幂零矩阵性质及应用

幂零矩阵性质及应用

数本041 严益水 学号：410401109

摘要：

幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。

关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识

（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）

（一） 一些概念

1、令A为n阶方阵，若存在正整数k，使Ak?0，A称为幂零矩阵。 2、若A为幂零矩阵，满足Ak?0的最小正整数称为A的幂零指数。

?a11?a1n??a11?an1?????3、设A??????，称A???????为A的转置，

?a??a??1n?ann??n1?ann??A11?An1??? 称A*??????为A的伴随矩阵。

?A?A?nn??1n其中Aij(i,j?1,2,??,n)为A中元素aij的代数余子式

4、设A为一个n阶方阵，A的主对角线上所有元素的和称为A的迹，记为trA。

5、主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。 6、形为

??0??0???1???0??J(?,t)????????

??00??0???00?1????的矩阵称为若当块，其中?为复数，由若干个若当块组成和准对角称为若当形矩阵。

7、f(?)??E?A称为矩阵A的特征多项式。满足f(?)??E?A?0的?的值称为矩阵A的特征值。

8、次数最低的首项系数为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式。

（二）、一些引理

*引理1：设A，B为n阶方阵，则?AB???B?A?,?AB??B*A*

引理2：f(?)??E?A,mA(?)分别为矩阵A的特征多项式和最小多项式，则

有f(A)?0,mA(A)?0。

引理3：每一个n阶的复矩阵A都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若

当块的排序外被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形。

引理4：若当形矩阵的主对角线上和元素为它的特征值。 引理5： n阶复矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A和最小多项式无重根。引理6：相似矩阵具有相同的特征值。

引理7：设?1,?2,?,?n为n阶矩阵A的特征值，则有trA??1??2????n，

A??1?2????n，且对任意的多项式f(x)有f(A)的特征值为f(?1),f(?2),?,f(?n)。

?a???1??的最小多项式为(x?a)k且有引理8：k阶若当块Jk????????1a??k。 (Jk?aE)?0引理9：矩阵匠最小多项式就是矩阵A的最后一个不变因子。

引理10：A，B为n阶复数域上的矩阵，若AB?BA，则存在可逆矩阵T，使得

??1?T?1AT??????2???1????T?1BT????????n???2????。

????n?引理11：任意n阶A，B方阵，有tr(AB)?tr(BA)。

二、 幂零矩阵的性质

（下面的性质来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社、《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社、《关于幂零矩阵性质的探讨》 谷国梁 铜陵财经专科学校学报、《幂零矩阵的性质及应用》 韩道兰 罗雁 黄宗文 玉林师范学院学报并综合归纳得出关于幂零矩阵的十一条性质） 性质1：A为幂零矩阵的充分必要条件是A的特征值全为0。 证明：? ?A为幂零矩阵 ??k?Z? s.tAk?0

令?0为A任意一个特征值，则???0,s.tA???0? 由引理7知，?0k为Ak的特征值 ????0s.tAk???0k? 从而有?0k=0即有?0?0

k 又有Ak?0，知0?Ak?A?A?0

k ?0*E?A??A?? (1)A??(k?1)?00 ??0?0为A的特征值。

由?0的任意性知，A的特征值为0。 ??A的特征值全为0

?A的特征多项式为f(?)??E?A??n 由引理2知，f(A)?An?0 所以A为幂零矩阵。 得证 性质2：A为幂零矩阵的充分必要条件为?k?Z?证明：??A为幂零矩阵，由性质1，知：

A的特征值全为0 即?1??2????n?0 由引理7，知 Ak的特征值为?1k??2k????nk?0

trAk?0。

从而有 trAk??1k??2k????nk?0

?由已知，?k?Z?trAk??1k??2k????nk?0(1.1)

令?1,?2,??,?t为A的不为0的特征值 且?i互不相同重数为ni(i?1,2,??,t)

由（1.1）式及引理7，得方程组

?n1?1?n2?2???nt?t?0?222n??n????n??01122tt??333?n1?1?n2?2???nt?t?0?????n1?1t?n2?2t???nt?tt?0? (1.2)

由于方程组（1.2）的系数行列式为

B??1?2??t?12?22??t2??1??1?2??t1?1??2???1?t?1t?2t????tt?1t?2t????tt

??1?2??t?(?i??j)1?j?i?t又?i(i?1,2,??t)互不相同且不为0，?B?0

从而知，方程（1.2）只有0解，即ni?0(i?1,2,??,t)

即A没有非零的特征值

?A的特征值全为0， 由性质1，得 A为幂零矩阵 得证

性质3：若A为幂零矩阵，则A的若当标准形J的若当块为幂零若当块，且J

和主对角线上的元素为0

证明：A为幂零矩阵， 由性质1，知 A的特征值全为0 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T，使得

?J1?AT?????J2??????Js? T?1

??i???1??阶数为n(i?1,2,?,s) 其中Ji??i??????1?i?? 由引理4，知?i(i?1,2,?,s)为J和特征值

又A与J相似，由引理6，知A与J有相同的特征值 所以?i?0(i?1,2,?,s) 即J的主对角线上的元素全为0 由引理8，知 (Ji?0?En)i?J(ini)?0i?(?1,2s,

J1,J2,??,Js为幂零矩阵 得证

性质4：若A为幂零矩阵，则A一定不可逆但有A?E?1,E?A?1 证明：?A为幂零矩阵，??k?Z? s.t

kAk?0

?0?Ak?A?A?0 A一定不可逆

由性质1，得 A的特征值为?1??2????n?0 由引理7，得

A?E,E?A的特征值分别为

?????n??0?1?1,???1????2????n????1?0 1 ?1???2且有A?E??1??2?????n??1n?1 E?A??1???2??????n???1n?1

