考试点专业课：浙江大学于慧敏主编信号与系统习题解答_部分2

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x[n 1]=

1 2

n 1

1

eF← →+ 1 jω1jω1 e1 e22

jω

（4） x[n]=δ[6 2n] 解：定义：X(e

jω

)=

n= ∞

∑x[n]e

∞

jωn

=

n= ∞

∑δ[6 2n]e jωn=e j3ω

F

∞

（5） 因为 δ[n]← →1 x[n n0]← →e jωn0X(ejω)

所以 δ[n 2]← →e j2ω δ[n+2]← →ej2ω

δ[n 2]+δ[n+2]← →e j2ω+ej2ω=2cos(2ω)

F

F

F

F

或者：

X(e

jω

)=

n= ∞4

∑(δ[n 2]+δ[n+2])e jωn=e j2ω+ej2ω

1 e j4ω1 e jω

5

j=e2

∞

=2cos2ω

（6） X(ejω)=∑e jωn=e jω

n=1

sin2ω

sin(ω2)

F

→（7） 因为au[n]←

nF

11 ae jω

X(ej(ω ω0))+X(ej(ω+ω0))

,a<1，调制x[n]cosω0n← →

2

所以

1 11

(acosω0n)u[n],a<1← → + j(ω ω0)2 1 ae j(ω+ω0) 1 ae

n

F

1 ae jωcosω0

= jω

cosω0+a2e j2ω 1 2ae

（8） 因为a

n

← →

F

1 a2

1 2acosω+a

F

2

F

，x[n]sinω0n← →

j

X(ej(ω+ω0)) X(ej(ω ω0)) 2

()

(a

n

j 1 a21 a2 sinω0n,a<1← → 22 12cos(ωω)1 2acos(ω ω0)+a2aa ++0

n

F

)

（9） 因为au[n]← →

11 ae jω

dX(ejω)

,a<1 频域微分性质nx[n]← →j

dω

F

1d

1 jω

n 1 e 1 2 F

所以：n u[n]← →j

dω 2

=

1 jωe2 1 jω 1 e 2

2

=

2e jω

2 e jω2

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（10） 因为x[n]=

1

δ[n 4k]k= ∞ 2

∑

∞

n

1 4k x[n]= 2

0else

n=4k

1

令x1[n]=

2

4n

，则x[n]相当于对信号x1[n]进行内插，即

x[n/4]n为4的整数倍x[n]= 1

0n不为4的整数倍

F

jkω

F

由信号的时域扩展性质x(k)[n]← →X(e

∞

n

) 和 x1[n]← →

1 2 81 2

3

cosω+2

8

1 2 8 1 F

得到∑ δ[n 4k]← →

3 82 1 2cos4ω+2k= ∞

（11） 图4-31（a）为矩形脉冲信号x1[n]（N1=2）向右移动2位

1 5ω

sin N1+ ωsin

2 FF 2

x1[n]← → x[n n0]← →e jωn0X(ejω) =

ω ω sin sin 2 2

所以x[n]=x1[n 2]← →e j2ω

F

5ω

sin 2

ω sin 2

或者：

X(e

jω

)=

n= ∞

∑x[n]e

∞

jωn

=∑e

n=0

4

jωn

=

1 e j5ω1 e

jω

（12） 利用定义

X(e

jω

)=

n= ∞

∑x[n]e jωn=2ej3ω+ej2ω+2ejω+2+2e jω+e j2ω+2e j3ω

∞

1331

=2+3cosω+2cos2ω+cos3ω

4.6下列是各离散时间信号的傅里叶变换，求原信号 （1）Xe

()

jω

10≤ω≤ωc= （2）X(ejω)=1 e jω+2e j2ω 3e j3ω+4e j4ω 0ωc≤ω≤π

（3）X(ejω)=e jω/2, π≤ω<π （4）X(ejω)=cos2ω+jsin3ω （5）X(e

jω

π 1 e jω jω)=∑( 1)δ ω k （6）X(e)=

2 k= ∞1 e jω+e 2jω66

∞

k

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8

1

1 e j8ω

2

（7）X(ejω)= （8）X(ejω)如图4-32所示

1

1 e jω

2

解：

1

（1） 由定义x[n]=

2π

F

2π

∫X(e

jω

)e

jωn

1dω=

2π

∫ ω

F

ωc

e

c

jωn

ejωcn e jωcnsinωcndω==

2πjnnπ

（2） 由于δ[n]← →1 时移性质x[n n0[← →e jωn0X(ejω)和线性性质

得X(ejω)=1 e jω+2e j2ω 3e j3ω+4e j4ω的原信号为：

δ[n] δ[n 1]+2δ[n 2] 3δ[n 3]+4δ[n 4]

