5-1节 孤立奇点及分类17

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华东理工大学《复变函数与积分变换》 华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案East china university of science and technology

第五章 留数及其应用 孤立奇点的概念 留数的定义、计算、留数定理 留数的定义、计算、 留数定理的应用(积分计算) 留数定理的应用(积分计算)

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5.1 孤立奇点的分类1、孤立奇点的定义 、若 f ( z )在 z 0 点不解析 (即奇点 ) 但在 z 0 的某个邻域内解析 ，

的孤立奇点。 则称 z 0 为 f ( z )的孤立奇点。例：1 sin z z = 0是 的孤立奇点。 、 e z 的孤立奇点。 z

1 f (z) = 有两个孤立奇点 z = i , z = 1 ( z i )( z + 1)

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1 z = 0 是函数 的奇点，但不是孤立奇 点，因为 的奇点， 1 sin z 1 1 → 0 (当 k → ∞ 时) z= ( k ∈ Z )都是它的奇点， 都是它的奇点， kπ kπ

2、孤立奇点的分类 、设 z 0 是 f ( z )的孤立奇点，则存在 z 0的去心邻域 0 < z z 0 < δ 的孤立奇点，

f ( z )在该邻域内解析且可展 开为洛朗级数

f (z) =

n = ∞

∑ a n ( z z0 ) =n

+∞

n=0

∑ a n ( z z0 ) +n

+∞

n =1

a n ( z z0 ) n ∑

+∞

的负幂项数， 可分为三类： 据展式中含有 ( z z0 )的负幂项数，孤立奇点 可分为三类：

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1)可去奇点 )即 的负幂项， 若洛朗展开式中不含有 ( z z 0 )的负幂项， a n = 0,

的可去奇点。 ( n = 1,2,......) 则称孤立奇点 z 0为 f ( z )的可去奇点。

判别法： 判别法： (i) 展开为洛朗级数； 展开为洛朗级数； (ii) 若 lim f ( z ) = l ( 有限值)则 z 0为 f ( z )的可去奇点。 有限值) 的可去奇点。z → z0

事实上， 为可去奇点， 事实上，若 z 0 为可去奇点，则f ( z ) = a0 + a1 ( z z0 ) + a2 ( z z0 )2 + ......显然， 显然， lim f ( z ) = a 0z → z0

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例：

1 z z sinz = (z + + .......) 由于 z 3! 5! zz2 z4 = 1 + ...... 3! 5!sin z 所以， 的可去奇点。 所以， z = 0是 的可去奇点。 z

2

5

0< z <δ

sin z 若补充 在 z = 0点的函数值为 1, z

成为函数的解析点。 则 z = 0 成为函数的解析点。

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hnology

2)极点 )的负幂项， 若洛朗展开式中只含有 有限项 ( z z 0 )的负幂项，即存在

正整数 m , 使得 a m ≠ 0 且当 n > m 时， a n = 0 ,

则称 z 0为 f ( z )的 m 级极点。 ( m ≥ 1, a m ≠ 0) 级极点。

即

f ( z ) = am ( z z0 )m + ... + a1( z z0 )1 + a0 + a1( z z0 ) + ...

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例如： 例如： ez 因为f ( z ) = 2 z1 z2 = 2 (1 + z + + ...) 2! z

1 z z2 2 1 = z + z + + + + ... 2! 3! 4!

所以， z = 0是 f ( z )的二级极点。 所以， 的二级极点。

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f ( z )还可表示为

h( z ) f (z) = ( z z0 ) m

h( z ) = a m + a m +1 ( z z0 ) + a m + 2 ( z z0 ) + ...其中， h( z 0 ) ≠ 0且 h( z )在 z 0的某邻域内解析； 的某邻域内解析； 其中，

例：

z2 f (z) = 2 ( z + 1)( z 1)2

z = 1为 f ( z )的二级极点， z = ± i是 f ( z )的一级极点。 的二级极点， 的一级极点。

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极点的判别法： 极点的判别法：(1) 展开为洛朗级数，用定义判别； 展开为洛朗级数，用定义判别； (2) z0为f ( z )的m 级极点 h( z ) f (z) = ( z z0 ) mz → z0

(3) z 0 为 f ( z )的极点 lim f ( z ) = ∞

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注意判别条件ez 1 例如： 例如： f ( z ) = 2 z因为

z = 0不是 f ( z )的二级极点， 的二级极点，

1 z2 z3 f (z) = 2 (z + + + ...) 2! 3! z

=z

1

1 z + + + ... 2! 3!

