上海海事大学概率统计习题 题库

概率论与数理统计

习题及题解

沈志军 盛子宁

第一章 概率论的基本概念

1．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，试求

P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB)

2．若A,B,C相互独立，试证明：A,B,C亦必相互独立。

3．试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之，其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件

A?{(x1,x2)|x1?x2?10}，

事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B)

4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率？（2）三次内打开的概率？（3）如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？

5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n个白球、m个红球，乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？

6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？

7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？

8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为0.92,0.93,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为0.15。试求下列事件的概率：（1）仓库发生意外时能及时发出警报；（2）乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？

9．设A,B为两随机变量，试求解下列问题： （1） 已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求：P(A|B)； （2） 已知P(A)?1/4,P(B|A)?1/3,P(A|B)?1/2。求：P(A?B)。

10．先把长为l的木棍折断为两部分，再把较大的那一部分折断成两部分。试求所得三部分能成三角形的概率？

11．甲、乙、丙三人向同一飞机射击，假设他们的命中率都是0.4。

又若只有一人命中时，飞机坠毁的概率为0.2；若恰有二人命中时，飞机坠毁的概率为0.6；若三人同时命中，则飞机必然坠毁。试求：（1）飞机坠毁的概率；（2）若飞机已经坠毁，则坠毁的飞机是因为恰有二人命中的概率？

12．今有９门高射炮独立地向一飞机射击，每门炮能击中飞机的概率为0.6。（１）同时各射一弹，试求飞机被击中的概率；（２）欲以99％以上的把握击中飞机，试问至少要布置多少门炮同时射击？

13．某工厂有职工4745名，每名职工生日在一年中某一天的概率为1/365，试求下列事件的概率：（１）恰有４名职工生日在同一天（２）至少有４名职工生日在同一天（B）？ (A)；

14．假设飞机的每个发动机在飞行中出现故障的概率为1?p，且各发动机故障与否是相互独立的。如果至少有50%的发动机正常，飞机可成功飞行。问对于多大的p，４个发动机比２个发动机更为保险？

15．设事件A,B,C满足：

P(A)?P(B)?P(C)?1/4,P(AC)?1/8,P(AB)?P(BC)?0

试求A,B,C三事件至少有一发生的概率？

16．某地区气象资料表明，邻近的甲、乙两城市中的甲市全年雨

天比例为12%，乙市全年雨天比例为９％，甲、乙两市至少的一城市为雨天比例为16.8%，试求下列事件的概率：（１）甲、乙两市同为雨天；（２）在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天；（３）在乙市无雨的条件下甲市亦无雨？

17．某地以英文字母及阿拉伯数字组成７位牌照。试求下列事件的概率：（１）牌照的前２位是英文字母、后５位是阿拉伯数字（A）；（２）牌照中有２位是英文字母、另外５位是阿拉伯数字（B）？

18．甲、乙两个乒乓球运动员进行单打比赛，如果每赛一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛既可采用三局两胜制，也可以采用五局三胜制，问采用哪种赛制对甲更有利？

19．平面上画有平行线若干、其间距交替地等于1.5厘米及8厘米。今任意地向平面投掷一半径为2.5厘米的圆片。试求该圆与任一平行线不相交的概率？

20．甲、乙两人相约于一小时内在某地会面，商定先到者等候10分钟，过时即可离去。试求他们能会到面的概率？

21．平面上画有距离为a(a?0)的平行线若干条。今向此平面任意投一长为l(l?a)的小针。试求小针与平行线之一相交的概率？

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