（3） 由定义

x[n]=

1

2πe

jωjωn

∫X(e)edω=

1 j n π e 2

2π

12π

∫ πe

π

jω/2jωn

edω

=

1 j n π 2

2πj(n )

2

1

sin(n )π

2=

1π(n )

2

（4）

X(ejω)=cos2ω+jsin3ω=

=

F

11j2ω+e24

1

(1+cos2ω)+jsin3ω2 1 j2ω1j3ω1 j3ω+e+e e422

F

由δ[n]← →1 时移性质x[n n0[← →e jωn0X(ejω)和线性性质，得

x[n]=

11111

δ[n]+δ[n+2]+δ[n 2]+δ[n+3] δ[n 3] 24422

（5） 由定义

∞

11π jωnjωjωnk ()ω= (1)δωx[n]=Xeedk edω ∑2π∫2π2π∫2πk= ∞2

=

1

( 1)ke∑2πk=<4>

π

jk2

或者

若x[n]为周期序列，则有X(e

∞

jω

)=2π

k= ∞

jω

k

∑akδ(ω kω0)，

∞

现有X(e

( 1)kkππ

)=∑( 1)δ(ω ，即ω0=，周期N=4，ak=，

222πk= ∞

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考试点

x[n]=

k=0

∑akejkωn=

3

1 e

j

πn

2

+e2π

jπn

e

j

3πn2

=

12π

πn n

1+( 1) 2cos2

（6） X(e

jω

341 e jω

=+)=

1 jω1 jω5 jω1 2jω

+e1 e1 e1 e

3266

11 ae

jω

F

由anu[n]← →

,a<1和线性性质，得

n 1 n

1

x[n]= 3 +4 u[n]

2 3

1

1 e j8ω27

1 jω 1 jω 1 jω 2 jω

（7） X(e)==1+e+ e +K+ e

jω222 1 e2

8

由δ[n]← →1 时移性质x[n n0[← →e jωn0X(ejω)和线性性质，得 1 1 1

x[n]=δ[n]+δ[n 1]+ δ[n 2]+L+ δ[n 7]

2 2 2

=

1

δ[n k]∑ 2 k=0

7

k

2

7

FF

或者： 令X1(ejω)=

11

，则有x1[n]=()nu[n]， 121 e jω

2

e j8ω

， jω1 e2

1FT

→根据时域平移性质有，x1[n 8]=(n 8u[n 8]←

2

12

12

因此有，x[n]=(nu[n] 2 8()n 8u[n 8]=2 n(u[n] u[n 8])

（8） 方法一：按照定义

x[n]=12π

12π

∫2π

X1(ejω)ejωndω+

12π

∫2πX2(e

jω

)ejωndω

12π

3 sin πn 5 3

πππ 1 8 jωjωn8ejωndω+8ejωndω+5ejωndω =Xeed=(1+( 1)n) ()ω1 ∫2π∫∫3 πππn2π π 88 1 sin πn 8 jωjωn

Xeed(1+( 1)n)=()ω2∫2π

πn

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3 1 sin πn sin πn

8 8 n

所以 x[n]= ++ (1(1)) πnπn

方法二：将X(ejω)看成是两个函数X1(ejω)和X2(ejω)的叠加，X1(ejω)和X2(ejω)又可以，由看成是抽样函数X11(ejω)（W=6π/8）和X21(ejω)（W=2π/8）在频域上的压缩（2倍）时域扩展性质，等价于信号时域的扩展。由此得到结论。

6

sin πn

F 1 8

X11(ejω)← →x11[n]=

nπ

X1(ejω)=X11(ej2ω)

所以：

x[n/2]n为2的整数倍

x1[n]=x11(2)[n]= 11

0n不为2的整数倍

3 sin πn

8

= 2 n为2的整数倍

πn 0n不为2的整数倍

x2[n]依此类推，x[n]=x1[n]+x2[n]

4.7 已知~x[n]是周期为N的周期信号，x[n]是从~x[n]中任意截取一个周期所得到的非周期信号，假设~x[n]的傅里叶级数系数为ak，x[n]的傅里叶变换为X(ejω)，证明：

ak=

1

X(ejω)

2πNω=N

证明：

X(e

jω

)=

n= ∞

∑x[n]e jωn

1

=N

∞

1ak=

N

n=<N>

∑

2π jk n

~x[n]e N

n=<N>

∑

2π

jk n

x[n]e N

1=N

n= ∞

∑

∞

2π jk n

x[n]e N

=

1

X(ejω)

