数学通报2017-07期
更新时间:2024-02-20 23:17:01 阅读量: 经典范文大全 文档下载
- 数学通报2017年第一期推荐度:
- 相关推荐
篇一:圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用_4
圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
金荣生(上海市市北中学200071)
2003年北京高考数学卷第18(III)题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明,本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式,并由它们得到圆锥曲线的若干性质.
定理1:在圆锥曲线中,过弦AB中点M任作两条弦CD和EF,直线CE与DF交直线AB于P,Q,则有MP?MQ. 证明:如图1,以M为原点,AB所在的直线为y轴,建立直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0(*),设A(0,t),B(0,-t),知t,-t是Cy2?Ey?F?0的两个根,所以E?0.
若CD,EF有一条斜率不存在,则P,Q与A,B重合,结论成立.
若CD,EF斜率都存在,设C(x1,k1x1), D(x2,k1x2),E(x3,k2x3), F(x4,k2x4),P
(
,
p
)
,
Q
(
,
q
)
,
,
kx?kx
CE:y?2311?(x?x1)?k1x
1
x3?x1
p?
xx(k?k2)k2x3?k1x1xx(k?k2)
,同理q?241, 所以?(0?x1)?k1x1?131
x4?x2x3?x1x3?x1
(k1?k2)[x3x4(x1?x2)?x1x2(x3?x4)]
(x4?x2)?(x3?x1)
2
p?q?
将y?k1x代入(*)得(A?Bk1?Ck1)x2?(D?Ek1)x?F?0,又E?0得x1?x2?
?DA?Bk1?Ck1
2
,
x1x2?
FA?Bk1?Ck1
2
, 同理 x3?x4?
F?D
,,所以p?q?0,即xx?3422
A?Bk2?Ck2A?Bk2?Ck2
MP?MQ.
注:2003年高考数学北京卷第18(III)题,就是定理1中取圆锥曲线为椭圆,AB为平行长轴的弦的特殊情形. 定理2:在圆锥曲线中,过弦AB端点的切线交于点M,过M的直线l∥AB,过M任作两条弦CD和EF,直线CE与DF交直线l于P,Q,则有MP?MQ.
证明:如图2,以M为原点,AB所在的直线为y设圆锥曲线的方程为Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0(*),设A(x1,y1),B(x1,y2),则切线MA的方程是
2
2
DEDE
x1?y1?F?0,切线MB的方程是x1?y2?F?0,得2222
E(y1?y2)?0,所以E?0.(下面与定理1的证明相同,略)
特别的,当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时,点M在圆锥曲线的该对称轴上.
x2y2
性质1:过点M(m,0)做椭圆、双曲线2?2?1的弦CD,EF是其焦点轴,则直线CE、DF的连线交点G
ab
a2
在直线l:x?上.特别的,当M为焦点时,l就是准线.当M为准线与焦点轴所在直线的交点时,l就是过焦点的直
m
线.
证明:如图3,过M做直线AB垂直焦点轴所在的直线,直线CE与DF交直线AB于P,Q,则根据定理1,定理2得MP?MQ.
过G做GH垂直焦点轴所在直线于H,得
EMHE
?
MPHG
?
MQHG
?
FMFH
,设M(m,0),H(n,0),焦点轴长为
a?ma?m2
?2a,则有,得mn?a.
?a?na?n
注:性质1就是文[1]中的性质1,文[2]中的推
论2.
2. 性质2:过点M(m,0)做抛物线y?2px与抛物线的对称轴平行,则直线CE、DF的连线交点在直线l:x??m上.特别的,当M为焦点时,l就是准线.当M为准线与焦点轴的交点时,l就是过焦点的直线.
注:2001年全国高考数学卷第18题,就是性质2中M为焦点的情形.性质2
就是文[1]中的性质2,文[2]中的推论1.
2
CMDMa2?x?性质3:直线l:,过点M(m,0)做椭圆、交于点I,则. CIDIm证明:如图4,由定理1,定理2及性质1得:
CMCI
?
MPIG
?
MQIG
?
DMDI
.
