高中数学立体几何题库全练习

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选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 立体几何基础题题库二（有详细答案）

361. 有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面?

解析：有5个暴露面.

如图所示，过V 作VS ′∥AB ，则四边形S ′ABV 为平行四边形，有∠S ′VA=∠VAB=60°，从而Δ

S ′VA 为等边三角形，同理ΔS ′VD 也是等边三角形，从而ΔS ′AD 也是等边三角形，得到以ΔVAD 为底，以S ′与S 重合.

这表明ΔVAB 与ΔVSA 共面，ΔVCD 与ΔVSD 共面，故共有5个暴露面.

362. 若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .(只须写出一个可能的值)

解析： 该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.

排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.

由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.

对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设

AD=1，取AD 的中点为M ，平面BCM 把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD ⊥面BCM ，且V A —BCM =V D —BCM ，所以

V ABCD =3

1S ΔBCM ·AD. CM=22DM CD -=22)21

(2-=215.设N 是BC 的中点，则MN ⊥BC ，MN=22CN CM -=14

15-=211，从而S ΔBCM =21×2×211=211， 故V ABCD =

31×211×1=611.

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对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=

122·)b a c )(a c b )(c b a (222222222-+-+-+， 不妨令a=b=2，c=1，则

V=12

2·)441)(414)(144(-+-+-+ =122·7=12

14. 363. 湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm 的空穴，求该球的半径.

解析：设球的半径为R ，依题意知截面圆的半径r ＝12,球心与截面的距离为d ＝R-8，由截面性质得：r 2+d 2＝R 2,即

122+(R-8)2＝R 2.

得R ＝13 ∴该球半径为13cm.

364. 在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为3米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).

解析：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S ，垂直于光线的大圆面积为S ′，则Scos30°＝S ′,并且S ′＝9π，所以S ＝63π(米2

) 365. 设棱锥M —ABCD 的底面是正方形，且MA ＝MD ，MA ⊥AB ，如果ΔAMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

解析： ∵AB ⊥AD ，AB ⊥MA ，

∴AB ⊥平面MAD ，

由此，面MAD ⊥面AC.

记E 是AD 的中点，

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大学视频 院校库 从而ME ⊥AD.

∴ME ⊥平面AC ， ME ⊥EF

设球O 是与平面MAD 、AC 、平面MBC 都相切的球.

不妨设O ∈平面MEF ，于是O 是ΔMEF 的内心.

设球O 的半径为r ，则r ＝

MF EM EF S MEF ++△2 设AD ＝EF ＝a,∵S ΔAMD ＝1.

∴ME ＝a 2.MF ＝22)2(a

a +, r ＝2

2)2(22

a a a a +++≤2

222+＝2-1 当且仅当a ＝a

2，即a ＝2时，等号成立. ∴当AD ＝ME ＝2时，满足条件的球最大半径为2-1.

366. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，期棱长为a.

(1)求证BD ⊥截面AB 1C ；（若一条直线垂直于一条斜线在这平面内的射影，则这条直线垂直于这条斜线）

(2)求点B 到截面AB 1C 的距离；

(3)求BB 1与截面AB 1C 所成的角的余弦值。

()111:DD BD AC ⊥??⊥?⊥?

证明面ABCD BD AC

同理BD 1⊥AB 1.∴BD 1⊥面ACB 1. (2)AB=BC=BB 1?G 为△AB 1C 的中心.AC=2a

AG=3

6323a 22=?? a ∴BG=222229

396)36(a a a a a =-=-=33a (3)∠BB 1G 为所求

cos ∠BB 1G=3

63611==a a BB GB 367. 已知Ｐ为ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点，求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．

解析： 因M 为PB 的中点，连BD ∩AC 于O 后，可将PD 缩小平移到MO ，可见MO 为所求作的平行线． 证明 连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ，

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选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，

∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ?平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，

∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．

368. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M ，N ，Ｅ，Ｆ分别是棱Ｂ1Ｃ1，A 1D 1，Ｄ1Ｄ，ＡＢ的中点．

（１）求证：Ａ1Ｅ⊥平面ＡＢＭＮ．

（２）平面直线A 1E 与MF 所成的角．

解析：（１）要证A 1E ⊥平面ABMN ，只要在平面中找到两条相交直线与A 1E 都垂直，显然MN 与它垂直，这是因为MN ⊥平面A 1ADD 1，另一方面，AN 与A 1E 是否垂直，这是同一个平面中的问题，只要画出平面几何图形，用平几知识解决．（２）为（１）的应用．

