初一奥赛培训17：二元一次不定方程的解法(1)

初一奥赛培训17：二元一次不定方程的解法

一、解答题（共15小题，满分150分）

1、小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？ 2、求不定方程x﹣y=2的正整数解．

3、求证：如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①，有一组整数解x0，y0，则此方程的一切整数解可以表示为

，其中t=0，±1，±2，±3，…．

4、求11x+15y=7的整数解．

5、求方程6x+22y=90的非负整数解． 6、求方程7x+19y=213的所有正整数解． 7、求方程37x+107y=25的整数解．

8、某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？ 9、求方程9x+24y﹣5z=1000的整数解．

10、今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？

11、求下列不定方程的整数解： （1）72x+157y=1； （2）9x+21y=144； （3）103x﹣91y=5．

12、求下列不定方程的正整数解： （1）3x﹣5y=19； （2）12x+5y=125．

13、求下列不定方程的整数解： （1）5x+8y+19z=50； （2）39x﹣24y+9z=78．

14、求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解． 15、求不定方程组

的正整数解．

答案与评分标准初一奥赛培训

17：二元一次不定方程的解法

一、解答题（共15小题，满分150分）

1、小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？ 考点：二元一次方程的应用。

分析：通过理解题意，我们可以知道本题中存在一个等量关系，即钱数和买橡皮铅笔花去的数目是相等的，根据这一等量关系，可以列出方程求解作答．

解答：解：设小张买了x块橡皮，y支铅笔， 则根据题意得方程： 3x+11y=50．

这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零， 所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解． 因为铅笔每支1角（1分），所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，

即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个． 若y=0，则x=

，不是整数，不合题意；

若y=1，则x=13，是整数，符合题意； 若y=2，则x=若y=3，则x=

，不是整数，不合题意； ，不是整数，不合题意；

若y=4，则x=2，符合题意． 所以，这个方程有两组正整数解，即

或

；

答：5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔． 故答案为：2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．

点评：本题解题的关键在于，找到题目中所给的等量关系，再根据这一等量关系，列出方程求解作答，另外应特别注意，实际问题实际分析．

2、求不定方程x﹣y=2的正整数解． 考点：解二元一次方程。

分析：根据原方程，xy的关系可以得到x、y的一个等式关系，由于方程的解是正整数，则只要y取自然数，x取比y大2的数即可，原方程有无数组解．

解答：解：我们知道：3﹣1=2，4﹣2=2，5﹣3=2，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是

，

其中n可以取一切自然数．

因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．

点评：本题考查了二元一次方程的解和求不定方程的整数解．当没有条件限制时，方程的解有无数个．求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．

3、求证：如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①，有一组整数解x0，y0，则此方程的一切整数解可以表示为

，其中t=0，±1，±2，±3，…．

考点：解二元一次方程。

分析：把x0，y0代入原方程中可得到一个方程，设方程的任一组解可得到第二个方程，联立两个方程求解，再根据a，b是互质的正整数，c是整数，即可得到原方程解的表示形式，即可证明结论．

解答：证明：因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，② 因此a（x0﹣bt）+b（y0+at）=ax0+by0=c． 这表明x=x0﹣bt，y=y0+at也是方程①的解． 设x′，y′是方程①的任一整数解，则有 ax′+bx′=c．③ ③﹣②得 a（x′﹣x0）=b′（y′﹣y0）．④ ∵a，b是互质的正整数即（a，b）=1， ∴即y′=y0+at，其中t是整数．将y′=y0+at代入④，即得x′=x0﹣bt． ∴x′，y′可以表示成x=x0﹣bt，y=y0+at的形式， ∴x=x0﹣bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解．

点评：本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解．当没有条件限制时，二元一次方程的解有无数个．求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值． 4、求11x+15y=7的整数解．

考点：二元一次不定方程的整数解。

分析：首先将原方程变形，以求得符合条件的一组整数解，再利用参数表示出所有的整数解即可． 解答：解：方法1：将方程11x+15y=7变形得：x=∵x是整数， ∴7﹣15y应是11的倍数．

