微专题40形如f(x)ex+g(x)ln x型的函数问题答案
更新时间:2023-04-18 18:06:01 阅读量: 实用文档 文档下载
微专题40
1.答案:???
?1e ,+∞;(-∞,0)和(0,1). 解析:f ′(x )=1+ln x ,令f ′(x )>0,得x >1e
,所以函数f (x )的单调递增区间为????1e ,+∞; g ′(x )=e x (x -1)x 2
,令g ′(x )<0,得x <1,所以函数g (x )的单调递减区间为(-∞,0)和(0,1).
2.答案:0.
解析:f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=e x +1x ≥x +1+1x
≥3,所以f ′(x )的零点个数是0. 3.答案:e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1).
解析:设F (x )=f (x )e x ,则F ′(x )=f ′(x )-f (x )e x
>0,即 F (x )=f (x )e x 在R 上单调递增,又因为x 1<x 2,所以f (x 1)e x 1<f (x 2)e x 2
,所以e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1). 4.答案:(0,+∞).
解析:令g (x )=f (x )+1e x ,则g ′(x )=f ′(x )-f (x )-1e x
>0,所以 g (x )在R 上是增函数,又g (0)=4,所以解集为(0,+∞).
5.答案:(-∞,-3]∪{2}.
解析:当x >1时,f (x )=ln x +e x -3,所以函数f (x )在(1,+∞)上单调递增,又f (1)=e -3<0,f (2)=ln2+e 2-3>0,所以函数f (x )在(1,+∞)上有且只有一个零点,且该零点在区间(1,
2)内;又因为函数f (x )有且只有2个零点,所以f (x )=x 2+ax +2在区间(-∞,1]上有且只有
一个零点.①当-a 2
≤1时,a 2-8=0,解得a =±22(舍负); ②f (1)<0,解得a <-3;
③f (1)=0即a =-3时,经检验符合题意;综上所述,a ≤-3或a =2 2.
6.答案: e.
解析:设h (x )=ln x -x 22e ,则h ′(x )=1x -x e =e -x 2
e x
,所以当x ∈(0,e)时,h ′(x )>0,h (x )单调递增,当x ∈(e ,+∞)时,h ′(x )<0,h (x )单调递减,所以h (x )的最大值为h (e)=0,即
ln x ≤x 22e ,所以ln x x ≤x 2e .记g (x )=f (x )x =???x 2e
,x ≥a ,ln x x
,0<x <a 由题意知,对任意实数k 总存在实数x 0,使得k =g (x 0)成立,所以函数g (x )的值域为R ,故实数a 的值为 e.
7.证明:∵f ′(x )=1x ,∴切线l :y -ln x 0=1x 0(x -x 0),即l :y =1x 0
x +ln x 0-1,① 设直线l 与曲线y =g (x )相切于点(x 1,e x 1),∵g ′(x )=e x ,∴e x 1=1x 0,即x 1=-ln x 0.则直线l
也为y -1x 0=1x 0(x +ln x 0),即y =1x 0x +ln x 0x 0+1x 0
,② 由①②得ln x 0-1=ln x 0x 0+1x 0,∴ln x 0=x 0+1x 0-1
,下证:在区间(1,+∞)上x 0存在且唯一. 设φ(x )=ln x -x +1x -1
,φ′(x )=1x +2(x -1)2=x 2+1x (x -1)2, ∵x >0且x ≠1,∴φ′(x )>0在(1,+∞)上恒成立,φ(x )在(1,+∞)上单调递增.又φ(e)
=lne -e +1e -1=-2e -1<0,φ(e 2)=lne 2-e 2+1e 2-1=e 2-3e 2-1
>0.结合零点存在定理,说明方程 φ(x )=0必在区间(e ,e 2)上有唯一的根,这个根就是所求的唯一x 0,故结论成立.
8.答案:(1)单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞);(2)(-∞,2].
解析:(1)f ′(x )=e x -1-a ,设切点为(x 0,0),依题意,???f (x 0)=0,f ′(x 0)=0,即???e x 0-1-ax 0=0,e x 0
-1-a =0, 解得???x 0=1,a =1,
所以f ′(x )=e x -1-1,当x <1时,f ′(x )<0;当x >1时,f ′(x )>0,故f (x )的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞).
(2)令g (x )=f (x )-m (x -1)ln x ,x >0,则g ′(x )=e x -1-m ?
???ln x +x -1x -1, 令h (x )=g ′(x ),则h ′(x )=e x -1-m ????1x +1x 2,
①若m ≤12
,因为当x >1时,e x -1>1,m ????1x +1x 2<1,所以h ′(x )>0,所以h (x )即 g ′(x )在(1,+∞)上单调递增.又因为g ′(1)=0,所以当x >1时,g ′(x )>0,从而g (x )在[1,+∞)上单调递增,而g (1)=0,所以g (x )>0,即f (x )>m (x -1)ln x 成立;
②若m >12
,可得h ′(x )=e x -1-m ????1x +1x 2在(0,+∞)上单调递增,又因为h ′(1)=1-2m <0,h ′(1+ln(2m ))=2m -m ???
?11+ln (2m )+1[1+ln (2m )]2>0,所以存在x 1∈(1,1+ln(2m )),使得h ′(x 1)=0,且当x ∈(1,x 1)时,h ′(x )<0,所以h (x )即g ′(x )在(1,x 1)上单调递减,又因为g ′(1)=0,所以当x ∈(1,x 1)时,g ′(x )<0,从而g (x )在(1,x 1)上单调递减,而g (1)=0,所以当x ∈(1,x 1)时,g (x )<0,即f (x )>m (x -1)ln x 不成立;
综上所述,m 的取值范围是]21,(-∞.
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