证明 （１）∵AB ⊥平面A 1ADD 1，

而Ａ1Ｅ?平面A 1ADD 1，

∴AB ⊥Ａ1Ｅ．在平面A 1ADD 1中，A 1E ⊥AN ，

∵AN ∩AB ＝A ，∴A 1E ⊥平面ABMN ．

解 （２）由（１）知A 1E ⊥平面ABMN ，而MF ?平面ABMN ，∴A 1E ⊥MF ， 则A 1E 与MF 所成的角为９０°

369. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M 为棱C Ｃ1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A 1O ⊥平面MBD ．

解析：要证A 1O ⊥平面MBD ，只要在平面MBD 内找到两条相交直线与A 1O 都垂直，首先想到DB ，先观察 A 1O 垂直DB 吗？

方法１：发现A 1O 平分DB ，想到什么？（△A 1DB 是否为等腰三角形）

∵A 1D ＝A 1B ，DO ＝OB ，∴A 1O ⊥DB ．

方法２：A 1O ⊥DB 吗？即DB ⊥A 1O 吗？DB 垂直包含A 1O 的平面吗？（易见DB ⊥平面A 1ACC 1）

再观察A 1O 垂直何直线？DM ？BM ？因这两条直线与A 1O 均异面，故难以直接观察，平面MDB 中还有何直线？易想到MO ，因MO 与A 1O 相交，它们在同一平面内，这是一个平几问题，可画出平几图进行观察．

证明 取CC 1中点M ，连结MO ，∵DB ⊥A 1A ，DB ⊥AC ，A 1A ∩AC=A ，∴DB ⊥平面A 1ACC 1，而

A 1O ?平面A 1ACC 1，∴A 1O ⊥D

B ．在矩形A 1AC

C 1中，∵tan ∠AA 1O=

22，tan ∠MOC=2

2，∴∠AA 1O=∠MOC ，则∠A 1OA ＋∠MOC ＝９０°，∴A 1O ⊥OM ，∵OM ∩DB ＝O ，∴A 1O ⊥平面MBD ． 370. 点P 在线段AB 上，且AP ∶PB ＝１∶２，若A ，B 到平面α的距离分别为a ，b ，求点P 到平面α的距离． 解析：（１）A ，B 在平面α的同侧时，P 平面α的距离为

3

23132b a b a +=+； （２）A ，B 在平面α的异侧时，P 平面α的距离为

32)(3132b a b a -=-+．

点评 一是画图时，只要画出如右上图的平面图形即可，无需画出空间图形；二是对第（２）种情形，若以平面为“水平面”，在其上方的点高度为正，在其下方的点高度为负，则第（２）种情形的结论，就是将（１）结论中的b 改为(－b)，而无需再画另一图形加以求解．

371. 若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面 （ ）

（Ａ）有且只有一个 （Ｂ）可能存在也可能不存在

（Ｃ）有无数多个 （Ｄ）一定不存在

（Ｂ）

解析：若存在，则a ⊥b ，而由条件知，a 不一定与b 垂直．

372. 在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，若E 是

A

1C 1的中点，则直线CE 垂直于 （ ）

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上万张大学图片 大学视频 院校库 （Ａ）AC （Ｂ）BD （Ｃ）A 1D （Ｄ）A 1D 1

解析：（Ｂ）

BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1，∴BD ⊥平面A 1ACC 1，∴BD ⊥CE ．

373. 定点P 不在△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 （ ）

（Ａ）１个 （Ｂ）２个 （Ｃ）３个 （Ｄ）４个

解析：D

过P 作一个与AB ，AC 都平行的平面，则它符合要求；设边AB ，BC ，CA 的中点分别为E ，F ，G ，则平面PEF 符合要求；同理平面PFG ，平面PGE 符合要求

374. P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，P 到B ，C ，D 三点的距离分别是5，17，13，则P 到A 点的距离是

（ ） （Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）3

（Ｄ）４ 解析：（A ）

设AB ＝a ，BC ＝b ，PA ＝h ，则a 2+h 2=5, b 2+h 2=13, a 2+b 2+h 2=17,∴h=1．

375. 线段AB 的两个端点A ，B 到平面α的距离分别为6cm, 9cm, P 在线段AB 上，AP ：PB ＝１：２，则P 到平面α的距离为 ．

解析：７cm 或１cm ．

分A ，B 在平面α的同侧与异侧两种情况．同侧时，P 到平面α的距离为3

19326?+?＝７（cm ），异侧时，P 到平面α的距离为3

19326?-?＝１（cm ）． 376. △ABC 的三个顶点A ，B ，C 到平面α的距离分别为2cm, 3cm, 4cm ,

且它们在α的同一侧，则

△ABC 的重心到平面α的距离为 ．

解析：3cm ．

3543++＝3cm ． 377. Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AC ＝６，BC ＝８，EC ⊥平面ABC ，且EC ＝１２，则ED ＝ ． 解析：１３．

