2015年浙江省杭州市锦绣·育才教育集团中考数学二模试卷

2015年浙江省杭州市锦绣·育才教育集团中考数学二模试

卷

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出正确的选项，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案 1．（3分）（2014?德阳）实数﹣的相反数是（ ） A．﹣2 B．

C．2

D．﹣|﹣0.5|

2．（3分）（2015?杭州校级二模）下列计算正确的是（ ） A．

=﹣2 B．a+a=a C．（a）=a

2

5

7

2

5

10

D．×2=12

3．（3分）（2014?德阳）如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）

A． B． C． D． 4．（3分）（2015?杭州校级二模）一组数据：76，90，64，100，84，64，73，这组数据的众数和中位数分别是（ ）

A．64，100 B．64，76 C．76，64 D．64，84 5．（3分）（2015?杭州校级二模）下列说法正确的是（ ）

232

（1）整式2xy﹣8xy+8xy因式分解的结果是2xy（1﹣4x+4x）； （2）要使y=

有意义，则x应该满足0＜x≤3；

8

（3）“x的2倍与5的和”用代数式表示是一次式；

（4）地球上的陆地面积约为149000000平方千米，用科学记数法表示为1.49×10平方千米． A．（1）（4） B．（1）（2） C．（2）（3） D．（3）（4）

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6．（3分）（2014?泰安）将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中

∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（ ）

A．10° B．20° C．7.5° D．15° 7．（3分）（2014?阜新）对于一次函数y=kx+k﹣1（k≠0），下列叙述正确的是（ ） A．当0＜k＜1时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当k＞0时，y随x的增大而减小

C．当k＜1时，函数图象一定交于y轴的负半轴 D．函数图象一定经过点（﹣1，﹣2）

8．（3分）（2015?杭州校级二模）已知0≤x＜，那么函数y=﹣2x+8x﹣6的最大值是（ ） A．﹣6 B．﹣2.5 C．2 D．不能确定 9．（3分）（2015?杭州校级二模）下列命题正确的个数是（ ） ①一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形； ②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等； ③对角线垂直相等的四边形是正方形； ④圆的切线垂直于圆的半径．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．（3分）（2015?杭州校级二模）如图，在△ABC中，AB=6，AC=12，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（ ）

2

A．6

B．12

C．

D．6

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二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案

11．（4分）（2015?杭州校级二模）计算：﹣2+（）﹣|

12．（4分）（2015?杭州校级二模）已知二次函数y=kx﹣6x+3，若k在数组{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4}中随机取一个，则所得抛物线的对称轴在直线x=1的左方时的概率为 ．

13．（4分）（2015?杭州校级二模）在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是 ． 14．（4分）（2015?杭州校级二模）等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是 ． 15．（4分）（2015?杭州校级二模）如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=（k＞0）经过A、E两点，若平行四边形AOBC的面积为30，则k= ．

2

2

5

﹣1

﹣8|+2cos60°= ．

16．（4分）（2015?婺城区模拟）PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是 ．

三、解答题（本题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤，如果觉得有些题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以） 17．（6分）（2014?呼和浩特）已知实数a是不等于3的常数，解不等式组

，并依据a的取值情况写出其解集．

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18．（8分）（2015?杭州校级二模）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． （1）将△ABC向右平移3个单位长度，画出平移后的△A1B1C1． （2）将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2．

（3）观察探究：△A2B2C2．可以由怎样的图形变换得到△A1B1C1．

19．（8分）（2015?杭州校级二模）解方程x﹣6x+5=0这是一个一元四次方程，根据该方

2422

程的特点，我们通常可以这样来解：设x=y，那么x=y，于是原方程可变为y﹣6y+5=0…①，

22

解这个方程得：y1=1，y2=5．当y=1时，x=1，∴x=±1；当y=5时，x=5，∴x=±．所以原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=，x4=﹣．

