南通市2010届高三第二次调研测试试卷

南通2010届高三第二次调研测试

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

π1．命题“?x?(0,)，tanx?sinx”的否定是 ▲ ．

2z2．已知复数z1?m?2i,z2?3?4i,若1为实数，则实数m的值为 ▲ ．

z23．曲线y?2x?lnx在点（1，2）处的切线方程是 ▲ ．

4．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=2．在BC边上任取一点M，则∠AMB≥90°的概率为 ▲ ． 5．某算法的伪代码如下：

S←0 i←1

While i≤100 S←S?1 i(i?2) i←i＋2 End While Print S

则输出的结果是 ▲ ． 6．设全集U=R，A={x|3x?2}，则A?B? ▲ ． <0}，B={x | sin x≥2x+17．设l，m表示两条不同的直线，α表示一个平面，从“∥、⊥”中选择适当的符号填入下列空格，使其成为真命题，即：

l____m?▲

??m ▲ α．

l____??▲ x??2?1,x?0,8．已知函数f(x)??2若函数g(x)?f(x)?m有3个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．

?x?2x,x≤0.??9．设圆x2?y2?1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为 ▲ ． 10．将正偶数按如图所示的规律排列：

2 4 8 14 ??

则第n（n≥4）行从左向右的第4个数为 ▲ ．

6 10 12 16 18 20

11．已知函数f(x)?Asin??x???(A?0,??0)的图象与直线y?b?0?b?A?的三个相邻交点的横坐标分别

是2，4，8，则f(x)的单调递增区间是 ▲ ．

12．A、B是双曲线C的两个顶点，直线l与实轴垂直，与双曲线C

E F A B D C uuruuur交于P、Q两点，若PB?AQ?0，则双曲线C的离心率e＝ ▲ ． 13．如图正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，

????????????设AP??AB??AF（α、β∈R），则α+β的取值范围是 ▲ ． 14．设函数f(x)?x2?ax?a?3，g(x)?ax?2a．若存在x0?R，

使得f(x0)?0与g(x0)?0同时成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．

（第13题）

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F为A1D的中点． （1）求证：A1B∥平面AFC；

（2）求证：平面A1B1CD?平面AFC．

16．（本小题满分14分）

sin??，b??cosx， sinx?，c??sinx?2sin?， cosx?2cos??，其中0???x?π． 已知向量a??cos?，A1 B1 F C1

D1

A B

C （第15题）

D

（1）若??π，求函数f(x)?b?c的最小值及相应x的值； 4π，且a⊥c，求tan2?的值． 3（2）若a与b的夹角为

17．（本小题满分15分）

设等比数列?an?的首项为a1，公比为q，且q>0，q≠1.

（1）若a1=qm，m∈Z，且m≥－1，求证：数列?an?中任意不同的两项之积仍为数列?an?

中的项；

（2）若数列?an?中任意不同的两项之积仍为数列?an?中的项，求证：存在整数m，且

m≥－1，使得a1=qm.

18．（本小题满分15分）

平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（3c，0）三点，其中c＞0． （1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）；

y2x2（2）已知椭圆2?2?1(a?b?0)（其中a2?b2?c2）的左、右顶点分别为D、B，

ab⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧． ①求椭圆离心率的取值范围；

②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

19．（本小题满分16分）

某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中高0.5米，AB=1米， CD=2a（a＞

1）米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD2的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．

（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x

的函数S?f?x?；

（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．

m M m N D M A E N B C D A E B C 20．（本小题满分16分）

（第19题） 142设函数f（x）＝x＋bx＋cx＋d，当x＝t1时，f（x）有极小值． 4（1）若b＝－6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；