2πNω=k

N

证毕

4.8设X(ejω)是图4-33所示的x[n]的傅里叶变换，不经求出X(ejω)完成下列计算 （1）求X(ej0) （2）求∫

π

π

X(ejω)dω

（3）求X(ejπ) （4）求并画出傅里叶变换为ReX(ejω)的信号

{}

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dX(ejω)jω

（5）求∫X(e)dω （6）求∫dω

π πdω

π

2

π

2

解： （1）因为X(e

jω

)=

n= ∞∞

∑x[n]e jωn

∞

X(e

j0

)=

n= ∞

∑x[n]= 1+1+2+1+1+2+1 1=6

（2）因为x[n]=

1

2π

∫2πX(e

jω

)ejωndω

∫ πX(e

（3）X(e

jπ

π

jω

)dω=2πx[0]=4π

∞

)=

n= ∞

∑x[n]( 1)n=1 1+2 1 1+2 1+1=2

1

F

→（4）ReX(ejω)←

{}

x[n]+x[ n]

2

n -8 -7 -6-5 -4 -3-2-10 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 0 0 0

x[n] 0 0 0 0 0 -1

（5）由帕斯瓦尔定理

0 1 2 1 0 1 2 1 0 -1 0

x[-n] 0 -1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 -1

0 -1/2 0 1/2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 1/2 0 -1/2 0

∞

n= ∞

π

2

∑x[n]

∞

2

1

=2π

2

∫2πX(e

=28π

jω

)dω

2

∫ πX(e

jω

)dω=2π

n= ∞

F

∑x[n]

dX(ejω)

（6）由频域微分性质nx[n]← →j和帕斯瓦尔性质

dω

∫ π

π

∞

dX(ejω)2

dω=2π∑nx[n]=316π

dωn= ∞

2

4.9求习题4.1（1）、（2）、（4）所对应周期信号的傅里叶变换 解 （1）

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考试点

jπk

e2sin2kπ 3

ak= 6sinkπ

6

2

k=0

3

1≤k≤5

X(e

jω

)=2π

2π

akδ ω k N=6

N k= ∞

∑

∞

（2）

∞

2π 1 kπ2kπ jω

k N=6 2cosak= 1+4cos X(e)=2π∑akδ ω N6 33 k= ∞

（4）

x[n]=cos(

2πn2πn

)+sin()， 33

∞

2πn2π2π FTcos(← →π∑ δ(ω 2kπ)+δ(ω+ 2kπ) ，

333 k= ∞

2πnπFT

sin()← →

3j

2π2π

δ(ω 3 2kπ) δ(ω+3 2kπ) ，

k= ∞

∑

∞

∞

故有，X(e

jω

)=π

2π2π

(1j)δ(ω2kπ)(1j)δ(ω +++ 2kπ) ∑

33 k= ∞

4.10 利用傅里叶变换的性质，求下列信号的频谱 （1）

sin(πn/3)sin(πn/4)

； （2）(n+1)an u[n],a<1 πnπn

（3）如图4－34所示三角形脉冲

解： （1）

π

1ω<sin(πn/3)F

← →X1(ejω)= 3(一个周期内）πn 0else

π

sin(πn/4)F 1ω<jω

← →X1(e)= 4(一个周期内）πn 0else

矩形窗函数

矩形窗函数

由傅里叶变换得乘积性质：x[n] y[n]← →

F

1

2π

∫2πX(e

jθ

)Y(ej(ω θ))dθ

π 1ω< 412

ω 7sin(πn/3)sin(πn/4)F1ππ7πjθj(ω θ)

()()θω得：XeXed ← →= << 12

πnπn2π∫ π242π1212

7π

012<ω<π

（2）因为au[n]← →

nF

11 ae jω

dX(ejω)

,a<1 频域微分性质nx[n]← →j

dω

F

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考试点

1d F 1 ae jωnnn

(n+1)au[n]=nau[n]+au[n]← →j

dω

+

11 ae

jω

=

1 ae1

jω2

（3） 方法一：

E

N1<n≤0 N 1 E

y[n]=x[n] x[n 1]= 0<n≤N1

N1

0else y[n] y[n 1]=

2EEE

δ[n ( N1+1)] δ[n 1]+δ[n (N1+1)]

N1N1N1

F

由傅里叶变换的时域差分性质：x[n] x[n 1]← →(1 e jω)X(ejω) 所以：

ω jωN jN1 1EE FjN jNωω1 2+e1=e jω e2 e2 e jωey[n] y[n 1]← →(1 e jω)Y(ejω)=

N1N1

2

()

ω jωN jN1 1

e jω e2 e2

E jω

Y(e)=

jωN1(1 e)

2

y[n]=x[n] x[n 1]

Y(ejω)=(1 e jω)X(ejω)

2

ω jωNjN1 2122ee ω

sin(N1)

