概率试题一及答案

《概率论与数理统计》试题一 一 二 三 题号 总分 2 3 4 5 分数 30 30 1 8 8 8 8 8 100 得分 阅卷人 一、单项选择题（每小题3分,共30分）

1．设P(A?B)?a,P(A)?b,P(B)?c则P(AB)等于 （ ）．

(A)(a?c)c (B) a?b?c (C) a?b?c?1 (D)a?b?c?1

2．设离散型随机变量X,Y相互独立，其联合分布律如下表，则（ ）．

X Y 1 2 3

1

16 ? 118

2

123

9 ?

(A)??1,??1(B)??111312999,??18(C)??18,??18(D)??9,??9 23．设随机变量X的概率密度为f(x)?1exp{?(x?3)，

2?4},???x??则Y?（ ）服从N(0,1).

(A)

X?3X?32 (B)

X?32 (C)

2 (D)

X?32

4． 设X1,X2,?,Xn是总体N??,?2?的一个样本，S2为样本方差，则统计量T?X??0Sn服从（ ）．

(A)T~t(n?1) (B) T~N(0,1) (C) T~t(n) (D) T~?2(n?1) 5．设样本X1，X2，X3是来自总体X，E(X)存在，问C=（ ）时，

CX11?25X2?6X3是E(X)的无偏估计量？

(A) ?1330 (B)730 (C)1330 (D) ?730

6．袋中有10个球，其中有4个红球，6个白球，从中取两次, 每次随机取一个，作不放回抽样，则第二次取得白球的概率是 （ ）．

(A)

3/ 5 (B)2/ 5 (C)1/ 5 (D) 1/6.

7．如果X，Y相互独立，则（ ）．

(A)D(XY)?D(X)D(Y) (B)D(X?3Y)?D(X)?3D(Y) (C)D(3X?2Y)?9D(X)?4D(Y) (D)D(3X?2Y)?9D(X)?4D(Y)

8．设随机变量X的概率密度为

?x, 0?x?1f(x)???2?x,1?x?2， 则P{X?1.5}? ( ) ．

??0 , 其它 (A)0.75 (B)0.875 (C) 1.875 (D) 0.375

9．设总体X服从正态分布N(?0,?2)，其中?2未知，X1，X2，?,Xn是取自总体 X 的一个样本，样本观测值为x1,x2,?,xn。对假设:

为来自总体的样本，则参数?的矩估计量是 ． 7．设二维随机变量的联合概率密度为

?A(x?y),0?x?1,0?y?2 f(x,y)?? , 则A=_________． ． H0:???0;H1:???0，取显著性水平?，则检验的拒绝域是（ ）0，其它?(A){t?u?2}

(B) {t?t?2(n?1)}(C) {t?t?2(n?1)} (D) {t?u?2}

10. 设X1，X2，?,Xn是取自正态总体N(?,?2) 的样本，样本方差为S2，则统计量

(n?1)S2?2服从（ ）．

(A) ?2分布 ；(B) 正态分布 ；(C) t分布 ； (D)F 分布

二、填空题（每小题3分，共30分）

1． 10 张奖券中有2张有奖的，5个人购买，每人一张，其中至少有一个人中奖的概率是__ __ 。

2．设X~N(1,2)，Y~N(1,3)，且X与Y相互独立，则3X?2Y~ ． 3．设随机变量?服从指数分布，参数??________时，?(?2)?18。 . 4设A，B，C是三个随机事件，且有A?B,A?C，P(A)?0.9，

