五年高考三年联考数学分章练习：极限

第十三章 第三节 极限

第三节 极限

第一部分 五年高考荟萃

2009年高考题

一、选择题

2x2?ax?b)?2，其中a,b?R，则a?b的值为 1、（09重庆理8）已知lim(x??x?1A.?6 【解析】

2（ ）

B.?2

C.2

D.6

lim2x?ax?ax?bx?b(2?a)x?(a?b)x?b?limlimx??x??x??x?1x?122(2?a)x?(a?b)?1?1xbx?2

?2?a?0则?,解得a?2,b??4,故a?b?2?(?4)?6

?(a?b)?2?答案 D

2、（09湖北理6）设（2?x)2n?a0?a1x?a2x2?...?a2n?1x2n?1?a2nx2n， 222则lim[(a0?a2?a4?...?a2n)?(a1?a3?a5?...?a2n?1)]?

n?? （ ）

A.-1 B.0 C.1 D.【解析】令x?0得a0?(令x??1时(2 222n12)?n令x?1时(?1)2n?a0?a1?a2?????a2n 2222?1)2n?a0?a1?a2?????a2n 2(两式相加得：a0?a2?????a2n?(22?1)2n?(?1)2n22

222?1)2n?(?1)2n22

2两式相减得：a1?a3?????a2n?1?代入极限式可得，故选B 答案 B

二、填空题

13

3、（09陕西理13）设等差数列?an?的前n项和为Sn,若a6?S3?12,则limSn? . n??n2?a6?12?a1?5d?12?a1?2Snn?1Snn?1解析：???S?n(n?1)???lim?lim?1???n2n??n2n??ns?12a?d?12d?2nn??1?3 答案 1

2005—2008年高考题

一、选择题

x3?x21、（2007年江西）lim

x?1x?1Ａ．等于0 答案 B

Ｂ．等于1

（ ）

Ｃ．等于3

Ｄ．不存在

p?1??1???1n?2、（2007年湖北）已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2，则lim? ?（ ）qn→??1??1???1?n?A．0 答案 Ｃ

3、（2006湖南）数列{an}满足:a1?

B．1

C．

p q D．

p?1 q?11,且对于任意的正整数m,n都有am?n?am?an,则 3

( )

lim(a1?a2???an)?

n??

123 B. C. D.2 2321【解析】数列{an}满足: a1?, 且对任意正整数m,n都有

3111am?n?am?ana2?a1?1?a1?a1?，an?1?an?a1?an，∴数列{an}是首项为，

393A.公比为

1a1的等比数列。lim(a1?a2???an)?1?，选A.

n???31?q2答案 A

4、（2005年全国Ⅱ理5）lim??A ?12?

???2x?1x2?3x?2x?4x?3?? ( )

1111 B C ? D 2266??1212?lim????? ?x?1?22x?3x?2x?4x?3(x?1)(x?2)(x?1)(x?3)????13

【解析】 lim??x?1lim?(x?1)?11?lim??,选(A)

x?1(x?1)(x?2)(x?3)x?1(x?2)(x?3)2答案 A

二、填空题

3n?1? . 5、（2008上海2）计算：limn?1nn??3?2答案

1 3Sn= .

n??n26、（2007年全国Ⅱ理16）已知数列的通项an=－5n+2,其前n项和为Sn, 则lim答案 -

5 2Sn(?5n?1)5，则limn=－.

n??n222【解析】数列的通项an=－5n+2，其前n项和为Sn7、（2006天津）设函数f?x??1，点A0表示坐标原点，点An?n,f?n??n?N*，若向x?1?????????????????????????量an?A0A，是与的夹角，（其中，设 i?i??1,0?）?AA???AAan112n?1nn??Sn?tan?1?tan?2???tan?n，则limSn= ．

n??【解析】函数f?x??1，点A0表示坐标原点，点An?n,f?n??n?N*，若向量 x?1??1??????????????????????????????1tan?n?n?1?（其 ?n是an与i的夹角，an?A0A1?A1A2???An?1An=A0An，

nn(n?1)?1111?????1?中i??1,0?），设Sn?tan?1?tan?2???tan?n，1?22?3n(n?1)n?1则limSn=1．

n??答案 1

8、（2005年上海2）lim答案 0

三、解答题

n?2? .

n??1?2???n9、（2007年辽宁）已知数列{an}，{bn}与函数f(x)，g(x)，x?R满足条件：

an?bn，f(bn)?g(bn?1)(n?N*).