（2）在（1）的条件下，若存在实数c，使函数f（x）在闭区间［m－2，m＋2］上单调递增，求实数

m的取值范围；

（3）若函数f（x）只有一个极值点，且存在t2∈（t1，t1＋1），使f ′（t2）＝0，证明：函数g（x）＝f

（x）－

12

x＋t1x在区间（t1，t2）内最多有一个零点． 2附加题部分

B．选修4－2 矩阵与变换 ?cos?若点A（2，2）在矩阵M???sin??sin??对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵M的

cos???逆矩阵．

C．选修4－4 坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：?x?4t2,?（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB． ?cos(??)?22与曲线C2：?4?y?4t

22．一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，

取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球． （1）写出甲总得分ξ的分布列； （2）求甲总得分ξ的期望E（ξ）．

23．设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝an2＋a1，M??a?Rn?N*， | an|≤2?．

（1）当a∈（－∞，－2）时，求证：a?M； （2）当a∈（0，（3）当a∈（

1］时，求证：a∈M； 41，＋∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论． 4数学参考答案及评分建议

π1．?x?(0,)，tanx≤sinx

232．? 3．x?y?1?0

2

8．（0，1） 13．[3，4]

4．

1 4

5．

50 101π6．[,2)

3

7．∥，⊥，⊥ 9．2 10．n2?n?8

A1 F C1

D1

) 11．[6k,6k?3](k?Z12．2 14．（7，＋∞）

15．证明：（1）连接BD交AC于点O，

B1 连接FO，则点O是BD的中点．

∵点F为A1D的中点，∴A1B∥FO．??4分

又A1B?平面AFC，FO?平面AFC，

A D ∴A1B∥平面AFC． ????????????7分

C B （2）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接B1D． （第15题）

∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面B1BD，AC⊥B1D．???????9分 又∵CD⊥平面A1ADD1，AF?平面A1ADD1，∴CD⊥AF．

又∵AF⊥A1D，∴AF⊥平面A1B1CD． ??????????????12分 ∵AC⊥B1D，∴B1D⊥平面AFC．

而B1D?平面A1B1CD，∴平面A1B1CD?平面AFC．????????14分

16． 解：（1）∵b??cosx, sinx?, c??sinx?2sin?, cosx?2cos??，??π， 4∴f(x)?b?c?cosxsinx?2cosxsin??sinxcosx?2sinxcos?

?2sinxcosx?2(sinx?cosx)．???????????????2分

令t?sinx?cosx(0?x?π)，则2sinxcosx?t2?1，且?1?t≤2． 则y?f(x)?t2?2t?1?(t?223)?，?1?t≤2． 22 ∴t??223时，ymin??，此时sinx?cosx??．?????????5分 22211π由于0?x?π，故x?．

12311π 所以函数f(x)的最小值为?，相应x的值为． ?????????7分

212（2） ∵a与b的夹角为

∴cossπ， 3πa?b??cos?cosx?sin?sinx?cos(x??)．????????9分 3|a|?|b|π． 3∵a⊥c，∴cos?(sinx?2sin?)?sin?(cosx?2cos?)?0． ∵0???x?π，∴0?x???π，∴x???π∴sin(x??)?2sin2??0，sin(2??)?2sin2??0． ????????12分

3533cos2??0，∴tan2???∴sin2??．????????????14分

22517．证明：（1）设ar,at为等比数列?an?中不同的两项，由a1?qm，

得ar?at?a1qr?1?a1qt?1?a1?q(r?t?m?1)?1．???????????????2分 又r?t≥3，且m≥?1，所以r?m?t?1≥1．

所以ar,at是数列?an?的第r?m?t?1项． ?????????????6分 （2）等比数列?an?中任意不同两项之积仍为数列?an?中的项，

令as?at?al(l,t,s?N*,t?s)，由as?a1?qs?1，at?a1?qt?1，al?a1?ql?1， 得a1?qs?1??a1?qt?1?a1?ql?1，a1?ql?s?t?1．

令整数m?l?s?t?1，则a1?qm．????????????????9分 下证整数m≥?1．

若设整数m??1，则?m≥2．令k??m， 由题设，取a1,ak，使a1?ak?ar(r?N*) ，

即a1?a1?qk?1?a1?qr?1，所以qm?q?m?1?qr?1，即q?1?qr?1．?????12分 所以q>0，q≠1，?1?r?1，r?0与r?N*矛盾!

