的滤波器不能实现高通特性

∴ N只能取奇数

5-9考虑一个长度为M=15的线性相位FIR滤波器，设滤波器具有对称单位样值响应，并且它的幅度响应满足条件 H(

2?k15 ) = 1， k = 0, 1, 2, 3

0， k = 4, 5, 6, 7 确定该滤波器的系数h(n)

解：由于H(k) =Ha(ej?)|??2?Nk

37

∴ h(n) = IDFT[H(k)] = ∴ h(0) =

115115141Nj2?15N?1?k?00kH(k)ej2?Nnk

?k?014H(k)e= 1

1151151151?e1?e?1?e1?e?1?e1?ej2815 h(1) =

?k?014H(k)ej2?15?k=

?j2?15

h(2) =

115?k?014H(k)ej4?15j5615?k=

j4?15

h(3) =

115?k?0H(k)ej6?15j8415?k=

j6?15

h(4) = 0 h(5) = 0 h(6) = 0 h(7) = 0

由频率特性可知，这是一个低通滤波器

∴ 要取h(n)关于α=

N?12=

15?12=7这一点偶对称时，可实

现低通滤波（奇对称时，无法实现低通滤波） ∴ 取 h(8) = h(6)

h(9) = h(5) h(10) = h(4) h(11) = h(3) h(12) = h(2) h(13) = h(1)

38

h(14) = h(0)

5-10设FIR滤波器的系统函数为

H(z) = 0.1(1+0.9z-1+2.1z-2+0.9z-3+z-4)

求出滤波器的单位抽样响应，判断是否具有线性相关，并求出其幅度特性和相位特性，画出其直接型结构和线性相位型结构

39

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6dm.html