E E 1 jωjω2 =X(e)=Y(e)=

jω2 N1 ωN1 ω (1 e)sin( jj 222 e e

方法二：

本题应附加条件N1为偶数。

将序列x[n]表示为，x[n]=x1[n]*x1[n]，

EN n≤1－1

， 其中，x1[n]= N1 12

0 其它

FT

x1[n]← →X1(jω)=

E

N1 1

sin(

N1 1

ω)2， sin

ω2

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FT

→[X1(jω)]2=根据傅立叶变换的卷积性质有，x[n]←

E(N1 1)2

sin2(

N1 1

ω)。 2ωsin2

4.11已知x[n]为周期N，其傅里叶级数表示式为：x[n]=信号的傅里叶级数系数。

（1）x[n n0] （2）x[n] x[n 1] （3）x[n] x[n （4）x[n]+x[n+

N

（N为偶数，此时该信号周期为N/2） 2

N

] （N为偶数） 2

k=<N>

∑ake

2π jk n N

，试用ak表示下列

（5）x*[ n] （6）( 1)nx[n] (N为偶数) （7）( 1)nx[n] (N为奇数，此时该信号周期为2N) （8）y[n]= 解：

ak（1） 由傅里叶级数的时移性质：x[n]← →

Fs

x[n]n为偶数 0n为奇数

x[n n0]← → ake jk(2π/N)n0

Fs

（2） 由傅里叶级数的时域差分性质：

x[n]← → ak

Fs

x[n] x[n 1]← → (1 e jk(2π/N))ak

Fs

（3） 由傅里叶级数的时移性质和时域差分性质

jkNFs

x[n] x[n ]← → ak e

2

2πNN2

ak=1 ( 1)kak

()

（4） 由傅里叶级数的时移性质和时域差分性质

N

x[n]+x[n+]=

2

N 1k=0

∑ak[1+( 1)

k

]e

jk

2πnN

k

在上面的和式中，当变量k为奇数时，由于1+( 1)=0，故仅剩k为偶数的项， N

因此有，x[n]+x[n+=

2x[n]+x[n+

N 1k=0

2πjknN

N 12l=0

jl4πnN

∑ak[1+( 1)

k

]e

=2∑a2le

，

NN

]的周期为N2，其FS系数为2a2k，k=0,1,L, 1。 22

（5） 由傅里叶级数的共轭性质和时间反转性质

*x*[n]← → a a k k x[ n]← →

Fs

Fs

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*

x*[ n]← → ak

jN 2π

n2 N

Fs

（6） ( 1)nx[n]=e

x[n]，由傅里叶级数的频移性质

N2

( 1)nx[n]← → a

Fs

k

或者 ( 1)x[n]=( 1)

n

n

=

k=<N>

k=<N>

∑ake

j(k+

jk

2π

N

=

k=<N>

∑ak( 1)

a

(l

n

e

jl

jk

2πnN

∑ake

N2π)n2N

=

k=<N>N2

∑

Ne)2

2πN

( 1)nx[n]的FS系数为a

k

。

（7）

( 1)nx[n]，N为奇数，此时信号的周期为2N。

jk2πnN

jk1

=ae∑k2k=<2N>

2πnN

2πnN

x[n]=

k=<N>

∑ake

，

π

π

( 1)n

( 1)x[n]=

2

n

k=<2N>

∑ake

jk

j2knj(2k N)n1nN=1N， (1)=a eae∑∑kk

2k=<2N>2k=<2N>

FS

设( 1)nx[n]← →bk，则有b2k N=

ak

， 2

由于N为奇数，故2k N为奇数，( 1)nx[n]的FS系数bk的偶数项为零， 即当k为偶数时，有bk=0，而当k为奇数时，有bk= a(k+N)2

综上所述，可得，bk= 2k为奇数。

0 k为偶数

a(k+N)

2

。

1+( 1)n

（8）y[n]=x[n]，参照（6）（7）求解

2

0 n为奇数y[n]= ，

x[n] n为偶数

FS

设y[n]← → bk，由于y[n]=

1

x[n]+( 1)nx[n]， 2

12

{}

当x[n]的周期N为偶数时，有bk=(ak+ak N2)，

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1

2ak k为偶数

当x[n]的周期N为奇数时，有bk= 。

1

(ak+a(k＋N)2) k为奇数 2

4.12某一序列满足以下关系：

（1）x[n]为实偶信号； （2）x[n]有周期N＝10和傅里叶系数ak （3）a11=5 （4）∑x[n]=500

n=09

2

证明x[n]=Acos(Bn+C)，并确定常数A、B、C的值。 证明：

因为 x[n]是实偶信号 所以ak为实且偶

n=0

∑ak

9

2

192=x[n]=50 ∑10n=0

a11=5 a11=a1=a 1=a9=5

22

a1+a9=50 所以 a0=a2=L=a8=0

9

jk2π

n10

πj5

j9π5

πjn5

π jn+5e5

所以 x[n]=

k=0

∑ake

π5

=5e+5e=5e

π

=10cos n

5

A=10B=C=0

4.13 已知x[n]← →X(ejω)，利用傅里叶变换性质，用X(ejω)表示下列信号的频谱 （1）x1[n]=x[1 n]+x[ 1 n] （2）x1[n]=x[ n] cosω0nx*[ n]+x[n]