，t?0，t?2，g(x)?2x，f(b)?g(b)，lima存在，求x的取（I）若f(x)≥tx?1nn??13

值范围；

（II）若函数y?f(x)为R上的增函数，g(x)?f?1(x)，b?1，f(1)?1，证明对任意

n?N*，liman（用t表示）．

n???an?1?tbn?1?1t(Ⅰ)解法一：由题设知?得an?1?an?1，又已知t?2,可得

2?an?2bn?1,an?1?2t2?(an?). t?22t?2由f(b)?g(b),t?2,t?0,可知a1?2tt2???tb??0,?0,所以?an?? t?2t?22t?2??tt,公比为.于是 t?222tttttan??(tb?)()n?1,即an?(tb?)()n?1?.

t?2t?22t?22t?2t又liman存在，可得0＜||＜1,所以-2＜t＜2且t?0.

22liman?. n??2?t解法二.由题设知tbn+1=2bn+1,且t?2.可得

1t1bn?1??(bn?).

t?22t?2是等比其首项为tb?由f(b)?g(b),t?2,t?0,可知b?1t?0,?0,所以t?221??b??n?是首项为

t?2??1t,公的等比数列. t?2211t1t1bn??(b?)()n?1,即bn?(b?)()n?1?.

t?2t?22t?22t?2b?由an?2bn?1 可知，若liman存在，则limbn存在.于是可得0＜|n??n??t|＜1,所以-1＜2t?0.

liman=2limbn?n??n??2. 2?t解法三:由题设知tbn+1=2bn+1,即

bn?1?t1bn?,① 22于是有

t1bn?1?,② 22t②-①得bn?2?bn?1?(bn?1?bn),令cn?bn?1?bn,得

2bn?2?13

cn?1?tcn. 2(t?2)b?1t?0,?0，所以?cn?是首

22由f(b)?g(b),t?2,t?0可知c1?b2?b1?项为b公比为

t的等比数列，于是 2t1?()n2(b?b)?b. bn?1?(c1?c2????cn)?b1?21t1?2t4[1?()n]2（b2-b1）+2b. an?2bn?1?2?tt又liman存在，可得0＜||＜1,所以-2＜t＜2且t?0. n??242liman?(b2?b1)?2b?. n??2?t2?t说明：数列?an?通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以标准.

(Ⅱ)证明：因为g(x)?f?1(x),所以an?g(bn?1)?f?1(bn?1),即bn?1?f(an).

下面用数学归纳法证明an?1＜an(n?N*). (1)当n=1时，由f(x)为增函数,且f(1)＜1,得

a1?f(b1)?f(1)＜1 b2?f(a1)?f(1)＜1 a2?f(b2)＜f(1)?a1，

即a2＜a1，结论成立.

（2）假设n=k时结论成立，即ak?1＜ak.由f(x)为增函数，得

f(ak?1)＜fak即bk?2＜bk?1进而得 f(ak?1)＜f(bk?1)即ak?2＜ak?1.

这就是说当n=k+1时，结论也成立.

根据（1）和（2）可知，对任意的(n?N*)，an?1＜an.

