2010四川

2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（理工农医类）

第Ⅰ卷

一、选择题：

（1）i是虚数单位，计算i?i?i?

（A）－1 （B）1

（C）?i

（D）i

23（2）下列四个图像所表示的函数，在点x?0处连续的是

（A）

（B）

（C）

（D）

（3）2log510?log50.25?

（A）0

2（B）1 （C） 2 （D）4

（4）函数f(x)?x?mx?1的图像关于直线x?1对称的充要条件是

（A）m??2

（B）m?2

（C）m??1

（D）m?1

????2????????????????（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC?16,?AB?AC???AB?AC??则

??????AM??

（A）8

（B）4

（C） 2 （D）1

（6）将函数y?sinx的图像上所有的点向右平行移动

?个单位长度，再把所得各点的横10坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是

（A）y?sin(2x??10) )

（B）y?sin(2x??5) )

（C）y?sin(x?12?10（D）y?sin(x?12?20

（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱

原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为

（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 （B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 （C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 （D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱

（8）已知数列?an?的首项a1?0，其前n项的和为Sn，且Sn?1?2Sn?a1，则liman?

n??Sn （A）0 （B）

1 （C） 1 （D）2 2x2y2（9）椭圆2?2?1(a?b??)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在

ab点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是

（A）??0,??2?? 2?（B）?0,?

?2??1?（C） ??2?1,1?

（D）?,1?

?1??2?（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是

（A）72

（B）96 （C） 108

（D）144

（11）半径为R的球O的直径AB垂直于平面?，垂足为B，BCD是平面?内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是

?17（A）Rarccos

2518（B）Rarccos

25（C）?R

4（D）?R

152A O M13?BNDC（12）设a?b?c?0，则2a?11??10ac?25c2的最小值是 aba(a?b)

（A）2 （B）4

（C） 25 （D）5

2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（理工农医类）

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． （13）(2?16)的展开式中的第四项是__________． 3x（14）直线x?2y?5?0与圆x2?y2?8相交于A、B两点，则?AB??________． （15）如图，二面角??l??的大小是60°，线段AB??．

?B?l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面?所成

?A??的角的正弦值是_________．

B（16）设S为复数集C的非空子集．若对任意x,y?S，都有x?y,x?y,xy?S，则称S

为封闭集。下列命题：

①集合S??a?bi? （a,b为整数，i为虚数单位）为封闭集； ②若S为封闭集，则一定有0?S； ③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足S?T?C的任意集合T也是封闭集． 其中真命题是_________________ （写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶

16盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．

（18）（本小题满分12分）

已知正方体ABCD?A???C?D?的棱长为1，点M是棱AA?的中点，点O是对角线BD?的中点．

（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA?和BD?的公垂线； （Ⅱ）求二面角M?BC??B?的大小； （Ⅲ）求三棱锥M?OBC的体积． （19）（本小题满分12分）

D?A?M?DAC?B??OCB （Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C???:cos(???)?cos?cos??sin?sin?； ②由Ca??推导两角和的正弦公式Sa??:sin(a??)?sinacos??cosasin?.． （Ⅱ）已知△ABC的面积S?（20）（本小题满分12分）

已知定点A(?1,0),F(2,0)，定直线l:x?1，不在x轴上的动点P与点F的距离是2?????1???AB?AC2?3，且cosB?，求cosC．

35它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线

AB、AC分别交l于点M、N

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由． （21）（本小题满分12分）

已知数列?an?满足a1?0,a2?2，且对任意m,n?N*都有

a2m?1?a2n?1?2m?n?1?2(m?n)2

（Ⅰ）求a3,a5；

（Ⅱ）设bn?a2n?1?a2n?1????(n?N*)证明：?bn?是等差数列；

（Ⅲ）设cn?(a2n?1?an)qn?1(q?0,n?N*)，求数列?cn?的前n项和Sn． （22）（本小题满分14分）

1?ax(x)设f(x)?（a?0且a?1），gx1?a是f(x)的反函数．

（Ⅰ）设关于x的方程loga

t?g(x)在区间?2,6?上有实数解，求t的取

(x2?1)(7?x)

值范围；

2?n?n2 （Ⅱ）当a?e（e为自然对数的底数）时，证明：?g(k)?；

2n(n?1)k?2n （Ⅲ）当0???

1时，试比较?2?f(k)?n?与4的大小，并说明理由．

k?1n参考答案

一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。 1—6：ADCACC 1—12：BBDCAB

二、填空题：本题考查基础知识和和基本运算。每小题4分，满分16分。 （13）?

160

x

（14）23

（15）

3 4（16）①②

三、解答题

（17）本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考

查运用所学知识与方法解决实际问题的能力。

解：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么

P(A)?P(B)?P(C)?

