《实变函数》试卷一与参考答案

考 学院第 学年度第 学期 《实变函数》试卷一 生专业_________班级________ 姓名 学号 题号 得分 一 答二 三 四 五 总分 题注 意 事 项 1、本试卷共6页。 2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。

得 分 不 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A）limAn???Ak; （B）limAn???Ak; ????得n??n?1k?n??n??n?1k?n?（C）limAn???Ak; （D）limAn???Ak; n??n?1k?nn??n?1k?n?2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ） 超（A）P? c (B) mP?0 (C) P?P (D) P?P 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测 '?此4、设?fn(x)?是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A）若fn(x)?f(x), 则fn(x)?f(x) (B) sup?fn(x)?是可测函数 n（第1页，共9页） 线 （C）inf?fn(x)?是可测函数;（D）若fn(x)?f(x),则f(x)可测

n5、设f(x)是[a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) f(x)在[a,b]上有界 (B) f(x)在[a,b]上几乎处处存在导数 （C）f(x)在[a,b]上L可积 (D) 得 分

二. 填空题(3分×5=15分)

1、(CsA?CsB)?(A?(A?B))?_________

2、设E是?0,1?上有理点全体，则E=______,E=______,E=______.

''?baf'(x)dx?f(b)?f(a)

o3、设E是Rn中点集，如果对任一点集T都有

_________________________________，则称E是L可测的

4、f(x)可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设f(x)为?a,b?上的有限函数，如果对于?a,b?的一切分划，使_____________________________________________________,则称f(x)为

?a,b?上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举

得 分 反例说明.(5分×4=20分)

1、设E?R1，若E是稠密集，则CE是无处稠密集。

2、若mE?0，则E一定是可数集.

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3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数。

4．设f(x)在可测集E上可积分，若?x?E,f(x)?0，则?f(x)?0

E

得 分 四、解答题（8分×2=16分）.

?x2,x为无理数1、（8分）设f(x)?? ，则f(x)在?0,1?上是否R?可积，是否L?1,x为有理数?可积，若可积，求出积分值。

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2、（8分）求lim?n?0ln(x?n)?xecosxdx n

得 分 五、证明题（6分×4+10=34分）.

1、（6分）证明?0,1?上的全体无理数作成的集其势为c.

（第4页，共9页）

2、（6分）设f(x)是???,???上的实值连续函数，则对于任意常数

a,E?{x|f(x)?a}是闭集。

3、（6分）在?a,b?上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差。

4、（6分）设mE??,f(x)在E上可积，en?E(|f|?n)，则limn?men?0.

n

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