简谐势阱中中性原子非线性

简谐势阱中中性原子非线性 薛定谔方程的定态解

闫珂柱 谭维翰

给出了非线性定态薛定谔方程(NLSE)数值求解的一般方法，并求解了简谐势阱中中性原子NLSE的基态和激发态解.讨论了NLSE的波函数收敛与归一化问题，并对计算精度进行了分析.

1 引言

近几年来，玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)成为物理学的一个热点，这源于1995年三种碱金属原子(铷(87Rb)，钠(23Na)，锂(7Li))气体凝聚实验的实现［1—3］.它为这样一类体系特性的理论描述并提供了实验检验的基础.Einstein最早提出中性原子的凝聚是指自由中性原子在动量空间的凝聚，而上述三种碱金属原子的凝聚则是通过激光冷却、蒸发冷却磁阱中的原子而观察到的，其中铷与钠的散射长度a为正，当原子靠得很近时，表现出排斥作用，对于实现稳定的凝聚态是有利的，而锂原子的散射长度a为负，不利于实现稳定的凝聚态.有关的实验现象为对在势阱中中性原子实现BEC进行更为广泛而深入的理论探索提供了可能.情形确是如此，几乎与此同时就有关于磁阱中中性原子所满足非线性薛定谔方程

［4］

(NLSE)，即Gross-Pitaevskii方程定态解的研究，稍后不久又有NLSE非定态解的研究［5］，这些本应成为BEC研究的基础，但初步看来，该文似乎存在下一节中将提到的一些问题，计算步骤也的确复杂些.实际上文献［6］作者也已指出文献［4］的“方法不妥，结果可疑”.还有另外一个重要方面，即现在发表的NLSE的解主要是基态，对激发态则很少有报道，从全面理解BEC的形成和发展过程，对基态研究固然重要，对激发态研究也是不可缺少的，这对凝聚态的稳定性研究有重要意义.本文给出了求解NLSE的方法，讨论了NLSE波函数的收敛与归一化问题，并求解了简谐势阱中中性原子的NLSE的基态和激发态解，并对计算精度进行了分析.

2 NLSE与数值求解方法

在绝对温度T=0，稀薄玻色子气体的平均场理论是：凝聚体系的波函数满足Gross-Pitaevskii方程，即NLSE.对简谐势阱中的中性原子，这个方程有如下形式［4］：

(1)

式中 Ψ(r,t)为BEC波函数，m为单原子质量，ωT为简谐势角频率，N为凝聚体

的原子数，

反映原子-原子间的相互作用，a为散射长度.

为求定态解，设可得Ψ(r)满足的方程为

(μ为体系的化学势)，代入(1)式，

(2)

对球对称的s波函数，方程(2)可以简化，采用没有相互作用情形简谐振子基态长度单位

和谐振子能量单位

进行归一化，令

(3)

注意到

(4)

式中

(5)

与文献［5］的非线性常数一致.于是由(2)—(4)式得

(6)

归一化条件为

(7)

式中各量均为无量纲的，而(1)式中NU0等也包含在参量中.当

时，(6)式

就是简谐振子方程，其本征值考虑到在x→0附近应为有限的，n只能取奇数，n=1,3,5,7,?,n=1为基态，n=3,5,7，?为激发态.若不为零且给定后，β就是定态NLSE(6)的本征值，它的取值应能保证：(i)当x→∞时，Φ(x)→0;(ii)当x→0时，Ψ(x)∝示为

(8)

在实际数值求解(6)式时，将它写为两个一阶方程：

是有限的.在x→0附近，Φ(x)可表

(9)

参照(8)式得边值条件为 (i) 当x→∞时

(10)

(ii) 在x→0附近

(11)

当Φ′(0)给定后，就可按Runge-Kutta方法由x=0到x→∞进行积分，若β选择不当，当x→∞时，方程(9)的积分是发散的，只有当β选择恰当时，才会使Φ(x)在x→∞时收敛于零.还要注意到，即使Φ(x)在x→∞时收敛于零，这时的Φ(x)也不一定满足归一化条件(7)式，为了满足归一化条件，还要适当选择边界值Φ′(0)；Φ′(0)与β并不存在文献［4］给定的关系式

(这里NA2γ即我们方程中的参量)，因为解Φ(x)在

x→∞处收敛于零并满足归一化条件就已将Φ′(0)与β完全确定了，就不可能

满足如文献［4］给定的上述关系.

3 基态解

利用前面的方法计算了基态波函数和基态能量(本征值β1)，在实际计算中非线性参数的取值范围为0.1—150，略大于文献［5］的取值范围0.1—100.计算精度为eps=10-4，按(10)和(7)式，即

(12)

(13)

基态波函数的数值结果如图1所示，横坐标以谐振子基态长度为单位.可以看出：基态波函数的分布随的增大逐渐变宽为超高斯型，对=100进行数值拟合，其基态波函数近似为

此时的波函数宽度为4.5谐振子基态长度单位.

按文献［2］给出的实验参数，对Na原子，m=3.841×10kg，ωT=2π×235s，则谐振子长度单位为0.96μm，凝聚原子的实际空间分布为

2×0.96×4.5≈10μm，按文献［2］给出的势阱体积10-8cm3，可算出阱的大小为(10cm)≈20μm，二者可以比拟.基态能量随的变化曲线如图2所示，当增大，即凝聚体的原子数增多时，其体系的单粒子本征能量随之增大，这是凝聚原子之间的排斥作用的反映.