所以， 的一级极点。 所以， z = 0 是 f ( z )的一级极点。

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极点和零点的关系的零点。 零 使解析函数 f ( z ) = 0的点 z 0 称为 f ( z )的零点。 点若 f ( z )可表示为 f ( z ) = ( z z 0 ) m ( z ), 其中， 其中， m级零点： 级零点：

( z )在 z 0 点解析，且 ( z 0 ) ≠ 0 , m 为正整数 点解析，

则称 z 0为 f ( z )的 m 级零点。 级零点。

零点的判别： 若z 的解析点， 零点的判别：0 为 f ( z )的解析点，则 z 0 为 f ( z )的 m 级零点 f ( k ) ( z0 ) = 0 ( k = 0 ,1 ,...m 1 ) 而 f ( m ) ( z0 ) ≠ 0

例

的一级零点。 f ( z ) = z 3 1 z = 1为 f ( z )的一级零点。

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(4) z 为 f ( z )的 m 级极点 z 为 0 0

1 级零点； 的 m 级零点； f (z)

(5) 若 f ( z ) = P ( z ) , P ( z ) ≠ 0且 P ( z )在 z 点解析， 0 0点解析， Q(z)级零点， 级极点。 若 z 0是 Q ( z )的 m 级零点，则必为 f ( z )的 m 级极点。 事实上， 事实上，若 z 0为 Q ( z )的 m 级零点，则 级零点，

Q ( z ) = ( z z0 ) m ( z )

( z0 ) ≠ 0

h( z ) P(z) P(z) 1 f (z) = = = Q ( z ) ( z ) ( z z0 ) m ( z z0 ) m

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3)本性奇点 ) 的负幂项， 若 f ( z )的洛朗展开式中含有无 穷多项 ( z z0 )的负幂项， 的本性奇点。 则称z0为f ( z )的本性奇点。 判别法： 判别法：(i) 把 f ( z )展开为洛朗级数，用定 义判别； 展开为洛朗级数， 义判别； (ii) z0是f ( z )的本性奇点 lim f ( z )不存在，也不是 ∞ 不存在，z → z0

例：

为本性奇点， 函数 f ( z ) = e 以 z = 0为本性奇点，因为 1 1 2 1 n 1 z e = 1+ z + z + ... + z + ... 2! n! 的负幂项。 中含有无穷多 z 的负幂项。

1 z

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例1 试确定函数 解 由于

tan( z 1) sin( z 1) f (z) = = z 1 ( z 1) cos( z 1)2k + 1 zk = 1 + π 2

tan( z 1) f (z) = 的奇点类型。 的奇点类型。 z 1

显然， 显然，函数的奇点是z = 1, ( k = 0,± 1, ± 2...)

tan( z 1) sin( z 1) 1= 1 由于 lim = lim z →1 z →1 z 1 z 1 cos( z 1)所以， z = 1为可去奇点。 所以， 为可去奇点。

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又

sin( z 1) z 1

zk

≠ 0, cos( z 1) z k = 0

[cos( z 1)]′z k = sin( z 1) z k

2k + 1 π = sin 2n = 1) (n = 1)+1 ≠ 0 (

的一级零点， 的一级极点。 所以 zk 是 cos( z 1)的一级零点，是 f ( z )的一级极点。

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sin z 的孤立奇点的类型。 的孤立奇点的类型。 例 2 讨论 f ( z ) = z z ( e 1) 解：f ( z )的孤立奇点为 : z = 0, zk = 2kπi ( k = ±1,±2,...)

z3 z5 由于 sin z = z + ... 3! 5! z2 z3 e z 1 = z + + + ... 2! 3!于是

( z < +∞ )( z < +∞ )

1 1 f (z) = ( z 1+

z2 3! + z 2! +

z4 5! z2 3!

+ ... 1 ) = h( z ) + ... z

z < +∞

其中， 解析， 于是， 的一级极点。 其中， h( z0 ) ≠ 0且在z0解析， ,z0为f ( z )的一级极点。 于是

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以下考察 z k = 2 k π i

( k = ± 1, ± 2 ,...)

sin z sin z f (z) = = z z z ( e z 1) (e 1)

sin z 由于 zz

sin z 解析， 在zk 解析， zk ≠ 0且 zz

′ zk = e zk ≠ 0 而(e 1) zk = 0, (e 1) 的一级零点。 于是 zk = 2kπi ( k = ±1,±2,...)是e z 1的一级零点。的一级极点。 因此是 f ( z )的一级极点。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6bs4.html