（3）x1[n]= （4）x1[n]=(n 1)2x[n]

2

0<ω<π

F

解：

（1）由x[ n]← →X(e jω) x[n n0]← →e jωnX(ejω)

所以x1[n]=x[1 n]+x[ 1 n]← →X(e jω)e jω+ejω=2cosωX(e jω) （2）由x[ n]← →X(e jω) x[n]cosω0n← →所以x1[n]=x[ n] cosω0n← →

F

F

F

F

F

F

F

()

1

X(ej(ω ω0))+X(ej(ω+ω0)) 2

()

1

X(e j(ω ω0))+X(e j(ω+ω0)) 2

F

()

（3）由x[ n]← →X(e jω) x*[n]← →X*(e jω)

x*[ n]+x[n]F1*jω

x1[n]=← →X(e)+X(ejω)=Re{X(ejω)}

22

[]

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dX(ejω)

（4）nx[n]← →j

dω

F

x1[n]=(n 1)x[n]=nx[n] 2nx[n]+x[n]← →

22F

d2X(ejω)dω2

dX(ejω) j2+X(ejω)

dω

4.14对于下面每一傅里叶变换，利用傅里叶变换的性质，确定是否对于时域信号①实、虚信号，或都不是；②偶、奇信号，或均不是 （1）X(e

jω

)=e

jω

k=1

∑sinkω （2）X(ejω)=jsin(ω)cos2ω

10

（3）X(ejω)=A(ω)+ejB(ω)，其中A(ω)满足A( ω)=A(ω)，且A(ω)为实值函数，

π 3

ω0≤ω≤ 2 B(ω)= 2

0π<ω≤π 2

解：

10 jω10 ** jω jω （1）x[n]← →X(e)=e∑sin( kω)= e∑sin(kω)= X(ejω)

k=1k=1

F

*

所以：x*[n]= x[n] x[n]为重虚数 或：频谱的实部为，ReX(e

[

jω

)=cosω∑sin(kω)，奇对称，

]

10

频谱的虚部为，ImX(ejω)= sinω∑sin(kω)，偶对称，

k=1

[]

k=1

10

x[n]为纯虚信号

又 X(e

jω

)=e

jω

k=1

∑sin( kω)= e∑sin(kω) 所以x[n]既不是奇信号，也不是偶信号。

k=1

10

jω

10

（2）X(ejω)=jsin(ω)cos2ω

x*[n]← →X*(e jω)=(jsin( ω)cos( 2ω))*=jsin(ω)cos(2ω)=X(ejω)

F

所以：x*[n]=x[n] x[n]为实数

又X(e jω)= jsin(ω)cos(2ω)= X(ejω) X(ejω)是奇函数且为重虚数 所以：x[n]为奇信号 或者：

频谱为虚奇对称，x[n]为实奇信号。 （3）X(ejω)=A(ω)+ejB(ω)

考试点是一个专注于考研辅导的在线教育网站,网站为广大考研学子及在职考研人士提供高清、海量、低价的高品质考研辅导课程。

x*[n]← →X*(e jω)=A( ω)+ejB( ω)

F

()

*

=A(ω)+e jB( ω)=A(ω)+ejB(ω)=X(ejω)

所以：x*[n]=x[n] x[n]为实数 又 X(e

jω

)=A(ω)+e

jB(ω)

=

3 A(ω)+e2

X(e

jω

)=A( ω)+e

jB( ω)

=

3ω

A(ω) e2

所以：x[n]既不是奇信号，也不是偶信号。 或者：

π 3

+≤ωπ 2B(ω)= 2， π 0 < ω≤π2

33π

A()-cosjsin +≤ωωω 222X(ejω)= ，

π A(ω) < ≤π2

频谱实部偶对称，虚部奇对称，x[n]为实信号，但非奇，非偶。

4.15

（1） 设x[n]和y[n]都是以N为周期的，它们的傅里叶级数系数分别为ak和bk，试证明离

散时间傅里叶级数的调制性质

x[n]y[n]← → ck 其中：ck=

Fs

l=<N>

∑albk l=∑blak l

l=<N>

（2） 利用调制性质，求下列信号的傅里叶级数表示，其中x[n]的傅里叶级数系数为ak：

∞

6πn

①x[n]cos ； ②x[n] ∑δ[n rN]