1,61525P(A?B?C)?P(A)P(B)P(C)??()2?.66216答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是

25????（6分） 216 （Ⅱ）?的可能取值为0，1，2，3。

15P(??k)?C34()k()3?k,k?0,1,2,3. 66所以中奖人数?的分布列为?

P

0 1 2 3

125 21625 725 721 216

E??0?12525511?1??2??3??????（12分） 21672722162.（18）本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知

识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。 （Ⅰ）连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK。

因为点M是棱AA?的中点，点O是BD?的中点， ∥ = 1所以AM DD? ∥ OK =

2所以MO ∥ AK =

AA??AK,得MO?AA?,

因为AK?BD,AK?BB?,所以AK?平面BDD?B?,所以AK?BD?. 所以BO?BD?.又因为OM与z异面直线AA?和BD?都相交,

故OM为异面直线AA?和BD?的公垂线。??（4分）

（Ⅱ）取BB?的中点N,连结MN,则MN?平面BCC?B?,

过点N作NH?BC?于H,连结MH,

则由三垂线定理得，BC??MH.

. 从而，?MHN为二面角M?BC??B?的平面角

122??.224 MN1在Rt?MNH中,tanMHN???22.NH24MN?1,NH?BNsin45??故二面角M?BC??B?的大小为atctan22.????????（9分）

（Ⅲ）易知，

S?DBC?S?OCB,且?OBC和?OA?D?都在平面BCD?A?内,点O到平面MA?D?

1的距离h?.

2VM?OBC?VM?OA?D??VO?MA?D??解法二

11SΔΔA?D?h?.????（12分） 324

以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz,

（Ⅰ）因为点M是棱AA?的中点,点O是BD?的中点,

所以M(1,0,),O(,12111,,), 222

11OM?(,?,0),AA??(0,0,1),BD??(?1,?1,1)2211OM?AA??0,OM?BD?????0?0,22所以OM?AA?,OM?BD?, 又因为OM与异面直线AA?和BD?都相交,故OM为异面直线AA?和BD?的公垂线. ??????（4分）

（Ⅱ）设平面BMC?的一个法向量为n1?(x,y,z).

1BM?(0,?1,),BC??(?1,0,1),

2

1???n?BM?0,?y?z?0,??1即 2????n1?BC??0,???x?z?0.取z?2,则z?2,y?1,从而n1?(2,1,2).取平面BC?B?的一个法向量为n2?(0,1,0),

cos(n1?n2?n1?n2n1?n2?1?.9?131

由图可知,二面角M?BC??B?的平面角为锐角.

故二面角M?BC??B?的大小为arccos1.??????（9分） 3 （Ⅲ）易知，S?OBC?112SΔCDA???1?2?. 444

设平面OBC的一个法向量为n1?(x1,y1,z1),BD??(?1,?1,1),BC??(?1,0,0)

??n1?BD??0,??x1?y1?z1?0,即? ??x?0.??n3?BC?0.?1取z1?1,则y1?1,从而n3?(0,1,1). 点M到平面OBC的距离

1BM?n11d??2?.

222n311211VM?ABC?SΔOBC?d????.??????（12分）

3342224

（19）本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及

运算能力。

解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角a,?与??,使角a的始边

为Ox,交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角?的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，

角??的始边为OP2，终边交⊙O于点P4。

则P,0),P2(cosa,sina), 1(1P3(cos(a??),sin(a??),P4(cos(??),sin(??).

由P1P3?P2P4及两点间的距离公式,得 [cos(a??)?1]2?sin2(a??)?[cos(??)?cosa]2?[sin(??)?sina]2展开并整理，得2?2cos(a??)?2?2(cosacos??sinasin?).

?cos(a??)?cosacos??sinasin?.????（4分）

②由①易得，cos(?22?a)?sina,sin(?2?a)?cosa. ?a)?(??)]

sin(a??)?cos[??(a??)]?cos[(?2

?cos(?a)cos(??)?sin(?a)sin(??) 22?sinacos??cosasin?.?sin(a??)?sinacos??cosasin?.????（6分）

11bcsinA?. 22??

（Ⅱ）由题意，设?ABC的角B、C的对边分别为b、c，则S?

AB?AC?bccosA?3?0,?A?(0,),cosA?3sinA.2

?10310

又sinA?cosA?1,?sinA?,cosA?.101034由题意cosB?,得sinB?.5522

?cos9(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?10. 1010.????（12分） 10

故cosC?cos[??(A?B)]??cos(A?B)??（20）本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法

及推理运算能力。

解：（Ⅰ）设P(x,y),则

1(x?2)2?y2?2x?,

2y2?1(y?0).??????（4分） 化简得x?32

（Ⅱ）①当直线BC与x轴不生直时，设BC的方程为y?k(x?2)(k?0).

y2?1联立消去y得 与双曲线方程x?32(3?k2)x2?4k2x?(4k2?3)?0,由题意知,3?k2?0且??0.