（1）这一解法在由原方程得到方程①的过程中，利用了 法达到降次的目的，体现了 的数学思想． （2）参照上面解题的思想方法解方程：（

）﹣

2

4

2

+6=0．

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20．（10分）（2014?毕节市）我市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．

（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；

（2）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率． 21．（10分）（2015?杭州校级二模）如图，一块平行四边形场地ABCD，测得∠ABC=60°，AB=2，AD=4，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接CE，AF．现计划在四边形AECF区域内种植花草．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）求四边形AECF的面积．

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22．（12分）（2014?德阳）如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为．

（1）分别求出线段AP、CB的长；

（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线； （3）如果tan∠E=，求DE的长．

23．（12分）（2014?德阳）如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）． （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=EF，请求出点P的坐标；

（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度．

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2015年浙江省杭州市锦绣·育才教育集团中考数学

二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出正确的选项，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案 1．（3分）（2014?德阳）实数﹣的相反数是（ ） A．﹣2 B．

C．2

D．﹣|﹣0.5|

【考点】相反数．

【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案． 【解答】解：﹣的相反数是，

故选：B．

【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的概念即可． 2．（3分）（2015?杭州校级二模）下列计算正确的是（ ） A．

=﹣2 B．a+a=a C．（a）=a

2

5

7

2

5

10

D．×2=12

【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法．

【分析】根据平方根、同类项合并、幂的乘方和二次根式的乘法计算即可． 【解答】解：A、

2

5

，错误；

B、a与a不是同类项，不能合并，错误；

2510

C、（a）=a，正确； D、，错误； 故选C 【点评】此题考查平方根、同类项合并、幂的乘方和二次根式的乘法，关键是根据法则计算． 3．（3分）（2014?德阳）如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）

A．

B． C． D．

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【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．

【解答】解：从上面可看到第一横行左下角有一个正方形， 第二横行有3个正方形， 第三横行中间有一个正方形． 故选：B．

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 4．（3分）（2015?杭州校级二模）一组数据：76，90，64，100，84，64，73，这组数据的众数和中位数分别是（ ）

A．64，100 B．64，76 C．76，64 D．64，84 【考点】众数；中位数．

【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．

【解答】解：把这组数据从小到大排列：64、64、73、76、84、90、100， 最中间的数是76，

则这组数据的中位数是76；

64出现了2次，出现的次数最多，则众数是64； 故选B．

【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数． 5．（3分）（2015?杭州校级二模）下列说法正确的是（ ）

232

（1）整式2xy﹣8xy+8xy因式分解的结果是2xy（1﹣4x+4x）；

（2）要使y=有意义，则x应该满足0＜x≤3；

（3）“x的2倍与5的和”用代数式表示是一次式；

8

（4）地球上的陆地面积约为149000000平方千米，用科学记数法表示为1.49×10平方千米． A．（1）（4） B．（1）（2） C．（2）（3） D．（3）（4）

【考点】提公因式法与公式法的综合运用；科学记数法—表示较大的数；列代数式；函数自变量的取值范围． 【分析】（1）利用提取公因式法以及公式法分解因式得出即可； （2）利用函数自变量的取值范围判断出x的取值范围； （3）根据题意直接列出代数式即可；

（4）利用科学记数法的表示方法求出即可．

【解答】解：（1）2xy﹣8xy+8xy=2xy（1﹣4x+4x）=2xy（2x﹣1），故此选项错误； （2）要使y=

有意义，则x应该满足x≤3，且x≠0，故此选项错误；

2322

（3）“x的2倍与5的和”用代数式表示为：2x+5是一次式，故此选项正确；

8

（4）地球上的陆地面积约为149000000平方千米，用科学记数法表示为1.49×10平方千米，故此选项正确． 故选：D．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式和科学记数法、列代数式、函数自变量的取值范围等知识，正确掌握相关性质是解题关键．

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6．（3分）（2014?泰安）将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中

∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（ ）

A．10° B．20° C．7.5° D．15°

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE=60°，旋转的性质可得∠BCE1=15°，然后求出∠BCD1=45°，从而得到∠BCD1=∠A，利用“边角边”证明△ABC和△D1CB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BD1C=∠ABC=45°，再根据∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1计算即可得解．

【解答】解：∵∠CED=90°，∠D=30°， ∴∠DCE=60°，

∵△DCE绕点C顺时针旋转15°， ∴∠BCE1=15°，

∴∠BCD1=60°﹣15°=45°， ∴∠BCD1=∠A，

在△ABC和△D1CB中，

，

∴△ABC≌△D1CB（SAS）， ∴∠BD1C=∠ABC=45°，

∴∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1=45°﹣30°=15°． 故选：D．

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABC和△D1CB全等是解题的关键． 7．（3分）（2014?阜新）对于一次函数y=kx+k﹣1（k≠0），下列叙述正确的是（ ） A．当0＜k＜1时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当k＞0时，y随x的增大而减小

C．当k＜1时，函数图象一定交于y轴的负半轴 D．函数图象一定经过点（﹣1，﹣2） 【考点】一次函数图象与系数的关系． 【专题】常规题型．

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【分析】根据一次函数图象与系数的关系对A、B、C进行判断；根据一次函数图象上点的坐标特征对D进行判断．

【解答】解：A、当0＜k＜1时，函数图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误； B、当k＞0时，y随x的增大而增大，所以B选项错误；

C、当k＜1时，函数图象一定交于y轴的负半轴，所以C选项正确；

D、把x=﹣1代入y=kx+k﹣1得y=﹣k+k﹣1=﹣1，则函数图象一定经过点（﹣1，﹣1），所以D选项错误． 故选：C．

【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．

8．（3分）（2015?杭州校级二模）已知0≤x＜，那么函数y=﹣2x+8x﹣6的最大值是（ ） A．﹣6 B．﹣2.5 C．2 D．不能确定 【考点】二次函数的最值．

【分析】把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值．

22

【解答】解：∵y=﹣2x+8x﹣6=﹣2（x﹣2）+2．

∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．

2

∴当x=时，y取最大值，y最大=﹣2（﹣2）+2=﹣2.5． 又∵0≤x＜，

∴y=﹣2x+8x﹣6的最大值小于﹣2.5． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的最值．确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 9．（3分）（2015?杭州校级二模）下列命题正确的个数是（ ） ①一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形； ②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等； ③对角线垂直相等的四边形是正方形； ④圆的切线垂直于圆的半径．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】命题与定理．

【分析】根据平行线的判定方法对A进行判断；根据三角形全等的判定方法对B进行判断；根据正方形的判定方法对C进行判断；根据切线的性质对D进行判断．

【解答】解：一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，所以①正确； 有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以②正确； 对角线垂直相等的平行四边形是正方形，所以③错误； 圆的切线垂直于过切点的半径，所以④错误． 故选B．

2

2

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【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 10．（3分）（2015?杭州校级二模）如图，在△ABC中，AB=6，AC=12，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（ ）

A．6

B．12

C．

D．6

【考点】切线的性质；垂线段最短；圆周角定理． 【分析】找出PQ的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形FC+FD=PQ，由三角形的三边关系知，CF+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD=PQ有最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时由直角三角形ABC的面积等于两直角边乘以的一半来求，也利用由斜边乘以斜边上的高CD来求出，根据面积相等可得出CD的长，即为线段PQ长度的最小值． 【解答】解：线段PQ长度的最小值时，PQ为圆的直径，

如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，

∵圆F与AB相切， ∴FD⊥AB，

∵AB=6，AC=12，BC=6， ∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，

∴CF+FD＞CD，且PQ为圆F的直径，

∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值，即CD为圆F的直径，

且S△ABC=BC?CA=CD?AB， ∴PQ=CD=

=

=

．

故选：C．

【点评】此题考查了切线的性质，垂线段最短，圆周角定理，以及直角三角形面积的求法，其中根据题意得：当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD为最小值是解本题的关键．