N r= ∞

（3） 如果x[n]=cos

πn 1n≤3

，y[n]的周期为12，且y[n]= 求信号x[n]y[n]的傅里叶304≤n≤6

级数的系数。

（4） 利用（1）的结果证明证明：

（1）

x[n]y[n]=

n=<N>

∑x[n]y[n]=N∑alb l

l=<N>

m=<N>

2πjkn

=albk leNl=<N>k=<N>

2π

jkn =albk l eN k=<N> l=<N>

l=<N>

∑ale∑

jl

2π

nN

∑bme

jm

2πnN

=

l=<N>m=<N>

∑∑albme

j(l+m)

2πnN

∑

m+l=k

∑∑

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所以 ck=l=<∑albk l

N>

（2）

① cos j 6πn 1 32πn j32πNn

N =2

eN+ b3=12b1

3=

2

c1

k=

k l=3+ak+3)

l=<∑blaN>

2(ak ∞

②

∑δ[n rN]← →Fs

bk=

1

N

r= ∞

ck=

b1

k l=

l=<∑alN>

Nl=<∑alN>

（3）x[n]=cosπn1 j22π12n j22π12n 3=2 e+e

a2=a 2=

1

2

b1∑y[n]e

jk

2πN

n=

1 k=

N

12 1+2cos

kπ6+2coskπ3+2coskπ

2

n=<N>

sin

7kπ

b=1k12 b=7 sink0

1212

ck=

albk l=a2bk 2+a 2b1

k+2=l=<∑N>

2(bk 2+bk+2)

=1 12 1 2coskπ2 coskπkπ 3+cos6

或 ck=

albk l=a2bk 2+a1

2bk+2=l=<∑N>

2(bk 2+bk+2)

7(k 2)π7(k+2)π

=1 sinsin24

(k 2)+(k+2)

sin12πsin12π

（4）证明

由（1）得k l

=1

l=<∑albN>

N

n=<∑x[n]y[n]e

jk

2πN

n

N>

令k=0

∑a1

lb l=l=<N>

N∑x[n]y[n]

x[n]y[n]=Nn=<N>

n=<∑N>

∑alb l

l=<N>

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于慧敏主编＜信号与系统＞第四章作业(P173－183) 习题解答

4.16-4.36

4.16确定下列信号中哪些信号得傅里叶变换满足下列条件之一 ① ReX(ejω)=0 ② ImX(ejω)=0 ③

{}

{}

∫ πX(e

π

jω

)ejωdω=0 ④ X(ej0)≠0

⑤ 存在一个实数a，使得X(ejω)ejaω是一个偶函数。 1 1

（1）x[n]= u[n] （2）x[n]=

3 3

n

n

（3）x[n]=δ[n 1]+δ[n+1] （4）x[n]=δ[n 1]+δ[n+3]

（5）x[n]=δ[n 2] δ[n+2] （6）x[n]如图4-35(a)所示 （7）x[n]如图4-35(b)所示 解：

条件① ReX(ejω)=0 表示x[n]的偶部条件② ImX(ejω)=0 表示x[n]的奇部条件③

{}

x[n]+x[ n]

为0，奇函数 2x[n] x[ n]

为0，偶函数 2

{}

∫ πX(e

j0

π

jω

)ejωdω=0 表示x[1]=0

∞

条件④ X(e)≠0 表示

n= ∞

∑x[n]≠0

条件⑤ 存在一个实数a X(ejω)ejaω是偶函数 表示y[n]=x[n＋a]为偶函数

n nn 1x[n]+x[ n]1 1 1 （1）x[n]= u[n] = u[n]+ u[ n] 不为零 22 3 3 3

1 1

[]xn== ∑∑ 3 1 1/3≠0 所以满足条件④ n= ∞n=0 1 （2）x[n]=

3

∞

∞n

∞∞

n

x[n] x[ n]

=0 满足条件② 2

n

2 1

∑x[n]=2∑ =≠0 满足条件④

31 1/3 n= ∞n=0

当a=0时，x[n+a]=x[n]为偶函数 满足条件⑤

（3）x[n]=δ[n 1]+δ[n+1]

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x[n] x[ n]δ[n 1]+δ[n+1] δ[ n 1] δ[ n+1]

==0 满足条件② 22

n= ∞

∑x[n]=∑(δ[n 1]+δ[n+1])=2≠0 满足条件④

n= ∞

∞∞

当a=0时，x[n+a]=x[n]为偶函数 满足条件⑤

（4）x[n]=δ[n 1]+δ[n+3]

n= ∞

∑x[n]=∑(δ[n 1]+δ[n+3])=2≠0 满足条件④

n= ∞

∞∞

当a=－1时，y[n]=x[n+a]=δ[n 2]+δ[n+2]为偶函数 满足条件⑤ （5）x[n]=δ[n 2] δ[n+2]

x[n]+x[ n]δ[n 2] δ[n+2]+δ[ n 2] δ[ n+2]

