2013年高考文科数学山东卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(山东卷)

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

2 i 2

1．(2013山东，文1)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝( )．

i

A．25 B

．5 D

2．(2013山东，文2)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且＝( )．

A．{3} B．{4} C．{3,4} D．

(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩

3．(2013山东，文3)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x＋

2

1

，则f(－1)＝( )． x

A．2 B．1 C．0 D．－2

4．(2013山东，文4)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如下图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )．

A

．8

8

B

．3

8

C

．，3

D．8,8

5．(2013山东，文5)函数f(x)

的定义域为( )． A．(－3,0] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1] 6．(2013山东，文6)执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )．

A．0.2,0.2 B．0.2,0.8 C．0.8,0.2 D．0.8,0.8

7．(2013山东，文7)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b

，则c＝( )．

A

．．2 C

．1 8．(2013山东，文8)给定两个命题p，q．若 p是q的必要而不充分条件，则p是 q的( )．

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

9．(2013山东，文9)函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为( )．

10．(2013山东，文10)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示： 则7个剩余分数的方差为( )．

11636

A．9 B．7 C．36 D

．

x212

11．(2013山东，文11)抛物线C1：y＝x(p＞0)的焦点与双曲线C2： y2 1的右焦点的连线交

32p

C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝( )．

A

．16 B

．8 C

．3 D

．3

12．(2013山东，文12)设正实数x，y，z满足x－3xy＋4y－z＝0.则当最大值为( )．

2

2

z

取得最小值时，x＋2y－z的xy

99

A．0 B．8 C．2 D．4

第2卷(共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．(2013山东，文13)过点(3,1)作圆(x－2)＋(y－2)＝4的弦，其中最短弦的长为__________．

2

2

2x 3y 6 0,

14．(2013山东，文14)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组 x y 2 0,所表示的区域上一

y 0

动点，则|OM|的最小值是__________． 则实数t的值为__________．

16．(2013山东，文16)定义“正对数”：lnx＝ ①若a＞0，b＞0，则ln(a)＝blna；

＋＋＋

②若a＞0，b＞0，则ln(ab)＝lna＋lnb； ③若a＞0，b＞0，则ln

＋＋

＋

15．(2013山东，文15)在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝(－1，t)，OB＝(2,2)．若∠ABO＝90°，

0,0 x 1,

现有四个命题：

lnx,x 1,

b＋

＋

a ＋＋

≥lna－lnb； b

＋

＋

④若a＞0，b＞0，则ln(a＋b)≤lna＋lnb＋ln 2.

其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号)

三、解答题：本大题共6小题，共74分．

17．(2013山东，文17)(本小题满分12分)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)

2

及体重指标(

(1)从该小组身高低于

(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．

18．(2013山东，文18)(本小题满分12分)设函数f(x)

sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为

(1)求ω的值； (2)求f(x)在区间 π,

π. 4

3π

上的最大值和最小值． 2

19．(2013山东，文19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点． (1)求证：CE∥平面PAD；

(2)求证：平面EFG⊥平面EMN

.

20．(2013山东，文20)(本小题满分12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足

bb1b21

n 1 n，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn. a1a2an2

2

21．(2013山东，文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋bx－ln x(a，b∈R)． (1)设a≥0，求f(x)的单调区间；

(2)设a＞0，且对任意x＞0，f(x)≥f(1)．试比较ln a与－2b的大小．

22．(2013山东，文22)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2

，离心率为(1)求椭圆C的方程；

(2)A，B为椭圆C上满足△AOB

的面积为

. 2

的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.4

设OP＝tOE，求实数t的值．

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(山东卷)

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：C 解析：z 2． 答案：A

解析：∵(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}． 又∵B＝{1,2}，∴A一定含元素3，不含4. 又∵＝{3,4}，∴A∩3． 答案：D

解析：∵f(x)为奇函数，

＝{3}．

4 4i 13 4i

4 3i，所以|z|

5.故选C. ii

∴f(－1)＝－f(1)＝ 1 ＝－2.

4．

答案：B

解析：由正(主)视图数据可知正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高也是2，如图：

由图可知PO＝2，OE＝1，所以PE

所以V＝

1 1

181

×4×2＝，S

＝4 2. 332

5．

答案：A

1 2x 0 2x 1 x 0,

解析：由题可知

x 3, x 3 0 x 3

∴定义域为(－3,0]．

6． 答案：C

解析：第一次：a＝－1.2＜0，a＝－1.2＋1＝－0.2，－0.2＜0，a＝－0.2＋1＝0.8＞0，a＝0.8≥1不成立，输出0.8.