13

第二部分 三年联考汇编

2009年联考题

一、选择题

1、(2009年3月襄樊市高中调研统一测试理)limx?2A．0 B．1 C．?1 2x?2的值为 ( )

x2?6x?81D．

3答案 C

2、(湖北省八市2009年高三年级三月调考理)若(1+5x)n的展开式中各项系数之和为an，(7x2

nlim＋1)的展开式中各项的二项式系数之和为bn，则n??an?2bn的值是

3an?4bnD．－

（ ）

A．

1 3B．

1 4C．1

1 2 答案 A

x2?ax?2?P（P∈R，3、（2009衡阳四校联考）若limP为常数），则a和P的值分别为（ ）

x?2x2?4 A． 0，

13 B． 1， 24C．

311, D． ?1, 224答案 D

x2?6x?511111?a,则lim(?????)的 4、（2009牟定一中期中）若lim2234nx?1n??x?1aaaaa值为

（ ）

A. －2 B. ?117 C. ? D. ? 3212答案 B

5、（2009宣威六中第一次月考）下列命题不正确的是（ ） ．．．A．如果 f (x) =

1

x x ，则 lim f (x) = 0

x?+ ?

B．如果 f (x) = 2－1，则 lim f (x) = 0

x?0

n 2－2nC．如果 f (n) = ，则 lim f (n) 不存在

n??n + 2

? x ， x≥0

D．如果 f (x) = ? ，则 lim f (x) = 0

x?0? x + 1，x < 0

答案 D

13

6、（2009宣威六中第一次月考）lim[(2n?1)an]?2，则limnan?（ ）

n??n??A．1 B．答案 A

11 C． D．0 23

二、填空题 7、（2009上海十四校联考）如图，在杨辉三角中，斜线上方 的数组成数列：

1，3，6，10，?，记这个数列的前n项和为Sn，

n3

则lim= . n??Sn

答案 6 8、（2009上海奉贤区模拟考）已知各项均为正数的等比数列

{an}的首项a1?1，公比为q，前n项和为Sn，若lim围是 。 答案 （0，1]

Sn?1?1，则公比为q的取值范

n??Sn3n?1?an9、（2009闵行三中模拟）若实数a满足a?2a?3?0，则limn?____________.

n??3?an2答案3

10．(北京市石景山区2009年4月高三一模理)若(2?x29)展开式的第7项为42，则2lim(x?x2???xn)= ．

n??答案 2

11. (北京市丰台区2009年3月高三统一检测理) 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若

a1?2,a4?答案 4

1，则limSn= 。

n??412、（2009厦门一中）若函数f(x)在x?x0处的f'(x)?2，则limk?0f(x0?k)?f(x0)等于

k_______________ 答案 －2

13. (湖北省2009年3月高三八校第二次联考理科) 设an是3?x??的展开式中x项的系

n?32333n?数（n?2、3、4、?），则lim???????________.

n??aan??2a3答案 18

14、（2009张家界市11月考）已知lim虚数单位）

答案 1-i.

13

x?ax?1x?13?b，则a2008?ib= （其中i为

15、（2009上海闸北区）若(2x?1)9展开式的第9项的值为12，则

lim(x?x2???xn)= ．

n??答案 2

316、（2009上海九校联考）设常数a>0，(ax?)的展开式中，x的系数为?1x55， 81则lim(a?a???a)?

n??2n答案

1 22n?1?3n?117、（2009宣威六中第一次月考）lim= .

n??2n?3n答案 -3 三、解答题

18、（2009冠龙高级中学3月月考）由函数y?f?x?确定数列?an?，an?f?n?，函数

y?f?x?的反函数y?f?1?x?能确定数列?bn?，bn?f?1?n?，若对于任意n?N*，

都有an?bn，则称数列?bn?是数列?an?的“自反数列”。 (1)若函数f?x??px?1确定数列?an?的自反数列为?bn?，求?an?的通项公式； x?1(2)在(1)条件下，记