==0 满足条件① 22x[1]=0 满足条件③

（6）

n= ∞

∑x[n]≠0 满足条件④

∞

x[n]为偶函数，满足条件（2）

当a=2时，y[n]=x[n+a]为x[n]左移两个单位，为偶函数，满足条件⑤ （7）

x[n]+x[ n]

=0 满足条件① 2

当a=1或－1时，y[n]=x[n+a]为x[n]左/右移一个单位，为偶函数，满足条件⑤

或者：

本题中所给信号均为实信号，故频谱一定满足：实部偶对称，虚部奇对称。 （1）ReX(e

[

jω

)=0，信号x[n]应为实奇信号，

]

信号⑤x[n]=δ[n 2] δ[n+2]以及信号⑦满足该条件； （2）ImX(e

[

jω

)=0，信号x[n]应为实偶信号，

n

]

信号②x[n]=3，信号③x[n]=δ[n 1]+δ[n+1]，以及信号⑥满足该条件；

（3）

∫π

π

X(ejω)ejωdω=0，

1

由于x[n]=

2π

∫πX(e

π

jω

)ejωndω，该条件即为x[1]=0，

信号⑤x[n]=δ[n 2] δ[n+2]满足该条件； （4）X(e)≠0，

j0

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X(e)=

jω

n= ∞

∑x[n]e

n

∞

jωn

，此条件即为X(e)=

n

j0

n= ∞

∑x[n]≠0，

∞

信号①x[n]=3u[n]，信号②x[n]=3，信号③x[n]=δ[n 1]+δ[n+1]，

信号④x[n]=δ[n 1]+δ[n+3]，以及信号⑥满足该条件； （5）存在整数a，使得X(e

jω

)ejaω是偶函数，

FT

jω

根据时域平移性质有x[n+a]← →X(e若X(e

jω

)ejaω，

)ejaω是偶函数，则X(ejω)ejaω一定还是实函数（由于x[n+a]是实信号），

即x[n+a]为实偶信号，或者x[n]经过平移以后可以成为实偶信号。 信号②x[n]=3

n

，信号③x[n]=δ[n 1]+δ[n+1]，

信号④x[n]=δ[n 1]+δ[n+3]，信号⑥以及信号⑦满足该条件；

4.17 借助于表4-1和表4-3，当X(ejω)为

3

ωsin 2 +3πδ(ω) π<ω≤π

ω sin 2

X(ejω)=

11 e jω

求x[n]

解：由累加性质

11 e

jω

X(e

jω

)+πX(e

j0

)

k= ∞

→∑x[k] ∑δ(ω 2πk)←

k= ∞

∞

F 1

n

3

ω 1n≤1F 1← →x1[n]= ω0n1> sin2

sin

3ω2lim=3 ωω→0

sin

2

sin

0n< 1

所以：x[n]=∑x1[n]= n+2n≤1

k= ∞

3n>1

n

4.18设某信号x[n]的频谱为X(ejω)且已知以下条件：

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（1）x[n]=0，n>0 （2）x[0]>0 （3）ImX(e求x[n] 解

{

jω

)=sinω sin2ω （4）∫

}

π

π

X(e

jω

)dω=6π

2

n= ∞

∑

∞

x[n]

2

=

12π

2π

∫

X(ejω)dω=

2

6π

=3 2π

由ImX(ejω)=sinω sin2ω得 X(ejω)=A+ejω ej2ω

X(ejω)=A+ejω ej2ω← →x[n]=Aδ[n]+δ[n+1] δ[n+2]

F 1

{}

由

n= ∞

∑x[n]

∞

2

=A2+1+1=3 x[0]＝A>0

得A=1

所以：x[n]=δ[n]+δ[n+1] δ[n+2]

4.19

π sin n

4 sinωcn

（1） 设y[n]= ，其中ωc≤π，试确定ωc得取值范围，以保证 πn πn

π sin n

4

y[n]=

πn

22

π sin n sinωn

4 π c （2） 设y[n]= cos n ，重新回答（1）得问题，以确保 πn 2 πn

π sin n

π 4

y[n]= cos n

πn 2

解：

π π sin n ≤1ω sin(ωcn)F4 F 1ω≤ωc4← →X2(ω)= x2[n]= x1[n]=← →X1(ω)=

ππnπn0ω<ω≤π c 0 <ω≤π 4

x1[n] x2[n]← →X1(ejω)X2(ejω)

F

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π

ωA≤ 1 F2jθj(ω θ)