所以m≥?1．?????????????????????????15分

18． 解：（1）设⊙M的方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0，

?23D??c,??c?Ec?F?0,3??2?则由题设，得?c?Ec?F?0,解得?E?0, ?????????3分

?2?F??c2.?3c?3Dc?F?0.???2⊙M的方程为x2?y2?⊙M的标准方程为(x?23cx?c2?0， 3324c)?y2?c2． ?????????????5分 333c,0)，又B(b,0)，D(?b,0)， 3（2）⊙M与x轴的两个交点A(3c,0)，C(??3c?b,?3c?b,?3c2?a2?c2,???由题设?3 即?3 所以?12?????????7分 22c?a?c.c??b,????c?b.?3?3?3解得

1c313??，即 ?e?． 2a22213)．???????????????10分 所以椭圆离心率的取值范围为(,22（3）由（1），得M(333c,0)．由题设，得3c?b?b?c?c． 333

∴b?2323c，D(?c,0)． 33∴直线MF1的方程为x3c3x?y?1， ① cy?1． ②?????????????13分 c4333c,3c)，易知kOQ?为定值， 3433x上．???????15分 4直线DF2的方程为?23c3?由①②，得直线MF1与直线DF2的交点Q(∴直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线y?19． 解：（1）（一）0≤x?MN?1x1?． 时，由平面几何知识，得

12a?122∴MN?2(2a?1)x?1，S?f?x???(2a?1)x2?(a?1)x?（二）

1． ?????3分 41111111?x?a?时，S?f?x???2a2?(x?)2?(x?)?a2?(x?)2?(x?)，

222222211?2?(2a?1)x?(a?1)x?,x?[0,),?42?∴S?f(x)??????????????5分

1111?a2?(x?)2?(x?),x?(,a?).?2222?（2） （一）0≤x?11时，S?f?x???(2a?1)x2?(a?1)x?． 24a?11?aa?111???0，∴?． ∵a?，∴

2(2a?1)22(2a?1)2(2a?1)22①

11?a≤1，当x?0时，[f(x)]max?f(0)?．

42a?1a?1a2]?②a?1，当x?时，[f(x)]max?f[．?????7分

2(2a?1)2(2a?1)4(2a?1)（二）

11?x?a?时， 2211111?2a2?(x?)2?(x?)?a2?(x?)2?(x?) 22222S?f?x??11(x?)2?[a2?(x?)2]1122?1a2， ?(x?)2[a2?(x?)2]≤222211111等号成立?(x?)2?a2?(x?)2 ?x?(2a?1)?(,a?)．

22222a21∴当x?(2a?1)时，[f(x)]max?．????????????????10分

22a211221)(a?)， A．?a≤1时，∵??(a?242222

∴

121?a≤时．当x?0，[f(x)]max?f(0)?， 2242a21?a≤1时，当x?(2a?1)，[f(x)]max?．???????????12分

22212a24a?32?a?0． B．a?1时，a?24(2a?1)4(2a?1)a21当x?(2a?1)时，[f(x)]max?．?????????????????14分

22综上，

121?a≤时，当x?0时，[f(x)]max?f(0)?，即MN与AB之间的距离为0米时，224三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为[f(x)]max211平方米．a?时，当x?(2a?1)时，

242a21?， 即MN与AB之间的距离为x?(2a?1)米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，221最大面积为a2平方米．?????????16分

