数学分析1-4

§4 具有某些特性的函数本节将着重讨论函数的有界性、单 调性、奇偶性与周期性. 一、有界函数 二、单调函数 三、奇函数与偶函数 四、周期函数前页 后页 返回

一、有界函数定义1 设 f 定义在D上.

若 M R, x D, f ( x ) M , 则称 f 在 D 上有上界；若 L R, x D, f ( x ) L, 则称 f 在 D 上有下界；若 M R, x D, f ( x ) M , 则称 f 在 D 上有界.

易证 f 在D上有界 f 在D上既有上界又有下界 .

若 M R, x0 D, f ( x0 ) M , 则称 f 在 D 上无上界；前页 后页 返回

若 L R, x0 D, f ( x0 ) L, 则称 f 在 D 上无下界；若 M R, x0 D, f ( x0 ) M , 则称 f 在 D 上无界.

π 例1 求证 : f ( x ) tan x 在 [0, )上无上界, 有下界. 2 π 证 L 0,则 x [0, ), f ( x ) L, 因此 f 在 2 π [0, ) 上有下界. M R, 令x0 arctan( M 1), 2 π 则 x0 [0, ), 且 tan x0 M 1 M , 因此 f 在 2 π [0, )上无上界. 2前页 后页 返回

例2设函数 f ( x ), g( x ) 是D上的正值有界函数. 求证 : sup{ f ( x ) g( x )} sup{ f ( x )} sup{ g( x )}.x D x D x D

证 x D,

f ( x ) sup{ f ( x )},g( x ) sup{ g( x )},

因此 f ( x ) g( x ) sup{ f ( x )}sup{ g( x )}, 由 x 的任意性 , 可知 sup{ f ( x )}sup{ g( x )}

是{ f ( x ) g( x )}的一个上界,因此 sup{ f ( x ) g( x )} sup{ f ( x )}sup{ g( x )}.x D x D x D

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例3 设 f ( x ), g( x ) 在 D 上有界,证明:inf{ f ( x ) g( x )} inf{ f ( x )} sup{ g( x )}.x D x D x D

证 0, x0 D, f ( x0 ) inf{ f ( x )} . x D又 g( x0 ) sup{ g( x )}, 故x D

f ( x0 ) g( x0 ) inf{ f ( x )} sup{ g( x )} .x D x D

因此

inf{ f ( x ) g( x )} f ( x0 ) g( x0 )x D

inf{ f ( x )} sup{ g( x )}.x D x D

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二、单调函数定义2 设 f 是定义在 D上的函数.若 x1 , x2 D, 当 x1 x2 时,

(i) 有 f ( x1 ) f ( x2 ), 则称 f 为D 上的增函数;

特别有 f ( x1 ) f ( x2 ) 时, 称 f 为严格增函数.(ii) 有 f ( x1 ) f ( x2 ), 则称 f 为 D 上的减函数;

特别有 f ( x1 ) f ( x2 ) 时, 称 f 为严格减函数.

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不难知道,若 f ( x ) 和 g( x ) 是正值严格增的,则 f ( x ) g( x ) 也是正值严格增的.例4 任意 n N , y2 n 1 x 2 n 1 在 R 上严格增;

y2 n x 在 R + 上严格增,在 R 上严格减.2n

证 由 y1 x 在 R +上为正值严格增,可知 y2 y1 y1

在 R + 上亦正值严格增. 由归纳法,若已证 yn 在 R + 上为正值严格增,可知 yn 1 y1 yn 在 R + 上亦正值严格增.前页 后页 返回

若 x1 x2 0, 则 0 x2 x1 , 于是

( x2 )2 n ( x1 )2 n , ( x2 )2 n 1 ( x1 )2 n

1 ,即 x2 2 n x12 n , x2 2 n 1 x12 n 1 .这就证明了 y2 n 在 R

上严格减,而 y2 n 1 在 R 上严格增. 若 x1 0 x2 或 x1 0 x2 , 则2 2 2 2 x1 n 1 0 x2 n 1 或 x1 n 1 0 x2 n 1,

这证明了 y2 n 1 在 R 上严格增.前页 后页 返回

例5 易证函数 y [ x]在 R 上是增函数, 但非严格 增.y321

1

2 1 O

2

3

4

1 2

x

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定理1.2 设 y f ( x ), x D为严格增函数, 则 f 必

有反函数 f 1 , 且 f 1在其定义域 f ( D)上也是严格增函数 .