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二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案

11．（4分）（2015?杭州校级二模）计算：﹣2+（）﹣|

5﹣1

﹣8|+2cos60°= ﹣33 ．

【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题．

【分析】原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【解答】解：原式=﹣32+2﹣4+2×

=﹣32+2﹣4+1 =﹣33．

故答案为：﹣33．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12．（4分）（2015?杭州校级二模）已知二次函数y=kx﹣6x+3，若k在数组{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4}中随机取一个，则所得抛物线的对称轴在直线x=1的左方时的概率为 2

．

【考点】概率公式；二次函数的性质．

【分析】由k在数组{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4}中随机取一个，则所得抛物线的对称轴在直线x=1的左方时的有：k=﹣3，﹣2，﹣1，4；直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵二次函数y=kx﹣6x+3的对称轴为直线x=﹣

2

=，

∴k在数组{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4}中随机取一个，则所得抛物线的对称轴在直线x=1的左方时的有：k=﹣3，﹣2，﹣1，4；

∴所得抛物线的对称轴在直线x=1的左方时的概率为：． 故答案为：．

【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

13．（4分）（2015?杭州校级二模）在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是 y=3（x+3）2

﹣3 ．

【考点】二次函数图象与几何变换． 【专题】几何变换．

2

【分析】先把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位可理解为把抛物线y=3x分别向下、

2

向左平移3个单位，再确定抛物线y=3x的顶点坐标为（0，0），然后把点（0，0）先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到的点的坐标为（﹣3，﹣3），再根据抛物线顶点式写出新抛物线的解析式．

2

【解答】解：抛物线y=3x的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到的点

2

的坐标为（﹣3，﹣3），所以在新坐标系中此抛物线的解析式为y=3（x+3）﹣3．

第12页（共25页）

2

故答案为y=3（x+3）﹣3．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 14．（4分）（2015?杭州校级二模）等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是 50°或80° ．

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】由等腰三角形的一个外角是100°，可分别从①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角去分析求解，即可求得答案． 【解答】解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角， 则此顶角为：180°﹣100°=80°， 则其底角为：（180°﹣80°）÷2=50°；

②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角， 则此底角为：180°﹣100°=80°；

故这个等腰三角形的底角为：50°或80°． 故答案为：50°或80°．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解． 15．（4分）（2015?杭州校级二模）如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线

2

y=（k＞0）经过A、E两点，若平行四边形AOBC的面积为30，则k= 10 ．

【考点】平行四边形的性质；反比例函数系数k的几何意义．

【分析】设出点A的横坐标为x，根据点A在双曲线y=（k＞0）上，表示出点A的纵坐标，从而表示出点A的坐标，再根据点B在x轴上设出点B的坐标为（a，0），然后过A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，如图，根据平行四边形的性质对角线互相平分得到点E为AB的中点，又EF∥AD，得到EF为△ABD的中位线，可得EF为AD的一半，而AD为A的纵坐标，可得出EF的长，由OB﹣OD可得BD的长，根据F为BD的中点，得到FB的长，由OB﹣FB可得出OF的长，由E在第一象限，由EF和OF的长表示出E的坐标，代入反比例解析式中，得到a=3x，再由BO与AD的积为平行四边形的面积，表示出平行四边形的面积，根据平行四边形AOBC的面积为30，列出等式，将a=3x代入可得出k的值． 【解答】解：如图，过A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，设A（x，），B（a，0）， ∵四边形AOBC是平行四边形， ∴AE=EB，

∴EF为△ABD的中位线，

第13页（共25页）

∴EF=AD=∴E（

，

，DF=（a﹣x），OF=OD+DF=），

，

∵E在双曲线y=上， ∴

?