即A?E?1,E?A?1 得证 性质5：若A?E为幂零矩阵，则A非退化 证明：令?1,?2,??,?n为A的特征值 若A退化，则有 A?0

由引理7，得 A??1?2?????n?0 ?至少存在?i0=0为A的特征值

又由引理7，得 ?i0?1?1?0为A?E的一特征值

?1又?T可逆 T?0 A?B??2????1?2????n

?n??1??1由TAT??????2????知?,?,??,?为A的特征值

12n????n?由引理7，得 A??1?2????n 从而得证 A?B?A??1?2????n

3、A为n阶方阵，求证A?B?C，B可对角化，C为幂零矩阵且BC?CB 证明：由性质3，知

存在幂零矩阵N，使得A?N可对角化

??1? 即存在可逆T，使得 T?1(A?N)T???????2????D ????n? 即有A?TDT?1?(?N)

由性质11，知 N幂零矩阵则-N也幂零矩阵 又TDT?1与D相似，?TDT?1可对角化

令B?TDT?1 C??N，则有A?B?C

?1 B?TDT可对角化 C??N为幂零矩阵

又?D为对角阵

?BC?TDT?1C?TT?1DC?DC?CD?CDTT?1?CTDT?1?CB 得证 4、A，B，C为n阶方阵，且AC?CABC?CBC?AB?BA，证明：存在

自然数k?n,s.tCk?0

证明：由于AC?CABC?CBC?AB?BA，

??m?Z?Cm?Cm?1(AB?BA)?Cm?1AB?Cm?1BA?A(Cm?1B)?(BCm?1)A?A(Cm?1B)?(Cm?1B)A

由引理11，得 tr(A(Cm?1B))?tr((BCm?1)A)

tr(Cm)?tr(A(Cm?1B)?(BCm?1)A))?tr(A(Cm?1B))?tr((BCm?1)A)?0 由性质2，得 C为幂零矩阵

由性质9，知 ?k?n,s.tCk?0 得证

5、在复数域上，n阶方阵A相似于对角阵等价于对于A的任一特征值?，有

A??E 与(A??E)2的秩相同。

证明：?因为A对角化，则存在可逆矩阵T，使得

??1?AT????? T?1?2??? ????n?从而有

??1???T?1(A??E)T????????2???????n???2

?(?1??)?T?1(A??E)2T??????(?2??)2??????2?(?n??)?

所以T?1(A??E)T与T?1(A??E)2T相同

即A??E 与(A??E)的秩相同

2 ?由于在复数域上，存在可逆矩阵T 使得

?J1??1 TAT?????J2??????Js?

??i???1??阶数为n(i?1,2,?,s) 其中Ji??i??????1?i??若Ji(i?1,2,?,s)不全为对角阵，则不妨令J1不可对角化，且有ni?1，

有

?0???1??J1?En1????????10?? ?0?

??0???2?(J1?En1)??1??????????100???从而知J1?En1的秩大于(J1?En1)2的秩，即有T?1(A??E)T的秩大于

T?1(A??E)2T的秩

也即A??E 的秩大于(A??E)2的秩，这与已知矛盾

所以所有Ji(i?1,2,?,s)为对角阵，从而得证A相似于对角阵

（三）、幂零矩阵在求逆的应用

（例题来自《幂零矩阵性质的一个应用》 姜海勤 泰州职业技术学院学报）

1、可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆

?46?15???例 A??13?5? 求A?1

?12?4????46?15??36?15??100???????解：A??13?5???12?5???010??B?E

?12?4??12?5??001????????36?15??? 其中B??12?5?

?12?5????36?15??36?15?????2且有 B?BB??12?5??12?5??0

?12?5??12?5??????100??36?15???2?615????????1?1?A?(B?E)?E?B??010???12?5????1?15?

?001??12?5???1?26???????2、主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆

??xy0?00??0xy?00???例 A????????? 求A?1??000?xy?

??000?0x??n?n解

??xy0?00???0xy?0??100?00??0??010?00???0?0?A??????????x????????y???000?xy??????00?10??????000?0x???0?000?01???0?0?xE?yJn

??010?00??001?00??其中Jn?????????? 且有n??000?01?Jn?0

??000?00??A?1?(xE?yJ?1?E?Jn?J2n????(?1)nJn?1nn)xx2x3xn?n?1?1?yn?1y?2?(? ?xx?1)xnn? ???01?2?(?1)n?2y??n??0x0?x1?????00?1??x???3、可表为若当块的幂的矩阵和逆

?1aa2?an????01a?an?1??例 A???????? 求A?1 ??00a??1??00?01??n?n10?01????00?00?00?00?????01??00???1??0解：A?????0??0?0??0其中Jn?????0??0aa2?an??n?11a?a?2n?12n???????E?aJn?aJn????aJn 0?1a??0?01?10?00??10??01?00??01?????? E??????00?01??00??00?00?n?n?000?00??0?00??????

?0?10??0?01?n?n00??00????

?1?a???01??????010?00??1?a0????001?00??01?aA?1?E?aJn?E?a????????????????0?000?01??00???0?000?00??00 希望通过上面的总结对幂零矩阵有一定的认识。

参考文献：

1、《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社 2006.5 2、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组

高等教育出版社 2003.4

3、《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社 2005.1 4、《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社 2004.4 5、《关于幂零矩阵性质的探讨》 谷国梁 铜陵财经专科学校学报

2001年第4期

6、《幂零矩阵的性质及应用》 韩道兰 罗雁 黄宗文 玉林师范学院学报

2003年第4期

7、《幂零矩阵性质的一个应用》 姜海勤 泰州职业技术学院学报 2004年2月

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6cph.html