n111???x1x2xn为正数数列?xn?的调和平均数，若dn?2 ?1，

an?1Sn为数列?dn?的前n项和，Hn为数列?Sn?的调和平均数，求lim(3)已知正数数列?Cn?的前n项之和Tn?解 (1) 由题意的：f –1(x)=

Hn；

n??n1?n?C??n?。求Tn的表达式。 2?Cn?px?1?n?11?x= f(x)=，所以p = –1，所以an=

x?1n?1x?p(2) an=

?n?12，dn=?1=n， n?1an?1n(n?1)，又Hn为数列{Sn}的调和平均数， 2n222????1?22?3n(n?1)=(n?1) lim2Sn为数列{dn}的前n项和，Sn=Hn=

n111???S1S2Sn=

Hnn?11=lim= n??2nn??n2(3) 因为正数数列{cn}的前n项之和Tn=

1n(cn+)， 2cn13

所以c1=

11(c1+)，解之得：c1=1，T1=1 2c1当n≥2时，cn = Tn–Tn–1，所以2Tn = Tn–Tn–1 +

n，

Tn?Tn?1Tn +Tn–1 =

n，即：Tn2?Tn2?1= n，

Tn?Tn?122222所以，Tn2?1?Tn?2= n–1，Tn?2?Tn?3= n–2，……，T2?T1=2，累加得：

Tn2?T12=2+3+4+……+ n， Tn2=1+2+3+4+……+ n =

n(n?1)n(n?1)，Tn= 221*. 对任意n?N，向量419、（2009上海普陀区）设数列?an?的前n项和为Sn，a3?????1??a??1,an?、b??an?1,?都满足a?b，求limSn.

n??2????a??*解 因为a?b?a?b?0，所以由条件可得an?1??n，n?N.

21即数列?an?是公比q??的等比数列.

2aa112?1又a1?3，所以，. limS???nn??q21?q1?1329月份更新

1.（2009上海八校联考）?an?是无穷数列，已知an是二项式(1?2x)n(n?N*)的展开式各项系数的和，记Pn?111????，则limPn?_______________。

n??a1a2an答案

1 2(1?n?2009)?1，?2.（2009上海青浦区）已知数列?an?，对于任意的正整数n，an??，1n?2009?2?().(n?2010)?3?设Sn表示数列?an?的前n项和．下列关于limSn的结论，正确的是????????

n???（ ）．

A．limSn??1

n???

B．limSn?2008

n???C．limSn??n???答案 B

(1?n?2009)?2009，（n?N*） D．以上结论都不对

?1.(n?2010)?13

33.（2009上海九校联考）设常数a>0，(ax?)的展开式中，x的系数为?1x55， 81则lim(a?a???a)?

n??2n答案

1 2

2007—2008年联考题

一、选择题

an2?bn?c1、（2008荆门市实验高中测试）lim

n??an2?2n?1等于 A.1 B.

(

)

bb C. c D.1或 22

( )

答案 D

2、（2008荆门市实验高中测试）下列极限存在的是

111x2?1①lim2 ②lim ③lim2 ④lim2 x??xx?0xx?1x?1x??3x?x?2A.①②④ B.②③ C.①③ D.①②③④ 答案 C

an?bn3、（2008荆门市实验高中测试）已知a,b时互不相等的正数，则limn

n??a?bn等于 （ ） A.1 B.1或－1 C.0 D.0或－1

答案 B

?2x?b(x?0)4、(淮南市部分重点中学2007年高三数学素质测试）设f(x)??x,若limf(x)

x?0?e(x?0) 存在，则常数b的值是 A．0 .答案 B

ab5、 (巢湖2007二模)若lim(?)?1,则常数a, b、的值为 （ ）

x?11?x1?x2A.a??2,b?4， B. a?2,b??4， C. a??2,b??4， D. a?2,b?4 .答案 C

C．－1

D．e

（ ）

B．1

6、(皖南八校2007届一联）lim(x?1?x??2x2?x的值为

C．－

（ ） D．

A．0 .答案 C

B．不存在

1 21 27、（南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练）已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，

13

4? ?则这个数列的第2006个数是

A 62 B.63 C 64 D 65 答案 B

8、（南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练）函数f（x）=

2( )

x1?x2x?1的不连续

点为 ( ) A x=?1 B x=1 C x=?1 D 以上答案都不对 答案A 9、（南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练）用数学归纳法证明命题时，此命题