AB ＝１０，∴CD ＝５，则ED ＝22125+＝１３．

378. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，求：

（１）A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角；

（２）B 1B 在平面A 1C 1B 所成角的正切值．

解析： 求线面成角，一定要找准斜线在平面内的射影．

（１）先找到斜足A 1，再找出B 在平面A 1B 1CD 内的射影，即从B 向平面A 1B 1CD 作垂线，一定要证明它是平面A 1B 1CD 的垂线．

这里可证BC 1⊥平面A 1B 1CD ，O 为垂足，

∴A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影．

（２）若将平面D 1D 1BB 竖直放置在正前方，则A 1C 1横放在正前方，估计B 1B 在平面A 1C 1B 内的射影应落在O 1B 上，这是因为A 1C 1⊥平面D 1DBB 1，∴故作B 1H ⊥O 1B 交于H 时，BH 1⊥A 1C 1，即H 为B 1在平面A 1C 1B 内的射影．另在求此角大小时，只要求∠B 1BO 1即可．

解析：（１）如图，连结BC 1，交B 1C 于O ，连A 1O ．

∵A 1B 1⊥平面B 1BCC 1，BC 1?平面B 1BCC 1，∴A 1B 1⊥BC 1．

又B 1C ⊥BC 1，A 1B 1∩B 1C ＝B 1，

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选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 ∴BC 1⊥平面A 1B 1CD ，O 为垂足，

∴A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影， 则∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角．

sin ∠BA 1O ＝2

11=B A BO ，∴∠BA 1O ＝３０°． （２）连结A 1C 1交B 1D 1于O 1，连BO 1，

作B 1H ⊥BO 1于H ．∵A 1C 1⊥平面D 1DBB 1，∴A 1C 1⊥B 1H ．

又B 1H ⊥BO 1，A 1C 1∩BO 1＝O 1，∴B 1H ⊥平面A 1C 1B ，

∴∠B 1BO 1为B 1B 与平面A 1C 1B 所成的角，

tan ∠B 1BO =22111=B B O B ，即B 1B 与平面A 1C 1B 所成的角的正切值为2

2． 379. Rt △ABC 中，∠C ＝９０°，BC ＝３６，若平面ABC 外一点P 与平面A ，B ，C 三点等距离，且P 到平面ABC 的距离为８０，M 为AC 的中点．

（１）求证：PM ⊥AC ；

（２）求P 到直线AC 的距离；

（３）求PM 与平面ABC 所成角的正切值．

解析：点P 到△ABC 的三个顶点等距离，则P 在平面ABC 内的射影为△ABC 的外心，而△ABC 为直角三角形，其外心为斜边的中点．

证明 （１）∵PA ＝PC ，M 是AC 中点，∴PM ⊥AC

解 （２）∵BC ＝３６，∴MH ＝１８，又PH ＝８０，

∴PM ＝8218802222=+=+MH PH ，即P 到直线AC 的距离为８２；

（３）∵PM=PB=PC ，∴P 在平面ABC 内的射线为△ABC 的外心，

∵∠C=90° ∴P 在平面ABC 内的射线为AB 的中点H 。

∵PH ⊥平面ABC ，∴HM 为PM 在平面ABC 上的射影，

则∠PMH 为PM 与平面ABC 所成的角，∴tan ∠PMH ＝9

401880==MH PH 380. 如图，在正四面体ABCD 中。各面都是全等的正三角形的四面体，M 为AD 的中点，求CM 与平面BCD 所成角的余弦值．

解析：要作出CM 在平面BCD 内的射影，关键是作出M 在平面BCD 内的射影，而M 为AD 的中点，故只需观察A 在平面BCD 内的射影，至此问题解法已明朗．

解 作AO ⊥平面BCD 于O ，连DO ，作MN ⊥平面BCD 于N ，则N ∈OD ．

设AD ＝a ，则OD ＝a a 332332=?

，∴AO ＝a OD AD 3622=-，∴MN ＝a 66． 又∵CM ＝a 2

3，∴CN ＝a a MN CM 62112722==-． ∴CM 与平面BCD 所成角的余弦值为

37=CM CN ． 381. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱A 1A 的中点，N 在AB 上，且AN ∶NB ＝１∶３，求证：C 1M ⊥MN ． 解析：在空间中作出两条直线垂直相对较在平面内作两条直线垂直难．此题C 1M 与MN 是相交直线，一种方法可通过勾股定理来验证它是否垂直，另一方法为：因MN 是平面A 1ABB 1内的一条直线，可考虑MC 1在平面A 1ABB 1内的射影． 证明１ 设正方体的棱长为ａ，则MN ＝

a 45， C 1M ＝a a

a a 23)2(222=++，C 1N

＝a a a a 441)43(222=++，

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选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 ∵MN ＋MC 1＝NC 1，∴C 1M ⊥MN ．