由观察得x0=2，y0=﹣1是这个方程的一组整数解， ∴方程的解为：

方法2：先考察11x+15y=1，

通过观察易得：11×（﹣4）+15×（3）=1， ∴11×（﹣4×7）+15×（3×7）=7， 可取x0=﹣28，y0=21． ∴方程的解为：

（t为整数）． （t为整数）．

，

点评：此题考查了二元一次不定方程的知识．注意二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．

5、求方程6x+22y=90的非负整数解． 考点：二元一次不定方程的整数解。

分析：首先对原方程进行化简，先根据一组解求得原方程整数解的表示形式，再求原方程的非负整数解即可． 解答：解：因为6，22都能被2整除，所以方程两边同除以2得： 3x+11y=45．①

由观察知，x1=4，y1=﹣1是方程3x+11y=1② 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为

由定理，可得方程①的一切整数解为

（t为整数），

因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有

180﹣11y≥0 ③， ﹣45+3t≥0 ④， 由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能． 当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3． 所以原方程的非负整数解是

，

．

点评：本题考查了二元一次方程的解法和求方程的非负整数解．当没有条件限制时，方程的解有无数个．求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．

6、求方程7x+19y=213的所有正整数解． 考点：解二元一次方程。

分析：首先把原方程中的y用含x的式子表示为，再根据解是整数分别讨论解的值． 解答：解：用方程 7x+19y=213① 的最小系数7除方程①的各项，并移项得 x=

=30﹣2y+

②

因为x，y是整数，故3﹣5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．则 y=令

③，

=v，则2u+5v=3．④

由观察知u=﹣1，v=1是方程④的一组解．将u=﹣1，v=1代入③得y=2．y=2， 代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2， 所以它的一切解为

，

由于要求方程的正整数解，所以，

解不等式得t只能取0，1，因此得原方程的正整数解为：

和

．

点评：本题考查了二元一次方程的解法，此题运用辗转法求解，难度比较大． 7、求方程37x+107y=25的整数解． 考点：解二元一次方程。 专题：计算题。

分析：先把107，37，33，表示成：107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1，再用37与107表示1，然后求解即可． 解答：解：107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1．

为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得 1=33﹣8×4=37﹣4﹣8×4=37﹣9×4 =37﹣9×（37﹣33）=9×33﹣8×37

=9×（107﹣2×37）8×37=9×107﹣26×37 =37×（﹣26）+107×9．

由此可知x1=﹣26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是

x0=25×（﹣26）=﹣650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一组整数解． 所以原方程的一切整数解为：

，t是整数．

点评：本题考查了解二元一次方程，难度较大，关键是先把107与37分解，然后用37和107表示1． 8、某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？ 考点：二元一次方程的应用。 专题：应用题。

分析：设需x枚5分的，y枚7分的，恰好支付142分，可列出一元二次方程讨论求解． 解答：解：设需x枚5分的，y枚7分的，恰好支付142，于是 7x+5y=142．① 所以y=

=28﹣x+

=28﹣x﹣

由于7x≤142，所以x≤20，并且x，y为整数，从而x=1，6，11，16， ①的非负整数解为

，

，

，

．

所以，共有4种不同的支付方式．

点评：说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程 9、求方程9x+24y﹣5z=1000的整数解． 考点：二元一次不定方程的整数解。 专题：计算题。

分析：设出参数9x+24y=3t，根据9x+24y﹣5z=1000，得到x、y、z的参数表达式，根据式子特点，即可得方程有无数组整数解．

解答：解：设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t﹣5z=1000． 于是原方程可化为

，

用前面的方法可以求得①的解为：，u是整数；

②的解为，v是整数．

消去t，得，u，v是整数．

即当u、v取不同整数的时候，会得到相应的x、y、z的整数值．

点评：此题考查了用参数法求一元三次不定方程的整数解，将每个未知数用相应的参数表达是解题的关键．

10、今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？

考点：三元一次方程组的应用。 专题：应用题。

分析：设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，根据用100个钱买100只鸡列方程组，再根据未知数应是正整数进行分析讨论求解．

解答：解：设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组

，

①化简，得15x+9y+z=300③， ③﹣②，得14x+8y=200， 即7x+4y=100． y=25﹣x．

由题意知，0＜x，y，z＜100，且都是整数，

所以可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．

点评：能够根据题目中的等量关系列方程组，注意方程组的解应是正整数的条件． 11、求下列不定方程的整数解： （1）72x+157y=1； （2）9x+21y=144； （3）103x﹣91y=5．