性质4:过点M(m,0)做椭圆、双曲线
x2y2
??1的弦CD、EF,a2b2
a2
则直线CE、DF的连线交点G在直线l:x?上.
m
证明:如图5,过G做GH垂直焦点轴所在的直
线,由定理1,定理2得:
CMCI
?
MPIG
?
MQIG
?
DMDI
,由性质3得,点I在
a2
直线l:x?上,所
m
a2
以点G在直线l:x?上.
m
类似性质3、性质4得到性质5、性质6.
性质5:直线l:x??m,过点M(m,0)做抛物线I,则
2
CMCI
?
DMDI
.
性质6:过点M(m,0)做抛物线y?2px的弦G在直线l:x??m上. 注: 文[3]中的定理是性质4、性质6的特殊情形,即取M为焦点时,直线CE、DF的连线交点G落在相应准线上.
x2y2
性质7:过点M(m,0)做椭圆、双曲线2?2?1的弦CD,则以C,D
aba2
在直线l:x?上.
m
证明:如图6,设切线CG交直线l于G1,连接G1D,若G1D与圆锥曲线有除D点外的公共点F,做直线FM交圆锥曲线于E,由性质4知CE与DF的交点在直线l上,所以C、E、G1三点共线,与CG1是圆锥曲线的切线矛盾,所以G1D与圆锥曲线只有一个公共点D
,G1D是圆锥曲线的切线,G1与G重合, G在直线l上.
性质8:过点M(m,0)做抛物线y2?2px的弦CD,则以C,D
x??m上.
注:性质7、性质8也是性质4、性质6的一种极端情形,就是文[4]中的定理1.
a2x2y2
性质9:直线l:x?,过点M(m,0)做椭圆、双曲线??1的弦CD,C、D在l上的射影为C、D1,
m在焦点轴所在直线上的射影为C2、证明:如图
7,由CC1DD1
?
CMDM
?
CIDI
?
DD2CC2
,性质10:直线l:x??mD在l上的射影为C1、D1,C、
注:性质9、10即文[5]性质11:在圆锥曲线中,过弦CE与DF交于点G,过G做GI∥AB证明:如图8,直线CE与DF得:
MP?MQ, 所以
EMEI
?
MPIG
?
性质12:在圆锥曲线中,过弦AB端点的切线交
于点M,过M任作两条弦
CD和EF,直线CE与DF交于点G,过G做GI∥AB,直线GI交FE于I,则
EMEI
?
FMFI
.
性质11,12可认为是性质1,2,3,5的推广,从性质11,12出发可以得到类似性质4,6,7,8,9,10的结论,限于篇幅,本文不再给出。
参考文献
1 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报,2003,7
2 陈天雄.一道高考解析几何试题的引申和推广.数学通报,2002,6 3 廖应春.圆锥曲线焦点弦的一个性质.数学通报,2003,4 4李笛淼.圆锥曲线的两个性质.数学通报,1999,2
5姜坤崇.姜男.圆锥曲线的一个有趣性质极其推论.数学通报,2003,7
篇二:2017年高考数学模拟文科试卷
衡阳八中2017届高三年级第二次质检试卷
文科数学(试题卷)
注意事项:
1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次质检试卷,分两卷。其中共24题,满分150分,考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后,应检查试卷是否有缺页漏页,重影模糊等妨碍答题现象,如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后,考生禁止入场,监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上,选择题部分请用2B铅笔填涂,非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后,试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★
第I卷 选择题(每题5分,共60分)
本卷共12题,每题5分,共60分,在每题后面所给的四个选项中,只有一个是正确的。
1.若集合M={x∈N|x<6},N={x|(x﹣2)(x﹣9)<0},则 M∩N=( )
A.{3,4,5}
2.