证明２ 连结B 1M ，∵C 1B 1⊥平面A 1ABB 1，

∴B 1M 为C 1M 在平面A 1ABB 1上的射影．

设棱长为a ，∵AN ＝a 41，AM ＝a 21，∴tan ∠AMN ＝21， 又tan ∠A 1B 1M ＝2

1，则∠AMN ＝∠A 1B 1M ，∴B 1M ⊥MN ， 由三垂线定理知，C 1M ⊥MN ．

382. 如图，ABCD 为直角梯形，∠DAB ＝∠ABC ＝９０°，AB ＝BC ＝a ，AD ＝２a ，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝a ．

（１） 求证：PC ⊥CD ；

（２） 求点B 到直线PC 的距离．

解析：（１）要证PC 与CD 垂直，只要证明AC 与CD 垂直，可按实际情形画出底面图形进行证明．（２）从B 向直线PC 作垂直，可利用△PBC 求高，但需求出三边，并判断其形状（事实上，这里的∠PBC ＝９０°）；另一种重要的思想是：因PC 在平面PAC 中，而所作BH 为平面PAC 的斜线，故关键在于找出B 在平面PAC 内的射影，因平面PAC 处于“竖直状态”，则只要从B 作“水平”的垂线，可见也只要从B 向AC 作垂线便可得其射影．

证明 （１）取AD 的中点E ，连AC ，CE ，

则ABCE 是正方形，△CED 为等腰直角三角形．

∴AC ⊥CD ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴AC 为PC 在平面ABCD 上的射影，∴PC ⊥CD ；

解 （２）连BE 交AC 于O ，则BE ⊥AC ，

又BE ⊥PA ，AC ∩PA ＝A ，∴BE ⊥平面PAC ．

过O 作OH ⊥PC 于H ，连BH ，则BH ⊥PC ．

∵PA ＝a ，AC ＝a 2，∴PC ＝a 3，则OH ＝a a

a a 663221=??， ∵BO ＝a 2

2，∴BH ＝a OH BO 3622=+ 383. 四面体ABCD 的四个面中，是直角三角形的面至多有 （ ）

（Ａ）１个 （Ｂ）２个

（Ｃ）３个 （Ｄ）４个

解析：（D ）

设底面为直角三角形，从底面的一个锐角顶点作平面的垂线，则这样的四面体的每个面都是直角三角形．

384. 直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在平面α外，C 在平面α内的射影为C 1，且C 1?AB ，则△C 1AB 为 （ ）

（Ａ）锐角三角形 （Ｂ）直角三角形

（Ｃ）钝角三角形 （Ｄ）以上都不对

解析：（C ）

∵C 1A 2+C 1B 2

385. △ABC 在平面α内，∠C ＝90°，点Ｐ?α，PA=PB=PC=7, AB=10, 则点P 到平面α的距离等于

解析：62．

∵PA ＝PB ＝PC,∴P 在平面α内的射影为△ABC 的外心Ｏ，∵∠C ＝90°，∴Ｏ为AB 的中点，∵AO ＝５，PA ＝７，∴PO ＝625722=-

386. P 是边长为a 的六边形

ABCDEF 所成平面外一点，

PA ⊥AB ，PA ⊥AF ，PA ＝a ，则点P 到边CD 的距离是 解析：2a ．

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解析：如图，正四棱锥P —ABCD 的一个对角面△PAC 。设棱锥的底面边长为a ，高为h ，斜高为h ′，底面中心为O ，连PO ，则PO ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥AC ，在△PAC 中，AC=a 2，PO=h ，

∴ah PO AC S PAC 2

221=?=? B P A B

C

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选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 在△PBC 中，h a S PBC '=

?2° ∴2:6:22

1:22:='='=

??h h h a ah S S PBC PAC ∴h:h ′=2:3. 取BC 中点E ，连OE ，PE ，可证∠PEO 即为侧面与底面所成两面角的平面角。 在Rt △POE 中，sin ∠PEO=

23='=h h PE PO ， ∴∠PEO=3π，即侧面与底面所成的角为3

π. 394. 如右图，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1C 1⊥BC 1，AB ⊥AC ，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60°角。

（1）求证：AC ⊥面ABC 1；

（2）求证：C 1点在平面ABC 上的射影H 在直线AB 上；

（3）求此三棱柱体积的最小值。

解析：（1）由棱柱性质，可知A 1C 1//AC

∵A 1C 1⊥BC 1，

∴AC ⊥BC 1，又∵AC ⊥AB ，∴AC ⊥平面

ABC 1 （2）由（1）知AC ⊥平面ABC 1，又AC ?平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ABC 1

