2012 GCT数学复习资料 - 矩阵和行列式

2012 GCT数学复习资料——矩阵和行列式

矩阵和行列式

1. 在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量?a1,a2,???an?称为行向量；垂直方向排列的数组成的

?b1???b2??称为列向量；由m个行向量与n个列向量组成的矩阵称为m?n阶矩阵，m?n阶矩向量

????????bn??51?1??阵可记做Am?n，如矩阵??为2?1阶矩阵，可记做A2?1；矩阵36??3??23?阵，可记做A3?3。有时矩阵也可用A、B等字母表示。

21382128??36为3?3阶矩?28??2. 矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m?n阶矩阵Am?n中的第i（i?m）行第j?51?（j?n）列数可用字母aij表示，如矩阵36??23?21382128??36第3行第2个数为a32?21。 ?28???000?3. 当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如??为一个2?3阶零

000??矩阵。

4. 当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n行（列），

?51?可称此方阵为n阶方阵，如矩阵36??23?21382128??2??36、3???28???43?21m??4均为三阶方阵。在一个n阶??n??0100??0为3阶单位矩阵。 ?1??方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为

?1零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵??0?10???为2阶单位矩阵，矩阵?01??0?5. 如果矩阵A与矩阵B的行数和列数分别相等，那么A与B叫做同阶矩阵；如果矩阵A与矩阵

B是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵B叫做相等的矩阵，记为A?B。

?2x?3y?mz?1?6. 对于方程组?3x?2y?4z?2中未知数x,y,z的系数按原来的次序排列所得的矩阵

?4x?y?nz?4??2?3??4?3?21m??2??4，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵3???4??n??3?21m4?n1??2叫做方程组的增广?4??Page 1 矩阵。

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7. 转置矩阵: 把m?n矩阵A的行与列依次互换得到另一个n?m矩阵，称为A的转置矩阵。记

作AT

转置矩阵的性质： 1）(A)?A

2）(A?B)?A?B 3）(kA)?kA 4）(AB)?BA

8. 矩阵的三种变换

①互换矩阵的两行；

②把某一行同乘（除）以一个非零的数； ③某一行乘以一个数加到另一行。

变换幻的目的是将线性方程阻系数矩阵变为单位矩阵，其扩充矩阵的最后一列就是方程组的解。 9. 矩阵的加法、减法及乘法运算

（1）矩阵的和（差）

当两个矩阵A，B的行数与列数分别相同时，将它们对应位置上的元素相加（减）所得到的矩

阵称为矩阵A，B的和（差）， 记作：A?B(A?B)； 加法交换律：A?B?B?A；

加法结合律：(A?B)?C?A?(B?C)

（2）矩阵与实数的积

设?为任意实数，把矩阵A的所有元素与?相乘得到的矩阵叫做矩阵A与实数?的乘积矩阵，记作：?A

TTTTTTTTTT?A?B???A??B ；(???)A??A??A（?,?为实数）

结合律：????A????A?????A?（?,?为实数）

分配律：?（3）矩阵的乘积

一般，设A是m?k阶矩阵，B是k?n阶矩阵，设C为m?n矩阵

如果矩阵C中第i行第j列元素Cij是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积，那么C矩阵叫做A与B的乘积.记作：C?AB

分配律：A(B?C)?AB?AC，(B?C)A?BA?CA 结合律：??AB????A?B?A??B?，?AB?C?A?BC?

注：交换律不成立，即AB?BA

10. 二阶行列式的有关概念及求二元一次方程组的解法：

?a1x?b1y?c1设二元一次方程组（*）?

?a2x?b2y?c2（其中x,y是未知数，a1,a2,b1,b2是未知数的系数且不全为零，c1,c2是常数项）

用加减消元法解方程组（*）:

c1b2?c2b1?x??a1b2?a2b1?当a1b2?a2b1?0时，方程组（*）有唯一解：?，

?y?a1c2?a2c1?a1b2?a2b1?Designed by Sammon Lin

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引入记号

a1a2b1b2表示算式a1b2?a2b1，即

a1a2b1b2?a1b2?a2b1；

从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等。 记D?a1a2b1b2a1a2，Dx?c1c2b1b2，Dy?a1a2c1c2，

①则当D?b1b2?a1b2?a2b1?0时，方程组（*）有唯一解，

Dx?x???D可用二阶行列式表示为?；

Dy?y??D?②当D?0时, Dx?Dy?0 无穷组解；

③当D?0时, Dx?0,or系数行列式D?Dy?0 无解。

a1a2b1b2也为二元一次方程组解的判别式。

11. 三阶行列式

（1）三阶行列式的展开方法： ①对角线方式展开

a1a2a3a11a21a31b1b2b3a12a22a32c1c2?a1b2c3?a2b3c1?a3b1c3?a1b3c2?a2b1c3?a3b2c1 c3a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31 a33②按某一行(或列)展开法

?a11a22a32a23a33?a12a21a31a23a33?a131?1a21a31a22a32

记M11?a22a32a23a33a22a32，A11?(?1)M11；M12?a21a31a23a33，A12?(?1)1?2M12；

M13?a21a31，A13?(?1)1?3M13 。

称M1j为元素a1j的余子式，即将元素a1j所在的第一行、第j列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称A1j为元素a1j的代数余子式，