=k，

∴a=3x，

∵S?AOBC=OB?AD=30， ∴a?=3x?=3k=30， 解得：k=10． 故答案为：10．

【点评】此题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行四边形及三角形的面积公式，以及点坐标与线段的关系，是一道综合性较强的题，本题的突破点是作出辅助线，建立点坐标与线段长度的联系． 16．（4分）（2015?婺城区模拟）PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是 ．

【考点】切线长定理． 【分析】连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．利用切线求得CA=CE，DB=DE，

PA=PB再得出PA=PB=r．利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF=FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可．

【解答】解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F． ∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E ∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，

∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，

第14页（共25页）

∴PA=PB=r．

在Rt△PBF和Rt△OAF中，

，

∴Rt△PBF∽Rt△OAF． ∴

=

=

=，

∴AF=FB， 在Rt△FBP中， ∵PF﹣PB=FB

222

∴（PA+AF）﹣PB=FB ∴（r+BF）﹣（r）=BF， 解得BF=

r，

2

2

2

2

2

2

∴tan∠APB===，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了切线长定理以及切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系．

三、解答题（本题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤，如果觉得有些题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以） 17．（6分）（2014?呼和浩特）已知实数a是不等于3的常数，解不等式组

，并依据a的取值情况写出其解集．

【考点】解一元一次不等式组．

第15页（共25页）

【专题】分类讨论． 【分析】首先分别解出两个不等式，再根据实数a是不等于3的常数，分两种情况进行讨论：①当a＞3时，②当a＜3时，然后确定出不等式组的解集． 【解答】解：

，

解①得：x≤3， 解②得：x＜a，

∵实数a是不等于3的常数，

∴当a＞3时，不等式组的解集为x≤3， 当a＜3时，不等式组的解集为x＜a．

【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 18．（8分）（2015?杭州校级二模）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． （1）将△ABC向右平移3个单位长度，画出平移后的△A1B1C1． （2）将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2．

（3）观察探究：△A2B2C2．可以由怎样的图形变换得到△A1B1C1．

【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换． 【分析】（1）分别将对应点A，B，C向右平移3个单位长度，即可得出图形； （2）分别将对应点A，B，C绕点O旋转180°，即可得出图形； （3）根据对变换过程的描述可以是多种或多次变换分析解答即可． 【解答】解：（1）如图所示，

（2）如图所示旋转：

（3）△A2B2C2可以绕A2点旋转180°，然后向上平移2个单位再左移1个单位长度得到△A1B1C1．

第16页（共25页）

【点评】此题考查作图和旋转变换问题，关键是根据对变换过程的描述可以是多种或多次变换分析，但变换的描述要准确，如：旋转变换要说明清楚绕某个点，某方向转多少度等．

19．（8分）（2015?杭州校级二模）解方程x﹣6x+5=0这是一个一元四次方程，根据该方

2422

程的特点，我们通常可以这样来解：设x=y，那么x=y，于是原方程可变为y﹣6y+5=0…①，

22

解这个方程得：y1=1，y2=5．当y=1时，x=1，∴x=±1；当y=5时，x=5，∴x=±．所以原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=，x4=﹣．

（1）这一解法在由原方程得到方程①的过程中，利用了 换元 法达到降次的目的，体现了 转化 的数学思想．

（2）参照上面解题的思想方法解方程：（

）﹣

2

4

2

+6=0．

【考点】换元法解分式方程；换元法解一元二次方程． 【专题】阅读型． 【分析】（1）用一个字母表示一个较复杂的代数式的方法叫换元法．

（2）用y代替，然后解关于y的一元二次方程，求得y的值后，再来求关于x的分

式方程，注意要验根． 【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．

故答案是：换元；转化；

（2）设y=

，则由原方程得到：y﹣5y+6=0，

2

整理，得 （y﹣3）（y﹣2）=0， 解得y=3或y=2． 当y=3时，

=3，即3x﹣x﹣3=0，则x=

2

，解得x1=，x2=

，

经检验，它们都是原方程的根； 当y=2时，

=2，即2x﹣x﹣2=0，则x=

第17页（共25页）

2

，解得x3=，x4=

，

经检验，它们都是原方程的根； 综上所述，原方程的根为：x1=

，x2=

，x3=

，x4=

．

【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换． 20．（10分）（2014?毕节市）我市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．