在平面ABC 1内，过C 1作C 1H ⊥AB 于H ，则C 1H ⊥平面ABC ，故点C 1在平面ABC 上

的射影H 在直线AB 上。

（3）连结HC ，由（2）知C 1H ⊥平面ABC ，

∴∠C 1CH 就是侧棱CC 1与底面所成的角，

∴∠C 1CH=60°，C 1H=CH ·tan60°=CH 3

V 棱柱=CH CH H C AC AB H C S ABC 333232

12111=???=??=?? ∵CA ⊥AB ，∴CH 2=≥AC ，所以棱柱体积最小值33362=?。 395. 已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=900，∠BAC=300

，BC=1，AA 1=6，M 为CC 1中点，求证：AB 1⊥A 1M 。 解析：因结论是线线垂直，可考虑用三垂线定理或逆定理

∵ ∠ACB=900

∴ ∠A 1C 1B 1=900

即B 1C 1⊥C 1A 1

又由CC 1⊥平面A 1B 1C 1得：CC 1⊥B 1C 1

∴ B 1C 1⊥平面AA 1C 1C

∴ AC 1为AB 1在平面AA 1C 1C 的射影

由三垂线定理，下证AC 1⊥A 1M 即可

在矩形AA 1C 1C 中，AC=A 1C 1=3，AA 1=CC 1=6 ∵ 22326A C MC 111==

，2263A A C A 1

11==

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A A C 111111= ∴ Rt △A 1C 1M ∽Rt △AA 1C 1

∴ ∠1=∠2

又∠2+∠3=900

∴ ∠1+∠3=900

∴ AC 1⊥A 1M

∴ AB 1⊥A 1M

评注：利用三垂线定理的关键是找到基本面后找平面的垂线

396. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ，在侧棱BB 1上截取BD=

2a ，在侧棱CC 1上截取CE=a ，过A 、D 、E 作棱柱的截面ADE

（1）求△ADE 的面积；（2）求证：平面ADE ⊥平面ACC 1A 1。

解析：分别在三个侧面内求出△ADE 的边长 AE=2a ，AD=

25a ，DE=a 2

5)2a (a )BD EC (BC 2222=+=-+ ∴ 截面ADE 为等腰三角形 S=

222a 4

6)a 22()a 25(a 221h AE 21=-??=? （2）∵ 底面ABC ⊥侧面AA 1C 1C

∴ △ABC 边AC 上的高BM ⊥侧面AA 1C 1C

下设法把BM 平移到平面AED 中去

取AE 中点N ，连MN 、DN

∵ MN //==21EC ，BD //==21EC ∴ MN //=

=BD ∴ DN ∥BM

∴ DN ⊥平面AA 1C 1C

∴ 平面ADE ⊥平面AA 1C 1C

397. 斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是边长为4cm 的正三角形，侧棱AA 1与底面两边AB 、AC 均成600的角，AA 1=7

（1）求证：AA 1⊥BC ；（2）求斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的全面积；（3）求斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积；（4）求AA 1到侧面BB 1C 1C 的距离。

解析：设A 1在平面ABC 上的射影为0

∵ ∠A 1AB=∠A 1AC

∴ O 在∠BAC 的平行线AM 上

∵ △ABC 为正三角形

∴ AM ⊥BC 又AM 为A 1A 在平面ABC 上的射影

∴ A 1A ⊥BC

（2）

3142

374AB A sin AA AB S S 11B B AA C C AA 1111=??=∠?== ∵ B 1B ∥A 1A

∴ B 1B ⊥BC ，即侧面BB 1C 1C 为矩形

∴ 2874S C C BB 11=?=

又3444

3S S 2ABC C B A 111=?==?? ∴ S 全=)cm (336282342823142

+

=?++?

（3）∵ cos ∠A 1AB=cos ∠A 1AO ·cos ∠OAB

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选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 ∴ cos ∠A 1AO=3

330cos 60cos OAB cos AB A cos 001==∠∠ ∴ sin ∠A 1AO=3

6 ∴ A 1O=A 1Asin ∠A 1AO=

63

7 ∴ )cm (22863

7443O A S V 321ABC =??=?=? （4）把线A 1A 到侧面BB 1C 1C 的距离转化为点A 或A 1到平面BB 1C 1C 的距离

为了找到A 1在侧面BB 1C 1C 上的射影，首先要找到侧面BB 1C 1C 的垂面

设平面AA 1M 交侧面BB 1C 1C 于MM 1

∵ BC ⊥AM ，BC ⊥A 1A

∴ BC ⊥平面AA 1M 1M

∴ 平面AA 1M 1M ⊥侧面BCC 1B 1

在平行四边形AA 1M 1M 中

过A 1作A 1H ⊥M 1M ，H 为垂足

则A 1H ⊥侧面BB 1C 1C ∴ 线段A 1H 长度就是A 1A 到侧面BB 1C 1C 的距离

∴ )cm (223

632AM A sin M A H M A sin M A H A 11111111=?