1?jA1j?(?1)M1j(j?1,2,3)。

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a11则三阶行列式就可以写成D?a21a12a22a32a13a23?a11A11?a12A12?a13A13； a33a31这就是说，一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。上式称为三阶行列式按第一行展开的展开式。类似地，若将D按别的行或列的元素整理，同样可得行列式按任一行(列)展开式。 （2）三阶行列式的性质

① 行、列依次对调,行列式的值不变，即

a1a2a3a1a2a3a1a2a3000b1b2b3b1b2b3kb1kb2kb3b1b2b3c1c3c1c3c1c3c1c3b1?eb2b3a1c1a3a1a2b2c3b3b2b1a3b3 c3c3c2 c1c1c2 c3c1c2?0 c3a1?a2a3b1b2b3c1c3deb2b3fc2 c3c2?b1② 两行（或两列）对调，行列式的值变号，例如

c2??a2③ 某行（或列）所有元素乘以数k，所得行列式的值等于原行列式值的k倍，例如

a1a3kb1kb3c1?fc2c3b1b2b3b1b2b3c2?ka2④ 某两行（或两列）的元素对应成比例，行列式的值为零，例如

c2?0，kb2⑤ 某行（或列）的元素都是二项式，该行列式可分解为两个行列式的和,例如

a1?da2a3c2?a2a3⑥ 某行（或列）的所有元素乘以同一个数，加到另行(或列)的对应元素上，行列式的值不变，例如

a1a2a3b1?kc1b2?kc2b3?kc3c1c3a1a3b1b2b3c1c2 c3c2?a2性质：如果将三阶行列式的某一行（或一列）的元素与另一行（或一列）的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零。

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12. 用三阶行列式求三角形的面积：若?ABC三个顶点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，

则S?ABC12x1x2x3y1y2y311 1x1A、B、C三点共线的充分必要条件为x2y1y2y311?0 1x313. 三元一次方程组的解法

?a1x?b1y?c1z?d1?设三元一次方程组 （*）?a2x?b2y?c2z?d2，其中x,y,z是未知数，ai,bi,ci,(i?1,2,3)?ax?by?cz?d333?3是未知数的系数，且不全为零，di(i?1,2,3)是常数项。 下面用加减消元法解方程组（*）：

a1我们把方程组（*）的系数行列式记为D?a2b1b2b3c1c2，用D的元素a1,a2,a3的代数余子式c3a3A1,A2,A3依次乘以方程组（*）的各方程，得

?a1A1x?b1A1y?c1A1z?d1A1??a2A2x?b2A2y?c2A2z?d2A2 ?aAx?bAy?cAz?dA333333?33 将这三个式子相加，得：

(a1A1x?a2A2?a3A3)x?(b1A1?b2A2?b3A3)y?(c1A1?c2A2?c3A3)z?d1A1?d2A2?d3A3

其中式中x的系数恰为（*）的系数行列式D。

由于y与z的系数分别是D的第一列元素的代数余子式的乘积之和，因此y与z的系数都为零．

d1式中的常数项可表示为 Dx?d2b1b2b3c1c2 c3d3于是上试可化简为D?x?Dx；

类似地，用D的元素b1、b2、b3的代数余子式B1、B2、B3依次乘以方程组（*）的各方程，可推得D?y?Dy；用D的元素c1、c2、c3的代数余子式C1、C2、C3依次乘以方程组（*）的各方程，可推D?z?Dz，其中

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a1Dy?a2a3d1d2d3c1c3a1a3b1b2b3d1a2 d3c2 Dz?a2?D?x?Dx?由方程组?D?y?Dy

?D?z?Dz?可见， 对于三元一次方程组（*），其系数行列式为D。 Dx?x??D?Dy?（i）当D?0时，方程组（*）有唯一解?y?

D?Dz?z??D?（ii）当D?0时，方程组（*）无解，或者有无穷多解，

?x?y?z?1?例如，方程组?x?y?z?3 无解；

?x?y?z?5??x?y?z?1?x?y?z?1??而方程组?3x?3y?3z?3，和?x?2y?z?3有无穷多解。

?5x?5y?5z?5?2x?3y?2z?4??性质：

（1）线性方程组的系数行列式D?0,则它唯一解。 （2）Cramer定理的逆定理是

推论: 如果线性方程组无解或解不唯一，则它的系数行列式必为零。 （3）定理

①齐次方程组一定有零解。即xi?0,i?1,2,?,n

②齐次方程组有唯一零解的充分必要条件是它的系数行列式不为零； ③齐次方程组有非零解得充分必要条件是它的系数行列式为零。

【例题解析】

例1：设 ???10?1?，A???，求An

TT?1???T解：???(1 0 ?1)0?2

????1???A?(??)?????????????(??)Tn?1nTnTTTT??(??)(??)?(??)?

TTTT???T?2n?1A

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? 1??1????A? 0?1 0 ?1??0?????1???1????0?例2：设A?1??0??0?2解：?A?1??0??A?E?A20044000?1??1?nn?1?0?A?20????11???000?1??0 ?1???100?10020040??0，求A2004?2A2 ??1??0??0??01????1???04501?100?E5010???1??0 ?0????0?1???E

0?100??0 ?1??0300??0 ??1???(A)?A?1?2?2A?0??0?0100???1??0?20???01???0?100??3??0?0???1???0Designed by Sammon Lin

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