考点：解二元一次方程。

分析：首先将方程做适当变形，根据解为整数确定其中一个未知数的取值，再进一步求得方程的另一个解． 解答：解：（1）由原方程得x=

=

①，

∵原方程的解为整数， ∴当y=﹣11时，x=24，是原方程的一组解，故y=72t﹣11，代入①式得x=24﹣157t（t为整数）， 故原方程的解为

（2）由原方程得：x=

=16﹣2y﹣y①， （t为整数）．

∵方程的解整数，16﹣2是整数， ∴满足

是整数即可，令y=t（t为整数），则y=3t，代入①式得，x=16﹣7t．

故原方程的解为

（3）由原方程得x=

=

（t为整数）．

①，

∵原方程的解为整数， ∴当y=9时，x=8，是原方程的一组解， 故y=103t+9，代入①式得x=91t+8（t为整数）， 原方程的解为

（t为整数）．

点评：本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出其中一个未知数的适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．

12、求下列不定方程的正整数解： （1）3x﹣5y=19； （2）12x+5y=125．

考点：解二元一次方程。 专题：计算题。

分析：求不定方程的正整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有正整数值，再求出另一个未知数的值即可． 解答：解：（1）3x﹣5y=19，移项得：3x=5y+19，化系数为1得；

x=∵0＜y＜

，

，即y只能在1，2，3，4，5，6中取值，

当y=1时，x=8， 当y=2时，x=当y=3时，x=

不符合题意； 不符合题意；

当y=4时，x=13； 当y=5时，x=

不符合题意．

，

．

故符合题意的正整数解为：

（2）12x+5y=125，移项得：5y=125﹣12x，化系数为1得： y=25﹣∵0＜x＜又∵y=25﹣

x，

，故x只能在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中取值， 为正整数，故符合条件的x为：5，10．

当x=5时，y=13； 当x=10时，y=1； 故不定方程的正整数解为：

，

．

点评：本题考查了解二元一次方程，难度适中，关键是先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有正整数值，再求出另一个未知数的值即可． 13、求下列不定方程的整数解： （1）5x+8y+19z=50； （2）39x﹣24y+9z=78． 考点：解三元一次方程组。 专题：计算题。

分析：先令x=0，y=0，计算出z的值，如果符合条件就是不定方程的整数解，然后再依次计算x=1，2…，y=1，2…，求出z的值，看是否符合条件即可．

解答：解：（1）经验算5x+8y+19z=50的整数解为

；

（2）经计算39x﹣24y+9z=78的整数解为，，，，，，，，

．

点评：本题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是掌握不定方程的解法． 14、求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解． 考点：非一次不定方程（组）。

专题：方程思想。

分析：先将方程转化为x=5﹣2y﹣3z﹣t﹣

，可设k=﹣

，因为x是整数，所以k也是整数，得到t=﹣2k

﹣y﹣z，令y=m，z=n，代入即可求得t和x，从而得解． 解答：解：2x+5y+7z+3t=10， x=5﹣2y﹣3z﹣t﹣设k=﹣

，

，

因为x是整数，所以k也是整数 t=﹣2k﹣y﹣z 令y=m，z=n， 则t=﹣2k﹣m﹣n， ∴x=5+3k﹣m﹣2n．

故x=5+3k﹣m﹣2n，y=m，z=n，t=﹣2k﹣m﹣n，其中k，m，n是整数，此方程有无数组整数解． 点评：本题考查了多元一次不定方程，可以通过设参数进行转化求解，有一定的难度． 15、求不定方程组

的正整数解．

考点：非一次不定方程（组）。 专题：计算题。

分析：先用加减消元法把三元一次方程组化为两元，根据x、y是正整数求出x、y的值，再求出z的对应值，由z是正整数舍去不符合条件的未知数的值即可． 解答：解：

，

①×2得，10x+14y+4z=48…③， ③+②得13x+13y=52，即x+y=4， ∵x、y、z是正整数， ∴x=1，y=3或x=2，y=2或x=3，y=1， 把x=1，y=3代入②得，3﹣3﹣4z=0，z=0，不合题意； 把x=2，y=2代入②得，6﹣2﹣4z=0，z=，不合题意； 把x=3，y=1代入②得，9﹣1﹣4z=0，z=2，符合题意． 故答案为：

．

点评：本题考查的是不定方程组的解，解答此类题目时要根据解方程组的方法，化“三元”为“二元”，化“二元”为“一元”进行解答．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6dep.html