=∠=∠= 398. 平面α内有半径为R 的⊙O ，过直径AB 的端点A 作PA ⊥α，PA=a ，C 是⊙O 上一点，∠CAB=600，求三棱锥P —OBC

的侧面积。

解析：三棱锥P —OBC 的侧面由△POB 、△POC 、△PBC 三个三角形组成（求异面直线之间的距离的方法是得到一条直线

平行于另外一条直线所在的平面 然后求这条直线到这平面的距离）

在求出边长元素后，求三角形面积时，应注意分析三角形的形状，简化计算

∵ PA ⊥平面ABC

∴ PA ⊥AO ，AC 为PC 在平面ABC 上的射影

∵ BC ⊥AC

∴ BC ⊥PC

△ POB 中，

2POB a 2

1PA OB 21S =?=? △ PBC 中，BC=ABsin600=2a a 323=?

∴ AC=a

∴ PC=a 2

∴ 2POB a 26BC PC 21S =?=

? △ POC 中，PO=PC=a 2，OC=a ∴ 222POC a 4

7)OC 21(PO OC 21S =-?=? ∴ S 侧=2222a 4

7622a 47a 26a 21++=++ 399. 四棱锥V —ABCD 底面是边长为4的菱形，∠BAD=1200，VA ⊥底面ABCD ，VA=3，AC 与BD 交于O ，（1）求点V 到CD

的距离；（2）求点V 到BD 的距离；（3）作OF ⊥VC ，垂足为F ，证明OF 是BD

与

VC 的公垂线段；（4）求异面直线BD 与VC 间的距离。

解析：用三垂线定理作点到线的垂线

在平面ABCD 内作AE ⊥CD ，E 为垂足

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选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 ∴ AE 为VE 在平面ABCD 上的射影

∴ VE ⊥CD

∴ 线段VE 长为点V 到直线CD 的距离

∵ ∠BAD=1200

∴ ∠ADC=600

∴ △ACD 为正三角形

∴ E 为CD 中点，AE=3242

3=? ∴ VE=21AE V A 22=+

（2）∵ AO ⊥BD

∴ 由三垂线定理VO ⊥BD

∴ VO 长度为V 到直线BD 距离

VO=13AO V A 22=+

（3）只需证OF ⊥BD

∵ BD ⊥HC ，BD ⊥VA

∴ BD ⊥平面VAC

∴ BD ⊥OF ∴ OF 为异面直线BD 与VC 的公垂线 （4）求出OF 长度即可

在Rt △VAC 中

OC=2

1AC=2，VC=5AC V A 22=+ ∴ OF=OC ·sin ∠ACF=OC ·5

6532VC VA =?= 400. 斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，A 1到A 、B 、C 三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。

解析：∵A 1A=A 1B=A 1C

∴ 点A 1在平面ABC 上的射影为△ABC 的外心，在∠BAC 平分线AD 上

∵ AB=AC

∴ AD ⊥BC

∵ AD 为A 1A 在平面ABC 上的射影

∴ BC ⊥AA 1

∴ BC ⊥BB 1

∴ BB 1C 1C 为矩形，S=BB 1×BC=156

取AB 中点E ，连A 1E

∵ A 1A=A 1B

∴ A 1E ⊥AB

∴ 12)2AB (

AA E A 2211=-= ∴ 20S S B B A A C C A A 1111==

∴ S 侧=396

401. 如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝

90°，

BC ＝

a,AC ＝b,D 是斜边AB 上的点，以CD 为棱把它折成直二面角A —CD —B 后，D 在怎样的位置时，AB 为最小，最小值是多少?

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选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 解析： 设∠ACD ＝θ，则∠BCD ＝90°-θ，作AM ⊥CD 于M ，BN ⊥CD 于N ，于是AM ＝bsin θ,CN ＝asin θ.

∴MN ＝｜asin θ-bcos θ｜，因为A —CD —B 是直二面角，AM ⊥CD ，BN ⊥CD ，∴AM 与BN 成90°的角，于是AB ＝22222)cos sin (cos sin θθθθb a a b -++＝θ222sin ab b a -+≥ab b a -+22.

∴当θ＝45°即CD 是∠ACB 的平分线时，AB 有最小值，最小值为ab b a -+22.

402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补.

已知：从二面角α

—AB —β内一点P ，向面α和β分别引垂线PC 和PD ，它们的垂足是C 和D.求证：∠CPD 和二面角的平面角互补.

