理论力学-动量定理

理论力学第三篇 动力学第10章 动量定理 章

第10章 动量定理 章从本章开始研究适用于质点系的动力学普遍定理， 从本章开始研究适用于质点系的动力学普遍定理， 质点系的动力学普遍定理 即动量定理、动量矩定理和动能定理。 即动量定理、动量矩定理和动能定理。在大学物理中 质点的动力学普遍定理。 我们已研究过质点的动力学普遍定理 我们已研究过质点的动力学普遍定理。 质点系动力学普遍定理， 质点系动力学普遍定理，建立了度量质点系整体运 动状态的物理量(质点系的动量、动量矩和动能) 动状态的物理量(质点系的动量、动量矩和动能)与 其上作用的力系特征量(主矢、主矩) 其上作用的力系特征量(主矢、主矩)和功之间的关 每个定理都具有明显的物理意义。 系，每个定理都具有明显的物理意义。 与物理学相比，本章着重讲述定理在工程中的应用。 与物理学相比，本章着重讲述定理在工程中的应用。

第10章 动量定理 章

几个有意义的实际问题 动量定理与动量守恒 质心运动定理 应用举例

几个有意义的实际问题

地面拔河与太空拔河， 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负

?

几个有意义的实际问题

偏心转子电动机工作时为什么会左右运动？ 偏心转子电动机工作时为什么会左右运动？ 这种运动有什么规律？ 这种运动有什么规律？ 会不会上下跳动？ 会不会上下跳动？

?

几个有意义的实际问题

蹲在磅秤上的人站起来时， 蹲在磅秤上的人站起来时， 磅 秤指示数会不会发生的变化？ 秤指示数会不会发生的变化？

?

几个有意义的实际问题

台式风扇放置在光滑的台面上的台式风扇工作时， 台式风扇放置在光滑的台面上的台式风扇工作时， 会发生什么现象？ 会发生什么现象？

?

几个有意义的实际问题隔板

水池

抽去隔板后， 抽去隔板后，将会 发生什么现象？ 发生什么现象？

?

水

光滑台面

第10章 动量定理 章

动量定理

动量定理

质点系的动量 质点系的动量定理 质点系的动量定理的守恒形式

动量定理质点的动量 —— 质点质量与质点速度的乘积

p = mv动量具有矢量的全部特征，所以动量是矢量。 动量具有矢量的全部特征，所以动量是矢量。 动量具有明显的物理意义，它是力的作用效应的一种量度。 动量具有明显的物理意义，它是力的作用效应的一种量度。 如：子弹的质量很小，但由于其运动速度很大，故可穿透坚硬 的钢板；即将靠岸的轮船，虽速度很慢，但由于质量很大，仍 可撞坏用钢筋混凝土筑成的码头。

动量定理 质点系的动量质点系中所有质点动量的矢量和

, 质点系中所有质点动量的矢量和，称 为质点系的动量。 为质点系的动量。

P = ∑ m vi ii

质点系的动量是质点系整体运动的基本特征之一。具体计算 时可采用其在直角坐标系的投影形式。

px = ∑mvix , py = ∑mviy , pz = ∑mviz i i ii i i

动量定理 质点系的动量注意到物理学中，质点系质心位矢 公式对时间的一阶导数： ∑mi ri rC = i m ∑mi vi vC = i m 式中，rC为质点系质心的位矢； vC为质心的速度；m为质点 系的总质量。据此，质点系的动量可改写为：

p = mvC

动量定理与动量守恒 质点系的动量

p = mvC

这一结果表明，质点系的动量等于质点系的总质量与质心 速度的乘积。这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的 动量，这也表明，质点系的动量描述了质点系质心的运动。 动量所描述的并不是质点系运动的全部，因为它不能描述 质点系的转动效应。

A

椭圆规机构中，OC=AC= 椭圆规机构中，OC=AC=CB =l;滑块A和B的质量均为m,曲 滑块A 的质量均为m 柄OC和连杆AB的质量忽略不计； OC和连杆AB的质量忽略不计； 曲柄以等角速度ω 曲柄以等角速度 绕O 轴旋转；图 示位置时，角度 为任意值。

ω O

求：图示位置时，系统的总动量。

B

参考性例题 1以滑块A 组成的质点系 解：以滑块A和B组成的质点系 统为研究对象。 为研究对象。 求这一质点系的动量可以用两 种方法： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。

A

ω O

B

第二种方法：先确定系统的质 心，以及质心的速度，然后计算 系统的动量。

参考性例题 1y vA A解：第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。

p = mA vA + mB vB建立Oxy 建立Oxy 坐标系。

yA = 2lsin xB = 2lcos

ω O

vB B

vA = yA = 2l cos = 2lω cos vx = xB = 2l sin = 2lω sin B

p = 2lm sin i + 2lm cos j ω ω = 2lm (-sin i + cos j) ω

参考性例题 1解：第二种方法：先确定系统的 质心，以及质心的速度，然后计 算系统的动量。

vA A vC

质点系的质心在C 质点系的质心在C处，其速度 矢量垂直于OC,数值为 矢量垂直于OC,数值为vC = lω lω vC = lω(-sin i+cos j ) lω 系统的总质量 mC= mA+ mB=2m =2m

90o

ω O

vB B

系统的总动量

p = 2lm (-sin i + cos j) ω

动量定理与动量守恒 质点系的动量定理对质点系中第i个质点应用牛顿第二定律有： 对质点系中第 个质点应用牛顿第二定律有： 个质点应用牛顿第二定律有

d (mi vi ) = Fi = Fii + Fie dt个质点上的力( 其中 F ii 为质点系中其它质点作用在第 i 个质点上的力(即 内力); 内力); 质点系以外的物体作用在第 个质点上的力( F ei 为质点系以外的

物体作用在第 i 个质点上的力(即外 力)。 质点的动量对时间的一阶导数， 质点的动量定理 —— 质点的动量对时间的一阶导数，等于作 用在质点上的力

d (mi vi ) = Fi = Fii + Fie dt

动量定理与动量守恒 质点系的动量定理个这样的方程， 对于由 n 个质点所组成的质点系可列出 n 个这样的方程， 将方程两侧的项分别相加， 将方程两侧的项分别相加，得到

d (∑mi vi ) = ∑Fii + ∑Fie dt i i i注意到质点系内质点间的相互作用力总是成对出现， 注意到质点系内质点间的相互作用力总是成对出现，因此质 点系的内力的矢量和等于零， 点系的内力的矢量和等于零，于是上式变为

d (∑mi vi ) = ∑Fie dt i i

动量定理与动量守恒 质点系的动量定理

d (∑mi vi ) = ∑Fie dt i i

dp = ∑Fe i dt i这就是微分形式的质点系动量定理 微分形式的质点系动量定理 动量定理(theorem of the momentum of the system of particles),即：质点系的动量对时间的变化率等于 ) 质点系所受外力系的矢量和。 质点系所受外力系的矢量和。

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