2

120．解：（1）因为 f（x）＝x4＋bx2＋cx＋d，所以h（x）＝f ′（x）＝x3－12x＋c．??2分

4由题设，方程h（x）＝0有三个互异的实根．

考察函数h（x）＝x3－12x＋c，则h ′（x）＝0，得x＝±2． x h ′（x） h（x） （－∞，－2） ＋ 增 －2 0 c＋16 （极大值） （－2，2） － 减 2 0 c－16（ 极小值） （2，＋∞） ＋ 增 ?c?16?0,所以? 故－16

c?16?0.?（2）存在c∈（－16，16），使f ′（x）≥0，即x3－12x≥－c， （*） 所以x3－12x>－16，

即（x－2）2（x＋4）>0（*）在区间［m－2，m＋2］上恒成立． ????7分 所以［m－2，m＋2］是不等式（*）解集的子集．

?m?2??4,所以?或m－2>2，即－24． ?????????9分

m?2?2,?（3）由题设，可得存在α，β∈R，使 f ′（x）＝x3+2bx＋c＝（x－t1）（x2＋αx＋β），

2

且x＋αx＋β≥0恒成立． ???????????????????11分 又f′（t2）＝0，且在x＝t2两侧同号， 所以f′（x） ＝（x－t1）（x－t2）2． ????????????????13分 另一方面，

g ′（x）＝x3＋（2b－1）x＋t1＋c

＝x3＋2bx＋c－（x－t1）＝（x－t1）［（x－t2）2－1］．

因为 t1 < x < t2，且 t2－t1<1，所以－1< t1－t2 < x－t2 <0． 所以 0<（x－t2）2<1，所以（x－t2）2－1<0．

而 x－t1>0，所以g ′（x）<0，所以g（x）在（t1，t2）内单调减．

从而g（x）在（t1，t2）内最多有一个零点．?????????????16分

B．选修4－2 矩阵与变换

?2???2??2cos??2sin????2?解：M????? ，即????2? ，???????????????4分 222sin??2cos??????????cos??sin???1,?cos??0,所以? 解得? ?????????????????6分

?sin??cos??1.?sin??1.?0?1??10??01?．由M?1M??，得M?1?????．?????????10分 0??1001????0?1?01?另解：M? ＝1?0， M?1???． 10?10??所以M???1另解：M???1?0?1??cos90??sin90????旋转变换矩阵，于是?，看作绕原点O逆时针旋转90°0???sin90?cos90???cos(?90?)?sin(?90?)??01?M?1??????10?． sin(?90?)cos(?90?)????

解：曲线C1的直角坐标方程x?y?4，曲线C2的直角坐标方程是抛物线y2?4x，?4分

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将这两个方程联立，消去x，

得y2?4y?16?0?y1y2??16，y1?y2?4．??????????????6分

?x1x2?y1y2?(y1?4)(y2?4)?y1y2?2y1y2?4(y1?y2)?16?0．????8分

????????∴OA?OB?0，?OA?OB．?????????????????????10分

22． 解：（1）甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种可能，记?为甲总得分．

54??1?2??3?， ??3??27，P(??7)?C3?????125125?5??5??5?2?C3?32 P(??6)P(??8)?8??36??2?，P(??9)??2??．?????????4分 ??3??551255125??????23? P（x＝?） 6 7 8 9 27125 54125 36125 8125 ?????????????????7分

（2）甲总得分ξ的期望

3654368E（ξ）＝6?27?7?＝．????????10分 ? 8??9?1251251251255

23． 证明：（1）如果a??2，则a1?|a|?2，a?M． ???????????????2分

11（2） 当 0?a≤时，an≤（?n≥1）．

421 事实上，〔〕当n?1时，a1?a≤．

2设n?k?1时成立（k≥2为某整数），

则〔〕对n?k，ak≤ak?1*

2?1?11?a≤????．

?2?422由归纳假设，对任意n∈N，|an|≤

（3） 当a?1时，a?M．证明如下： 41＜2，所以a∈M．??????????6分 2对于任意n≥1，an?a?12，且an?1?an?a． 41112对于任意n≥1，an?1?an?an?an?a?(an?)2?a?≥a?，

244则an?1?an≥a?1． 41 所以，an?1?a?an?1?a1≥n(a?)．

4当n?2?a1时，an?1≥n(a?)?a?2?a?a?2，即an?1?2，因此a?M． 14a?4???????????????????10分

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