证：设过PC 和PD 的平面PCD 与棱AB 交于点E ，

∵PC ⊥α，PD ⊥β

∴PC ⊥AB ，PD ⊥AB

∴CE ⊥AB ，DE ⊥AB

又∵CE ?α，DE ?β，∴∠CED 是二面角α—AB —β的平面角.

在四边形PCED 内：∠C ＝90°，∠D ＝90°

∴∠CPD 和二面角α—AB —β的平面∠CBD 互补.

403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数. 已知：二面角α—ED —β，平面γ过ED ，A ∈γ，AB ⊥α，垂足是B.AC ⊥β，垂足是C.

求证：AB ∶AC ＝k(k 为常数)

证明：过AB 、AC 的平面与棱DE 交于点F ，连结AF 、BF 、CF.

∵AB ⊥α，AC ⊥β.∴AB ⊥DE ，AC ⊥DE.

∴DE ⊥平面ABC.∴BF ⊥DE ，AF ⊥DE ，CF ⊥DE.

∠BFA ，∠AFC 分别为二面角α—DE —γ，γ—DE —β的平面角，它们为定值.

在Rt ΔABF 中，AB ＝AF ·sin ∠AFB.

在Rt ΔAFC 中，AC ＝AF ·sin ∠AFC ，得：

AC AB ＝AFC

AF AFB AF ∠∠sin sin ＝定值.

404. 如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足l ＝β∩γ，l ∥α,m ?α和m ⊥γ.那么必有( )

A.α⊥γ且l ⊥m

B.α⊥γ且m ∥β

C.m ∥β且l ⊥m

D.α∥β且α⊥γ

解析：∵m ?α,m ⊥γ. ∴α⊥γ.

又∵m ⊥γ,β∩γ＝l. ∴m ⊥l.

∴应选A.

说明 本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力.

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选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 405. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝2π，AB ＝a,AD ＝3a,且∠ADC ＝arcsin 5

5，又PA ⊥平面ABCD

，AP ＝a.求：(1)二面角P —CD —A 的大小(用反三角函数表示)；(2)点A 到平面PBC 的距离.

解析：(1)作CD ′⊥AD 于D ′，∴ABCD ′为矩形，CD ′＝AB ＝a ，在Rt ΔCD ′D 中.

∵∠ADC ＝arcsin 55,即⊥D ′DC ＝arcsin 5

5， ∴sin ∠CDD ′＝CD D C '＝5

5 ∴CD ＝5a ∴D ′D ＝2a

∵AD ＝3a,∴AD ′＝a ＝BC

又在Rt ΔABC 中，AC ＝22BC AB +＝2a,

∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC ，PA ⊥AD ，PA ⊥AB. 在Rt ΔPAB 中，可得PB ＝2a.

在Rt ΔPAC 中，可得PC ＝22AC PA +＝3a. 在Rt ΔPAD 中，PD ＝22)3(a a +＝10a.

∵PC 2+CD 2＝(3a)2+(5a)＝8a 2＜(10a)2

∴cos ∠PCD ＜0，则∠PCD ＞90°

∴作PE ⊥CD 于E ，E 在DC 延长线上，连AE ，由三垂线定理的逆定理得AE ⊥CD ，∠AEP 为二面角P —CD —A 的平面角. 在Rt ΔAED 中∠ADE ＝arcsin 5

5，AD ＝3a. ∴AE ＝AD ·sin ∠ADE ＝3a ·

55＝553 a. 在Rt ΔPAE 中，tan ∠PEA ＝AE PA ＝a a 55

3＝35.

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选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 ∴∠AEP ＝arctan 35，即二面角P —CD —A 的大小为arctan 3

5. (2)∵AD ⊥PA ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面PAB.

∵BC ∥AD ，∴BC ⊥平面PAB.

∴平面PBC ⊥平面PAB ，作AH ⊥PB 于H ，∴AH ⊥平面PBC.

AH 为点A 到平面PBC 的距离.

在Rt ΔPAB 中，AH ＝PB AB PA ?＝a

a a 2?＝22a. 即A 到平面PBC 的距离为2

2a. 说明 (1)中辅助线AE 的具体位置可以不确定在DC 延长线上，而直接作AE ⊥CD 于E ，得PE ⊥CD ，从而∠PEA 为所求，同样可得结果，避免过多的推算.(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求.

406. 如图，在二面角α—l —β中，A 、B ∈α，C 、D ∈l ，ABCD 为矩形，P ∈β，PA ⊥α，且PA ＝AD ，M 、N 依次是AB 、PC 的中点

. (1)求二面角α—l —β的大小；

(2)求证：MN ⊥AB ；

(3)求异面直线PA 与MN 所成角的大小.