第二次：a＝1.2＜0不成立，a＝1.2≥1成立，a＝1.2－1＝0.2≥1不成立，输出0.2. 7． 答案：B

1ab

得：，

sinAsinAsinB

1 又∵B＝2A

，∴ sinA∴cos A

，∴∠A＝30°，

解析：由正弦定理

∴∠B＝60°，∠C＝90°， ∴c

2. 8． 答案：

A

解析：由题意：q p，

pq

，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以

等价于

所以p是 q的充分而不必要条件．故选A.

9．

答案：D

解析：因f(－x)＝－x·cos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x＋sin x)＝－f(x)，故该函数为奇函数，排除B，又x∈ 0,

π

，y＞0，排除C，而x＝π时，y＝－π，排除A，故选D. 2

10． 答案：B

解析：∵模糊的数为x，则：

90＋x＋87＋94＋91＋90＋90＋91＝91×7， x＝4，

所以7个数分别为90,90,91,91,94,94,87，

2 90 91 2 2 91 91 2 2 94 91 2 87 91 2

方差为s＝

7

36＝.

7

2

11． 答案：D 解析：设M x0,

1 12 xx12 p,p x0 ，y' x ' ，故M

点切线的斜率为0 ，故

M .

由 6 2pp3 2p p 3

1 p p,p， 0, ，(2,0)三点共线，可求得p

D. 6 2

12． 答案：C

2222

解析：由x－3xy＋4y－z＝0得x＋4y－3xy＝z，

zx2 4y24xy

3 3 3 1， xyxyxy

z22

当且仅当x＝4y即x＝2y时，有最小值1，

xy

将x＝2y代入原式得z＝2y，

22

所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y＝－2y＋4y， 当y＝1时有最大值2.故选C.

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．

答案：解析：如图，当AB所在直线与AC垂直时弦BD最短，AC

＝

2

，CB＝r＝2，

∴BA

BD

＝

14．

解析：由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示．

由图可知OM的最小值即为点O到直线x＋y－2＝0的距离，即dmin

15．答案：5

.

解析：∵OA＝(－1，t)，OB＝(2,2)，

∴BA＝OA－OB＝(－3，t－2)．

又∵∠ABO＝90°，∴BA·OB＝0，

即(－3，t－2)·(2,2)＝0， －6＋2t－4＝0， ∴t＝5. 16．

答案：①③④

三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．

解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．

由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．

选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个． 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝

31＝. 62

(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．

由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．

选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．

因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P＝18．

3. 10

2ωx－sin ωxcos ωx

2

1 cos2 x1 sin2 x

＝2221＝cos 2ωx－sin 2ωx

22

π

＝ sin 2 x .

3

π

因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，

4

2ππ

又ω＞0，所以=4 .因此ω＝1.

2 4

π

(2)由(1)知f(x)＝ sin 2x .

3

3π5ππ8π

当π≤x≤时，≤2x .

2333π

sin 2x 1，

所以3

解：(1)f(x)

＝

. 3π

故f(x)在区间 π,，－1. 2

因此－1≤f(x

19．

(1)证法一：取PA的中点H，连接EH，DH. 因为E为PB的中点， 所以EH∥AB，EH＝又AB∥CD，CD＝

1

AB. 2

1

AB， 2

所以EH∥CD，EH＝CD.

因此四边形DCEH是平行四边形， 所以CE∥DH.

又DH 平面PAD，CE平面PAD， 因此CE∥平面PAD. 证法二：连接CF. 因为F为AB的中点， 所以AF＝又CD＝

1

AB. 2

1

AB， 2

所以AF＝CD. 又AF∥CD，

所以四边形AFCD为平行四边形． 因此CF∥AD.

又CF平面PAD， 所以CF∥平面PAD.

因为E，F分别为PB，AB的中点， 所以EF∥PA.

又EF平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 因为CF∩EF＝F，

故平面CEF∥平面PAD. 又CE 平面CEF， 所以CE∥平面PAD.

(2)证明：因为E，F分别为PB，AB的中点， 所以EF∥PA.

又AB⊥PA，所以AB⊥EF. 同理可证AB⊥FG.

又EF∩FG＝F，EF 平面EFG，FG 平面EFG， 因此AB⊥平面EFG.

又M，N分别为PD，PC的中点， 所以MN∥CD.

又AB∥CD，所以MN∥AB. 因此MN⊥平面EFG. 又MN 平面EMN，

所以平面EFG⊥平面EMN. 20．

解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得：

4a1 6d 8a1 4d,

a 2n 1 d 2a 2 n 1 d 1, 11

解得a1＝1，d＝2.