-8

3

1/3

-26

-1

图1 非线性常数分别为0.1，1，5，10，25，50，100，150

的BEC基态波函数(按宽度增加的顺序)

图2 基态能量随非线性常数的变化

现在分析文献［4］的算法，他们所用的边界值是

而本文的Φ′(0)是作为数值求解的调整参数使波函数归一化得到的，为了与文献［4］的结果进行比较，图3给出对每一个非线性参数求得

的定态解的Φ′(0)与的关系曲线.很明显，当很大时，，

文献［4］的公式Φ′c(0)可用，但当较小时，远远偏离于1，

Φ′c(0)不可用.若用了Φ′c(0)，则波函数不可能达到归一化.

图3 边界值Φ′(0)随非线性常数的变化---为本文计算中使用的边

界值Φ′(0)，

...

为文献［4］边界值——为二者之比

现在就文献［4］图1的参数进行实例计算，比较本文的与Edwards Burnett(简称E.B.)的计算方法.按本文的方法，根据图2的β与关系曲线及进一步的计算可得，当β=4.3时，

=34.372365，波函数Φ(x)随x的变化如图4中实线所示，满足归一化

按E.B.方法，

数在x为很大时收敛，求得

及波函

=20.33642，波函数Φc(x)随x的变化见

图4中虚线，不满足归一化条件，而

但这只是E.B.方法的第一步，即找出

(N0,A0,r)，为了归一化，E.B.将Ψ0修改为

即文献［4］(4.9)式，于

是

(14)

按(5)式，代入(14)式是满足的.波函数

在图4中用点划线表示，与我们求得的Φ(x)重合.由此看出E.B.方法引用不适当的边界条件

没有达到归一化，而在第二步中得到修正.很明显

E.B.方法通过计算一个参数为N0的系统，反求得参数为N1的系统的解，即求解用到的参数N0并非实际系统的参数N1，而N1在计算完成之前是未

知数.若N1给定，则需计算许多N0去试探，看哪一个与实际要求的N1相近，而选择该N0试探中的对应解.本文的方法是从实际系统出发求本系统的解，即根据给定的N1由(5)式求出，然后在波函数满足归一化及在x为很大时收敛两个条件下求解方程(9)，直接得出本征值β及相应的波函数，故不存在上述问题.

图4 本征值β=4.3的BEC基态波函数---为Φ(x)， ---为Φc(x)，—.—为

(与实线重合)

4 激发态解

用同样的方法对球对称的激发态作类似的计算，对于不同的非线性常数分别求得n=3,5,7,9,11,13的激发态解Φn(x)和βn.图5给出非线性常数分别为0.1，1，5，10，25，50，100，150的n=3的BEC激发态波函数，除有一个节点外，与基态波函数类似，其分布随的增大逐渐变宽.图6给出=100，n=3,5,7,9,11,13的BEC激发态波函数，都

具有超高斯分布特征，节点数为图7给出n=3,5,7,9,11,13的激

发态能量βn随的变化，各能级的本征能量随增大而增大，但在相同条件下，不同激发态能级与前一能级之差不同，随能级升高，增量变小，如图8所示.图8给出n=3,5,7,9,11,13的激发态能量βn与前一能

级β

n-2

之差随的变化关系.可近似地表示为Δβn=βn-β

n-2

=2-α/n0.8，

α与有关，当=150时，α=1.19.

图5 非线性常数分别为0.1，1，5，10，25，50，100，150

的n=3的BEC激发态波函数(按宽度增加的顺序)

图6 非线性常数=100,n=3,5,7,9,11,13的BEC激发态波函数(按Ψ(0)值由小

到大的顺序)

图7 n=3,5,7,9,11,13的激发态能量βn随非线性常数的变化(按自下而上的

顺序)

图8 n=3,5,7,9,11,13的激发态能量βn与前一能级β

下而上的顺序)

n-2

之差随的变化(按自

为了达到给定的求解精度eps=10-4，对Φ′(0)精度调整到10-4—10-5就能满足波函数归一化的精度要求(13)式.而要满足(12)式，对βn调整精度要更高，且随所选x→∞的边界值的增大而变高，因为的增大和激发态的升高都会使波函数分布逐渐变宽.例如基态的实际计算中随的增大选取边界值x=8—10，而对n=13的激发态随的增大选取边界值x=11—12.波函数的收敛性对本征值βn和边值Φ′(0)的依赖性随的

增大变得越来越敏感，亦即较小，例如当<10时，较容易调整βn使积分收敛满足(12)和(13)式，但当>50时，对βn的调整就须更精细，才能达到收敛.

5 结论

本文用一般的方法求解了简谐势阱中中性原子的NLSE基态和激发态解.计算了基态和激发态的能量本征值βn，边值Φ′(0)及空间分布.讨论了参数Φ′(0)，β的确定与积分收敛及波函数归一化的关系.为进一步研究凝聚体的统计性质、光学激发等提供重要依据.

*

国家自然科学基金(批准号：69778011)资助的课题.

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant No.69778011).

作者单位：上海大学物理系，上海 201800

［1］M.H.Anderson et al.,Science,269(1995),198. ［2］K.B.Davis,M.O.Mewes,M.R.Andrews et al.,Phys.Rev.Lett.,75(1995),3969.

［3］C.C.Bradley,C.A.Sackett,J.J.Tollett et al.,Phys.Rev.Lett.,75(1995),1687.

［4］M.Edwards,K.Burnett,Phys.Rev.,A51(1995),1382. ［5］P.A.Ruprecht,M.J.Holland,K.Burnett et al.,Phys.Rev.,A51(1995),4704.

［6］郝柏林，物理学进展，17(1997)，223 ［Hao Bai-lin,Progress in Physics,17(1997),223(in Chinese)］.

1998年6月18日收到；1998年11月24日收到修改稿

Received 18 June 1998; revised manuscript received 24 November

1998

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6cz8.html