1111?????n，则n=k+1与n=k时相比，左边应添加 2342?11111?k?1A．k?1 B．k?k

2?122?12?1111111?k???k?1C．k?k D．k?k?1

22?12?22?122?1左式为

( )

答案C 二、填空题

10、 （2008荆门市实验高中测试） 若limn??1 ?1,则常数a? 。

n(n?a?n).答案 2

sin3x?2sin2x?1?_____________。 11、（2008荆门市实验高中测试） lim?sinx?1x?2答案 －1

sin3x?2sin2x?1?_________。 12、（2008宣威六中高三数学测试）lim?sinx?1x?2答案 －1

x3?ax2?x?3an?bn?1?b，则limn?1n? 。13、（安徽宿州三中2007年三模）已知lim

x?3n??x?3a?b答案 -8

三、解答题

sin2x?2cos2x14、 （2008荆门市实验高中测试）求lim

?cosx?sinxx?4sin2x?2cos2x???2cosx?原式?lim??2cosx???2cos??2 解 ??cosx?sinx4x?415、 （2008荆门市实验高中测试）已知lim3n3n?1??a?1?nn???1，求a 的取值范围. 313

解 依题意有：limn??1?a?1?3????3?n?1 3a?1?a?1? ??1??4?a?2 ?lim??0?n??3?3?16、 (南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练)已知递增等比数列{an}满足：a2+a3+a4

n＝28且a3+2是a2和a4的等差中项， ⑴求数列{an}的通项公式； ⑵若bn?1log，Sn＝b1＋b2＋?＋bn，求limSn

2an?log2(4an)n???解 ：（1）设公比为q，则q?1。

据题意得：???a22(1?q?q)?24?q?2?1??2(a2??或?2q?2)?a2?a2q?a4?q??2(舍去) 2??a2?16所以an?2n （2）因为bn?1logn2n?2?1111n(n?2)?2(n?n?2)

22log2所以S1n?2(1?12?11n?1?n?2) 故nlim???S?3n4

17、(南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练) 数列?an?中，前n项和snn?a2?1a?1且an?0,n?N* n（1）求a1,a2并猜想an的表达式 （2）证明猜想的正确性 解 ： ?1?n?1时aa11?s1?2?1a?1 1?a21?2a1?2?0,又a1?0,则a1?3?1 同理得，a2?5?3

猜想an?2n?1?2n?1 （2）证明：n=1时，a1?3?1

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假设n=k 时，猜想正确，即ak?2k?1?2k?1 又ak?1?sk?1?sk?ak?1a11??k? 2ak?12ak?ak?1?2k?3?2k?1?2?k?1??1?2?k?1??1 即n=k+1时也成立

?对n?N*都有an?2n?1?2n?1

18、 (南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练)函数f(x)?且limf(?n)?0(n?N).

n??1的定义域为R， bx1?a?2 （1）求证：a?0,b?0; （2）若f(1)?41,且f(x)在[0,1]上的最小值为， 5211求证：f(1)?f(2)???f(n)?n?n?1?(n?N).

22解 ⑴?f(x)定义域为R，?1?a2bx?0,即a??2?bx而x?R,?a?0.若a?0,则 f(x)?1与limf(?n)?0矛盾,?a?0

n???limf(?n)?limn??1n??1?a?2?bx?1(0?2?b?1)??1(2?b?1)?2?b?1即b?0,故a?0,b?0 ???1?a?b??0(2?1)⑵由⑴知f(x)在[0,1]上为增函数,?f(0)?1,即1?1,?a?1,f(1)?

21?a214114x1 b?,?2?,?b??2.?f(x)???1??1?a?2b541?2?2x1?4x1?4x11?1?. kk1?42?211111?f(1)?f(2)?f(3)???f(n)?n?(??)?n??. 2nn?12?22?22?222当k?N时f(k)?1?

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