（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；

（2）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．

【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；列表法与树状图法． 【专题】图表型． 【分析】（1）根据C类有12人，占24%，据此即可求得总人数，然后利用总人数乘以对应的比例即可求得E类的人数； （2）利用列举法即可求解． 【解答】解：（1）该班总人数是：12÷24%=50（人）， 则E类人数是：50×10%=5（人），

A类人数为：50﹣（7+12+9+5）=17（人）． 补全频数分布直方图如下：

；

（2）画树状图如下：

第18页（共25页）

，

或列表如下：

共有12种等可能的情况，恰好1人选修篮球，1人选修足球的有4种， 则概率是：

=．

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 21．（10分）（2015?杭州校级二模）如图，一块平行四边形场地ABCD，测得∠ABC=60°，AB=2，AD=4，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接CE，AF．现计划在四边形AECF区域内种植花草．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）求四边形AECF的面积．

【考点】平行四边形的判定与性质． 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得S△ABD=S△CBD，又由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，可得AE∥CF，AE=CF，继而证得四边形AECF是平行四边形； （2）首先过点B作BH⊥AD，交DA的延长线于点H，利用勾股定理可求得BH，DH的长，然后利用三角形的面积公式，求得AE的长，继而求得BE与DF的长，则可求得答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S△ABD=S△CBD， ∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴AE∥CF，AE?BD=CF?BD，

∴AE=CF，

∴四边形AECF是平行四边形；

（2）解：过点B作BH⊥AD，交DA的延长线于点H， ∵∠ABC=60°， ∴∠ABH=30°， ∵AB=2， ∴AH=1，BH=

=

，

第19页（共25页）

∴DH=AH+AD=1+4=5， ∴BD=

=2

，

∵S△ABD=BD?AE=AD?BH， 即×2

×AE=×4×

， =，

， ． ， ，

解得：AE=∴BE=同理：DF=BE=

∴EF=BD﹣BE﹣DF=∴S四边形AECF=EF?AE=

【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 22．（12分）（2014?德阳）如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为．

（1）分别求出线段AP、CB的长；

（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线； （3）如果tan∠E=，求DE的长．

【考点】切线的判定． 【专题】证明题．

第20页（共25页）

【分析】（1）根据圆周角定理由AC为直径得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理可计算出BC=2，再根据垂径定理由直径FG⊥AB得到AP=BP=AB=2； （2）易得OP为△ABC的中位线，则OP=BC=1，再计算出

=

=

，根据相似三角形

的判定方法得到△EOC∽△AOP，根据相似的性质得到∠OCE=∠OPA=90°，然后根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；

（3）根据平行线的性质由BC∥EP得到∠DCB=∠E，则tan∠DCB=tan∠E=，在Rt△BCD中，根据正切的定义计算出BD=3，根据勾股定理计算出CD=成比例定理得

=

，再利用比例性质可计算出DE=

．

，然后根据平行线分线段

【解答】（1）解：∵AC为直径， ∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，AC=2，AB=4， ∴BC=

∵直径FG⊥AB， ∴AP=BP=AB=2；

（2）证明∵AP=BP，AO=OC ∴OP为△ABC的中位线， ∴OP=BC=1， ∴而∴

===

， =，

，

=2，

∵∠EOC=∠AOP， ∴△EOC∽△AOP， ∴∠OCE=∠OPA=90°， ∴OC⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（3）解：∵BC∥EP， ∴∠DCB=∠E， ∴tan∠DCB=tan∠E=