类似地, 严格减函数 f 必有反函数 f , 且 f 在其定义域上也是严格减函数.

1

1

证 设 f 在 D 上严格增, 则 y f ( D) 只有一个x D, 使 f ( x ) y .

事实上,若 x1 x2 , 使 f ( x1 ) y f ( x2 ), 则与 f前页 后页 返回

的严格增性质相矛盾 . 再证 f 1必是严格增的 : y1 , y2 f ( D), 1

y1 y2 , 1

x1 f ( y1 ), x2 f ( y2 ),由于 y1 y2 及 f 的严格增性, 必有 x1 x2 , 即

f 1 ( y1 ) f 1 ( y2 ), 因此 f 1也是严格增函数.例6 由于 yn x n 在 R + 上严格增,因此 yn 的反函

数 zn x1/ n 在 R + 上严格增, 故对任意有理数 n r , y x r 在 R + 上亦为严格增. m前页 后页 返回

例7 证明： a x 当 a 1时, 在 R 上严格增;当 y0 a 1时, 在R 上严格减 .

证 设 a 1. x1 , x2 , x1 x2 . 由 Q 的稠密性,

r1 , r2 Q, 使 x1 r1 r2 x2 , 因此a x1 sup{a r r Q , r x1 } a r1 a r2 sup{a r Q , r x2 } a .r x2

类似可证 a x 当 0 a 1 时, 在 R 上严格减.前页 后页 返回

由于 y log a x 是 y a x 的反函数, 因此y loga x 当 a 1 时,在 R + 上严格增;y log a x 当 0 a 1时, 在 R + 上严格减 .

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三、奇函数和偶函数定义3 设D关于原点对称,即 : x D, 必有 x D.若 x D, f ( x ) f ( x ) , 称 f 为 D 上的奇函数. 若 x D, f ( x ) f ( x ) , 称 f 为D 上的偶函数 .

显然,若记 G( f ) 为 f 的图象,则 f ( x ) 是奇函数或偶函数的充要条件是:( x , y ) G ( f ) ( x , y ) G ( f );

或

( x , y ) G( f ) ( x, y ) G( f ).前页 后页 返回

例如, y sin x, y tan x, y x 2n 1 是奇函数,而 y cos x, y x 2n 是偶函数.1 x -x y ln x x 1 是奇函数 y1 = (e -e ) 的反 2 函数,从而由奇函数的图象性质可知它也是奇函2

数.

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四、周期函数定义4 设 f 为 D 上定义的函数. 若 0, 使 x D

必有x D, 且 f ( x ) f ( x ),

则称 f 为周期函数, 为 f 的一个周期.若周期函数 f 的所有正周期中有

一个最小的周期 ,

则称此最小正周期为 f 的基本周期,简称周期.例如函数 f ( x ) x [ x ] 的周期为 1. 见后图.

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y1

-3

-2

-1

O

1

2

3

x

例8 sin x 的周期为 2π, tan x 的周期为 π, 注1 周期函数的定义域不一定是R. 例如：

f ( x ) sin x .注2 周期函数不一定有最小周期. 例如狄利克雷函 数以任意正有理数为周期，但没有最小周期.前页 后页 返回

例9 任意正有理数是狄利克雷函数 D( x )的周期. 证 设 r Q+ , x R.

若 x Q, 则 x r Q, D( x r ) 1 D( x ); 若 x Q, 则 x r Q, D( x r ) 0 D( x ).因此, r 是 D( x ) 的一个周期.

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复习思考题1. f(x)在[a,b]上定义 ，是否 一定存 在某个 区间

[a0 , b0 ] [a, b], 使 f ( x ) 在[a0 , b0 ] 上 是 单 调 函 数 ?2.构造在[0,1]上定义的函数f(x),使其在任何

[a0 , b0 ] [0, 1] 上, f ( x ) 无界.3. 用肯定语句叙述下列概念: (1) 非周期函数；(2)非奇函数； (3) 非单调增函数.前页 后页 返回

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6cdi.html