P(B?C)?0.8，则P?A?BC?? _______．

5．设随机变量X与Y相互独立，且E(X)?3,E(Y)?4，D(X)?D(Y)?2， 则E[(X?Y)2]= ．

6．设总体X服从均匀分布U[?,??1]，??0为未知参数，X1，X2，

?,Xn 8．设随机变量X的数学期望E(X)??,D(X)??2，试用切比雪夫不等式估计P{X???4?}? ．

9．已知随机变量?与?的方差D(?)?9,D(?)?16，相关系数????0.5,则

D(???)= ．

10．设离散型随机变量X的概率分布律为P{X?k}?A3kk!(k?0,1,2,?)，

则常数A= ． 三、计算题（每小题8分，共40分） １． 已知离散型随机变量X的分布律为

X -1 0 1 2 3 p 1/3 1/6 1/6 1/12 1/4

求Y?(X?1)2的分布律及P{?1?X?2}。

2． 设某产品的合格率为80% ，检验员在检验时合格品被认为合格的概

率为97%，次品被认为合格的概率为2%，若一产品通过了检验，求该产品确为合格品的概率。

3. 设某种电子管的使用寿命X服从正态分布N(?,?2)，从中随机抽取容量为16的样本，测得样本均值x?1950小时，样本标准差S＝300小时，求?的置信度为0.95的置信区间。 附：（t0.05(16)?1.7459，t0.025(16)?2.1199，t0.05(15)?1.7531，

t0.025(15)?2.1315）

4．假设某砖厂生产的砖的抗段强度服从正态分布N(?,?2)，已知方差

?2?1.21，今从产品中随机抽取

4块，测得抗段强度值为

32.66，29.85，31.64，30.61

试检验这批砖的平均抗段强度是否为32.50。(??0.05)

ux2附：标准正态分布表： ?(u)??1e?2dx?P{U?u}

??2?u 2 3 4 5 6 7 1.6 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 1.9 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756

5．设A，B为两个随机事件,且P(A)?

14，P(B|A)?13，P(A|B)?12

A发生，B发生，?1,?1,令X?? Y??

0，A不发生，0，B不发生.??求 (1) 二维随机变量(X,Y)的概率分布； (2)Z?X?Y的概率分布。

P(AB2)?0.02， …………….. (2分)

《概率论与数理统计》试题一答案

一、单项选择题（每小题3分，共30分） 题号 答案 二、填空题（每小题3分，共30分） 题号 答案

三、计算题（每小题8分，共40分） １．解：

表格中每个数

分） …………….. (4分)

P{?1?X?2}?P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}?512所求概率为P(B1A)

由贝叶斯公式

1 C 2 A 3 C 4 A 5 B 6 A 7 D 8 B 9 C 10 A P(B1A)?P(B1)P(AB1)P(B1)P(AB1)?P(B2)P(AB2) ………

…….. (4分)

?0.8?0.970.8?0.97?0.2?0.02 ………

1 792 N(1,30) 3 134 0.7 5 53 6 X?127 388 15/16 …….. (6分) 9 10 ?0.99 即若一产品通过了检验，则该产品确为合格品的概率为113 ?0.99。 e 3 …………….. (8分) 3．解：由题中条件知，，则有

X??Sn~t(n?1)，

?的置信度为1??下的置信区间为

Y p 0 1/12 1 5/12 4 1/6 9 1/3 1

s(X?t?/2(n?1)n,X?t?/n?(2s1)n ) ……………..〔2分〕

.， 0置

……

信度

1???9?5?%n? x? ?05t0.025(15)?2.1315

………

……..〔5分〕

2．解：A={产品检验合格}，B1 ={产品合格}， B2 ={产品不合格} 故电子管平均使用寿命?的置信度为95%的置信区间为 ……….. (8分) 则

P(B1)?0.8，

P(B2)?0.2，

P(AB1)?0.97，

?SSZ?的概率分布为： ?X?t?,X?t??nn?22 ? z p 0 1 2 2/3 1/4 1/12

300300????1950?2.1315?,1950?2.1315? ?1616??…..〔8分〕

即

(1790.14,2109.86) ……………..〔8分〕

5．解： P(AB)?P(A)P(B|A)?112，P(B)?112P(AB)P(A|B)?16

于是P{X?1,Y?1}?P(AB)?

16P{X?1,Y?0}?P(AB)?P(A)?P(AB)?P{X?0,Y?1}?P(AB)?P(B)?P(AB)?112

23

P{X?0,Y?0}?P(A?B)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?P(AB)]?

或 P{X?0,Y?0}?1?112?16?112?23

量(X,Y)的概率

二维随机变分布

y x 0 1 0 1 23112

16112 …………..〔5分〕

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