在Rt△BCD中，BC=2，tan∠DCB=∴BD=3，

第21页（共25页）

=，

∴CD=∵BC∥EP， ∴

=

，即．

=，

=，

∴DE=

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质． 23．（12分）（2014?德阳）如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）． （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=EF，请求出点P的坐标；

（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度．

【考点】二次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式． 【专题】综合题． 【分析】（1）由于抛物线与x轴的两个交点已知，抛物线的解析式可设成交点式：y=a（x+2）（x﹣4），然后将点C的坐标代入就可求出抛物线的解析式，再将该解析式配成顶点式，即可得到顶点坐标．

（2）先求出直线CD的解析式，再求出点E的坐标，然后设点P的坐标为（m，n），从而

可以用m的代数式表示出PM、EF，然后根据PM=EF建立方程，就可求出m，进而求出点P的坐标．

（3）先求出点M的坐标，然后设平移后的抛物线的解析式为y=x﹣2x﹣8+c，然后只需考虑三个临界位置（①向上平移到与直线EM相切的位置，②向下平移到经过点M的位置，③向下平移到经过点E的位置）所对应的c的值，就可以解决问题． 【解答】解：（1）根据题意可设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4）． ∵点C（0，﹣8）在抛物线y=a（x+2）（x﹣4）上， ∴﹣8a=﹣8． ∴a=1． ∴y=（x+2）（x﹣4） 2

=x﹣2x﹣8

第22页（共25页）

2

=（x﹣1）﹣9．

2

∴抛物线的解析式为y=x﹣2x﹣8，顶点D的坐标为（1，﹣9）．

（2）如图，

设直线CD的解析式为y=kx+b． ∴

2

解得：．

∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8． 当y=0时，﹣x﹣8=0， 则有x=﹣8．

∴点E的坐标为（﹣8，0）． 设点P的坐标为（m，n），

22

则PM=（m﹣2m﹣8）﹣（﹣m﹣8）=m﹣m，EF=m﹣（﹣8）=m+8． ∵PM=EF， ∴m﹣m=（m+8）． 整理得：5m﹣6m﹣8=0． ∴（5m+4）（m﹣2）=0 解得：m1=﹣，m2=2．

∵点P在对称轴x=1的右边， ∴m=2．

2

此时，n=2﹣2×2﹣8=﹣8． ∴点P的坐标为（2，﹣8）．

（3）当m=2时，y=﹣2﹣8=﹣10． ∴点M的坐标为（2，﹣10）．

2

设平移后的抛物线的解析式为y=x﹣2x﹣8+c，

2

①若抛物线y=x﹣2x﹣8+c与直线y=﹣x﹣8相切，

22

则方程x﹣2x﹣8+c=﹣x﹣8即x﹣x+c=0有两个相等的实数根．

2

∴（﹣1）﹣4×1×c=0． ∴c=．

②若抛物线y=x﹣2x﹣8+c经过点M，

2

则有2﹣2×2﹣8+c=﹣10． ∴c=﹣2．

2

③若抛物线y=x﹣2x﹣8+c经过点E，

2

则有（﹣8）﹣2×（﹣8）﹣8+c=0． ∴c=﹣72．

第23页（共25页）

22

2

综上所述：要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，抛物线向上最多平移个单位长度，向下最多平移72个单位长度．

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、用待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程、根的判别式、抛物线与直线的交点问题等知识，而把抛物线与直线相切的问题转化为一元二次方程有两个相等的实数根的问题是解决第三小题的关键，有一定的综合性．

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参与本试卷答题和审题的老师有：wdzyzlhx；1987483819；未来；zcl5287；gbl210；星期八；gsls；dbz1018；73zzx；sks；zcx；HLing；sd2011；zhjh；1160374（排名不分先后） 菁优网

2016年2月21日

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6c58.html