()()θ（1）2[n]=x2[n] x2[n]← →2(ejω)= XeXed= 22∫π2π2π 0<ω≤π

2 vF

y[n]← →X2(ejω)X1(ejω)

π sin n v4 vF

=x2[n]，必须使y[n]← →X2(ejω)，即X1(ejω)中的ωc满足 为了使 y[n]=

πn

2

π2

<ωc≤π

π sin n ππ (ω )(ω+) jj4π1 F jω22)+X(e) ，作图得 （2）2[n]= cos n ← →2(e)= X(eπn2 2

π

≤0ω 4

3π 1π

2(ejω)= <ω≤

244

3π

04<ω≤π

x2[n]=

sin(πn4)

的频谱X2(ejω)≠0的范围为ω<π4， πn

πn

的频谱2(ejω)≠0的范围为π4<ω<3π4， 2

2[n]=x2[n]cos

π sin n

4 π F

cos n =2[n]，必须使y[n]← →2(ejω)，即X1(ejω)中的ωc满为了使y[n]= πn 2

足

3π

<ωc≤π 4

4.20 设图4-36(a)所示的频谱X(ejω)的原信号为x[n]，试用x[n]表示图4-36中其他频谱所对应的信号。 解：

（1）X1(ejω)= 所以x1[n]= 或者：

1

X(ej(ω π))+X(ej(ω+π)) 2

()

1jπn

ex[n]+e jπnx[n]=( 1)nx[n] 2

()

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X1(ejω)=X(ej(ω π))，故有x1[n]=x[n]ejnπ=( 1)nx[n]

（2）X2(e

jω

πdX(ejω))=2dωdX(ejω)

nx[n]← →j

dω

F

所以 x2[n]= j

π

nx[n] 2

（3）X3(ejω)=X(ejω)+X2(ejω)

所以 x3[n]=x[n] j

π

nx[n] 2

（4）X4(ejω)=X(ejω)+X1(ejω) 所以 x4[n]=x[n]+( 1)nx[n] （5）X5(ejω)=X(ejω) X2(ejω)

所以 x5[n]=x[n]+j或者：

X5(ejω)=X3(e jω)，故有x5[n]=x3[ n]=(1+j

nπ

)x[ n] 2

π

nx[n] 2

4.21 已知x[n]← →A(ω)+jB(ω)，其中A(ω),B(ω)都为实值函数。试用x[n]表示对应于变换为Y(ejω)=B(ω)+A(ω)e jω的时间信号y[n] 解：由题意知xe[n]← →A(ω)

y[n]= jxo[n]+xe[n 1]=

F

F

xo[n]← →jB(ω) xe[n 1]← →A(ω)e jω

F

F

j

(x[n] x[ n])+1(x[n 1]+x[ n+1]) 22

4.22 考虑一离散时间信号x[n]，其傅里叶变换如图4－37所示，试画出下面连续时间信号 （1）x1(t)=

n= ∞

∞

∑x[ n]ejnt； （2）x2(t)=∑x[ n]e

n= ∞

∞

∞∞

2π j nt 8

（3）x2(t)=

n= ∞

∑x[n]e

2π j nt 10

（4）x2(t)=j2ωπ

ω≤

π2

n= ∞

∑Re{x[n]}e

2π j nt 4

2ωπ

π2

2+ Fjω

解：x[n]← →X(e)=

0

X(e

jω

π

<ω≤π2

jω

2 F jω

x[ n]← →X(e)=

0

jω≤

π

<ω≤π2

)=

n= ∞

∑x[n]e

∞

jωn

X(e)=

n= ∞

∑x[ n]e jωn

∞

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（1）x1(t)=或者：

n= ∞

∑x[ n]ejnt

∞

=X(ejω)

ω=t

令t= ω，可得x1( ω)=

n= ∞

∑x[ n]e jnω，即x1( ω)为序列x[ n]的DTFT，

∞

x1(ω)应为x[n]的DTFT，因此x1(t)如图所示。

（2）x2(t)=或者：

令t=

x2(

n= ∞

∑x[ n]e

∞

2π j nt 8

=X(ejω)

ω=

2πt8

∞

4ω4ω8ω

，可得x2( =∑x[ n]e jnω，即x2( )为序列x[ n]的DTFT， 2πππn= ∞

4ω

π

)应为x[n]的DTFT，因此x2(t)如图所示。

（3）x2(t)=或者：

n= ∞

∑x[n]e

∞

2π

j nt 10

=X(ejω)

ω=

2π10

∞

5ω5ω10ω

，可得x3( )=∑x[n]e jnω，即x3( )为序列x[n]的DTFT， 令t= 2πππn= ∞

因此x3(t)如图所示。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6da1.html