已知 B.{x|2<x<6} C.{x|3≤x≤5} D.{2,3,4,5} =b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=( )
C.2D.3 A.﹣1 B.1
3.要得到函数y=cos2x的图象,只需把函数y=sin2x的图象( )
A
.向左平移
C
.向左平移个长度单位 B
.向右平移个长度单位 D
.向右平移个长度单位 个长度单位
4.已知定义在R上的函数f(x)=2|x|,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(0),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<b D.c<b<a
5.如图给出的计算1+++…+的值的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是( )
A.i≤2014 B.i>2014C.i≤2013D.i>2013
6.已知4张卡片上分别写着数字1,2,3,4,甲、乙两人等可能地从这4张卡片中选择1张,则他们选
择同一张卡片的概率为()
A. 1 B.111 C. D. 1642
11?的ab7.若直线2ax?by?2?0(a?0,b?0)被圆x2?y2?2x?4y?1?0截得的弦长为4,则
最小值是
A.11 B.- C.-2 D.4 22
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则当n>1时,Sn=( )
A
.()n﹣1B.2n﹣1 C
.()n﹣1D
.
(﹣1)
9.如图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积为( )
A
.B
. C.πD
.
10.
函数的图象大致为( )
A
. B.
C.D
.
11.设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点,与圆(x﹣5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )
A.(1,3) B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)
12.已知f(x)=x(1+lnx),若k∈Z,且k(x﹣2)<f(x)对任意x>2恒成立,则k的最大值
为( )
A.3
第II卷 非选择题(共90分)
二.填空题(每题5分,共20分)
13.从等腰直角△ABC的底边BC上任取一点D,则△ABD为锐角三角形的概率为 .
14.已知抛物线方程为y2=﹣4x,直线l的方程为2x+y﹣4=0,在抛物线上有一动点A,点A到y轴的距离为m,点A到直线l的距离为n,则m+n的最小值为 .
15.正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上,若该正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为这个球的表面积为 . ,则 B.4 C.5 D.6 16.设x,y
满足约束条件,若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为35,则a+b的最小值为.
三.解答题(共8题,共70分)
17.(本题满分12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=﹣7,S8=0.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)数列{bn}满足b1
=
,bnbn+1=2an,求数列{bn}的通项公式.
18.(本题满分12分)
某班甲、乙两名同学参加100米达标训练,在相同条件下两人10次训练的成绩(单位:秒)如下:
(1)请完成样本数据的茎叶图(在答题卷中);如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛,从成绩的稳定性方面考虑,选派谁参加比赛更好,并说明理由(不用计算,可通过统计图直接回答结论);
(2)从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次,求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率;
(3)经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计,甲、乙的成绩都均匀分布在区间?11,15?(单位:秒)之内,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率.
19.(本题满分12分)
如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B﹣ACD,点M是棱BC
的中点,
(Ⅰ)求证:OM∥平面ABD;
(Ⅱ)求证:平面ABC⊥平面MDO;
(Ⅲ)求三棱锥M﹣ABD的体积.
.
篇三:上海市2017年长宁区高三数学二模试卷Doc2
正在阅读:
数学通报2017-07期02-20
吃年夜饭作文400字02-05
医疗废物集中处置中心可研11-02
智能站考试题库大全11-02
浅谈水利工程建设管理存在的问题及对策04-06
难忘的旅行作文500字07-10
西安大学排名:2017西安大学排行榜02-13
赞家乡作文600字07-15
高中 高考 高三英语超强资料合集 语法总结 核心单词总结 易错题03-08
铲冰作文450字07-13
- 关于实施新冠肺炎疫情精准防控的指导意见
- 学生党员在疫情期间做出的思想汇报
- 《深度工作》读书感悟
- 抗"疫"期间思想汇报5篇
- 学校承诺书|面对疫情,我们承诺
- 公司战“疫”感悟_我想和你们在一起
- 国培送教下乡培训感悟总结
- 只盼“樱花”早盛开,烂漫如当年
- 疫情防控工作感悟
- 关于疫情的几点思考及感悟
- 读蒋廷黻《中国近代史》有感
- 党小组长培训资料汇
- 2019年度副镇长述职述德述廉报告
- 疫情期间教师直播感悟
- 新型冠状病毒肺炎疫情防控心得体会4篇
- 在书记抓党建工作述职评议大会上的讲话
- 《老师请回答》观后感
- 2020年党组织书记党建工作考核办法
- 在疫情防控暨企业复工复产工作会议上的讲话
- 企业疫期复工管理方式与措施
- 通报
- 数学
- 2017
- 07