4k24k2?3

设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1?x2?2x1x2?2,k?3*k?3y1y2?k2(x1?2)(x2?2)?k2[x1x2?2(x1?x2)?4]

4k2?38k2?k(2?2?4)k?3k?3

2?9k?2.k?32

因为x1,x2??1.

所以直线AB的方程为y?

y13y21(x?1),因此M点的坐标为(,,x1?122(x1?1)

3y23FM?(??.22(x2?1)3y23同理可得FN?(?,),22(x2?1)

因此FM?FN?(?)?(?)?32329y1y2

4(x1?1)(x2?1)

?81k229k?3??2 4 4k?34k24(2?2?1)k?3k?3?0②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x?2,则B(2,3),C(2,?3), AB的方程为y?x?1,因此M点的坐标为(,),FM?(?同理可得FM?FN?(?)?()?(?)?综上，FM?FN?0,即FM?FN.

故以线段MN为直径的圆过点F。??????（12分）

132233,). 223232323?0, 2（21）本小题主要考查数列的基础知识和化归，分类整合等数学思想，以及推理论证、分析

与解决问题的能力。

解：（Ⅰ）由题意，令m?2,n?1可得a3?2a2?a1?2?6. 再令m?3,n?1可得a5?2a3?a1?8?20.??????（2分）

当n?N*时,由已知(以n?2代替m)可得 （Ⅱ）a2n?1?a2n?1?2a2n?1?8

于是[a2(n?1)?1?a2(n?1)?1]?(a2n?1?a2n?1)?8即

bn?1?bn?8.

所以，数列?bn?是公差为8的等差数列.??????（5分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）的解答可知?bn?是首项b1?a3?a1?6,公差为8的等差数列.

则bn?8n?2,即

a2n?1?a2n?1?8n?2.

另由已知（令m?1)可得，

an?a2n?1?an?(n?1)3 2a2n?1?a2n?1?2n?1

2

那么，an?1?an?

8n?2?2n?1 2?2n?于是，cn?2nqn?1

当q?1时,Sn?2?4?6???2n?n(n?1). 当q?1时,Sn?2?q6?4?q4?6?q2???2n?qn?1 两边同乘q可得

qSn?2?q2?4?q2?6?q2???2(n?1)?qn?1?2n?qn.

上述两式相减即得

(1?q)Sn?2(1?q1?q2???qn?1)?2nqn 1?qn =2??2nqn

1?q1?(n?1)qn?nqn?1 =2?

1?q

nqn?1?(n?1)qn?1所以Sn?2?

(q?1)2?n(n?1)?(q?1)?综上所述，Sn??nqn?1?(n?1)qn?1

2?,(q?1),????(12分)?(q?1)2?

（22）本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分

类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力。

解：（Ⅰ）由题意，得a?ny?1?0, y?1

故g(x)?logx?1ax?1,x?(??,?1)?(1,??).

由logtx?a(x2?1)(7?x)?log1ax?1得

t?(x?1)2(7?x),x?[2,6]则t???3x2?18x?15??3(x?1)(x?5).

列表如下：

x

2 （2，5） 5 （5，6） t?

＋ 0 － t

5

极大值

所以t最小值?5,t最大值?32

所以t的取值范围为[5，32]????????????（5分） （Ⅱ）

?ng(k)?1n1?23n?1 n?231n4?1n5??1nn?1?1n(123n?

3?14?5???n?1)??1nn(n?1)

2??1nz2?1?z2令u(z)1z??21nz?z?z,z?0,

则u?(z)??2?1?112zz2?(1?z)?0.

所以u(z)在(0,??)上是增函数.又因为n(n?1)2?1?0,所以n(n(n?1)2)?n(1)?0n(n?1)却1n21?2n(n?1)?n(n?1)?0, 2?ng(k)?2?n?n2即????(9分n?22n(n?1))

6 25

11?n2,则p?1,1?f(1)??1??31?p1?nn2当n?1时,f(1)?1??2?4.p （Ⅲ）

设n?当n?2时,(1?p)k?12设k?2,k?N*时,则f(k)??1?(1?p)k?1(1?p)k?1

?1?2 2222nC4P?C4P???C4P所以1?f(k)?1?n2444?1??1??12k(k?1)kk?1C4?C4444??n?1??n?1. 2n?1n?1

从而n?1??f(k)?n?1?n?2n所以n??f(k)?f(1)?n?1?n?4n?1

综上，总有

??(k)?n?4.??????????????（14分）

n?1n

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