*

因此an＝2n－1，n∈N.

bb1b21

n 1 n，n∈N*， a1a2an2b1

当n＝1时，1 ；

a12

(2)由已知当n≥2时，所以

bn1 1 1 1 n 1 n 1 n. an2 2 2

bn1

n，n∈N*. an2

*

由(1)知an＝2n－1，n∈N，

2n 1*

，n∈N. n

2

1352n 1又Tn＝ 2 3 ，

2222n

1132n 32n 1Tn 2 3 n n 1， 22222

所以bn＝两式相减得

11 222 2n 1Tn 2 3 n n 1 22 222 2312n 1 n 1 n 1， 222

2n 3

所以Tn＝3 . n

2

21．

2

解：(1)由f(x)＝ax＋bx－ln x，x∈(0，＋∞)，

2ax2 bx 1

得f′(x)＝.

x

bx 1

①当a＝0时，f′(x)＝.

x

若b≤0，当x＞0时，f′(x)＜0恒成立， 所以函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)． 若b＞0，当0＜x＜当x＞

1

时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减． b

1

时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增． b

1 1

所以函数f(x)的单调递减区间是 0, ，单调递增区间是 , .

b b

②当a＞0时，令f′(x)＝0，

2

得2ax＋bx－1＝0.

2

由Δ＝b＋8a＞0得

b b x1

＝，x2

＝.

4a4a

显然，x1＜0，x2＞0.

当0＜x＜x2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减； 当x＞x2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．

b b

所以函数f(x)

的单调递减区间是 0, . ，单调递增区间是

4a4a

综上所述，

当a＝0，b≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)；

当a＝0，b＞0时，函数f(x)的单调递减区间是 0, ，单调递增区间是 , ；

1 b 1 b

b b

当a＞0时，函数f(x)

的单调递减区间是 0,, . ，单调递增区间是

4a4a

(2)由题意，函数f(x)在x＝1处取得最小值，

由(1)

是f(x)的唯一极小值点，

b 故＝1，整理得

4a

2a＋b＝1，即b＝1－2a. 令g(x)＝2－4x＋ln x，

1 4x

， x

1

令g′(x)＝0，得x＝.

4

1

当0＜x＜时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；

41

当x＞时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．

4

1 1

因此g(x)≤g ＝1＋ln＝1－ln 4＜0，

4 4

则g′(x)＝

故g(a)＜0，即2－4a＋ln a＝2b＋ln a＜0，

即ln a＜－2b. 22

x2y2

解：(1)设椭圆C的方程为2 2=1(a＞b＞0)，

ab

a2 b2 c2,

c

由题意知 ,

a2

2b 2,

解得a

，b＝1.

x22

因此椭圆C的方程为＋y＝1.

2

(2)当A，B两点关于x轴对称时， 设直线AB的方程为x＝m，

由题意m＜0或0＜m

x22

将x＝m代入椭圆方程＋y＝1，

2得|y|

所以S△AOB＝|m

. 4

3122

解得m＝或m＝.①

22 1 1

又OP＝tOE＝tOA OB＝t(2m,0)＝(mt,0)，

22

mt 2

因为P为椭圆C上一点，所以＝1.②

2

422

由①②得t＝4或t＝.

3

又因为t＞0，所以t＝2或t

当A，B两点关于x轴不对称时， 设直线AB的方程为y＝kx＋h.

x22

将其代入椭圆的方程＋y＝1，

2

得(1＋2k)x＋4khx＋2h－2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

22

由判别式Δ＞0可得1＋2k＞h，

2

2

2

2h2 24kh

此时x1＋x2＝ ，x1x2＝，

1 2k21 2k2

2h

y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝，

1 2k2

所以|AB|

＝

因为点O到直线AB的距离d

所以S△AOB＝

，

1

|AB|d 1＝

2

h|. 又S

△AOB

|h| .③

4

令n＝1＋2k，代入③整理得3n－16hn＋16h＝0，

2

2

2

4

解得n＝4h或n＝

2

2

2

42

h， 3

2

42

h.④ 3

1 又OP＝tOE＝tOA OB

2

ht 1 2kht

＝t(x1＋x2，y1＋y2)＝ ， ,22 2 1 2k1 2k

即1＋2k＝4h或1＋2k＝

因为P为椭圆C上一点，

所以t2

1 2kh 22

2 1 2k2 h

1 2k2

1， 即h22

1 2k

2

t 1.⑤ 将④代入⑤得t2＝4或t2

＝4

，

又知t＞0，故t＝2或t

.

经检验，适合题意． 综上所得t＝2或t

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