解析：(1)连PD ，∵ABCD 为矩形，∴AD ⊥DC ，即AD ⊥l.又PA ⊥l ，∴PD ⊥l.

∵P 、D ∈β，则∠PDA 为二面角α—l —β的平面角.

∵PA ⊥AD ，PA ＝AD ，∴ΔPAD 是等腰直角三角形，∴∠PDA ＝45°，即二面角α—l —β的大小为45°.

(2)过M 作ME ∥AD ，交CD 于E ，连结NE ，则ME ⊥CD ，NE ⊥CD ，因此，CD ⊥平面MNE ，∴CD ⊥MN.∵AB ∥CD ，∴MN ⊥AB

(3)过N 作NF ∥CD ，交PD 于F ，则F 为PD 的中点.连结AF ，则AF 为∠PAD 的角平线，∴∠FAD ＝45°，而AF ∥MN ，∴异面直线PA 与MN 所成的45°角.

407. 如图，在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，四边形A ′ABB ′是菱形，四边形BCC ′B ′是矩形，C ′B ′⊥AB.

(1)求证：平面CA ′B ⊥平面A ′AB ；

(2)

若C ′B ′＝2，AB ＝4，∠ABB ′＝60°，求AC ′与平面BCC ′B ′所成角的大小.(用反三角函数表示)

解析：(1)∵在三棱柱ABC —A ′B ′C 中，C ′B ′∥CB ，∴CB ⊥AB.∵CB ⊥BB ′，AB ∩BB ′＝B ，∴CB ⊥平面A ′AB.∵CB ?平面CA ′B ，∴平面CA ′B ⊥平面A ′AB

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选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (2)由四边形A ′ABB ′是菱形，∠ABB ′＝60°，连AB ′，可知ΔABB ′是正三角形.取 B B ′中点H ，连结AH ，则AH ⊥BB ′.又由C ′B ′⊥平面A ′AB ，得平面A ′ABB ′⊥平面 C ′B ′BC ，而AH 垂直于两平面交线BB ′，∴AH ⊥平面C ′B ′BC.连结C ′H ，则∠AC ′H 为 AC ′与平面BCC ′B ′所成的角，AB ′＝4，AH ＝23，于是直角三角形C ′B ′A 中，A ′C ＝5，在Rt ΔAHC ′中，sin ∠AC ′H ＝532∴∠AC ′H ＝arcsin 523,∴直线AC ′与平面BCC ′B ′所成的角是arcsin 52

3.

408. 已知四棱锥P —ABCD ，它的底面是边长为a 的菱形，且∠ABC ＝120°，PC ⊥平面ABCD ，又PC ＝a ，E 为PA 的中点

. (1)求证：平面EBD ⊥平面ABCD ；

(2)求点E 到平面PBC 的距离；

(3)求二面角A —BE —D 的大小.

(1)证明: 在四棱锥P —ABCD 中，底面是菱形，连结AC 、BD ，交于F ，则F 为AC 的中点.

又E 为AD 的中点，∴EF ∥PC

又∵PC ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD.EF ?平面EBD.

∴平面EBD ⊥平面ABCD.

(2)∵EF ∥PC ，∴EF ∥平面PBC

∴E 到平面PBC 的距离即是EF 到平面PBC 的距离

过F 作FH ⊥BC 交BC 于H ，

∵PC ⊥平面ABCD ，FH ?平面ABCD

∴PC ⊥FH.

又BC ⊥FH ，∴FH ⊥平面PBC ，则FH 是F 到平面PBC 的距离，也是E 到平面PBC 的距离.

∵∠FCH ＝30°，CF ＝2

3a. ∴FH ＝21CF ＝4

3a. (3)取BE 的中点G ，连接FG 、AG 由(1)的结论，平面BDE ⊥平面ABCD ，AF ⊥BD ，

∴AF ⊥平面BDC.

∵BF ＝EF ＝2a ，∴FG ⊥BE ，由三垂线定理得，AG ⊥BE ， ∴∠FGA 为二面角D —BE —A 的平面角.

FG ＝2a ×22＝42a,AF ＝2

3a.

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选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 ∴tg ∠FGA ＝FG

＝6,∠FAG ＝arctg 6 即二面角A —BE —D 的大小为arctg 6

409. 若ΔABC 所在的平面和ΔA 1B 1C 1所在平面相交，并且直线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，求证：

(1)AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别在同一平面内；

(2)如果

AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).

(1)证明：∵AA 1∩BB 1＝O,

∴AA 1、BB 1确定平面BAO ，

∵A 、A 1、B 、B 1都在平面ABO 内，

∴AB ?平面ABO ；A 1B 1?平面ABO.

同理可证，BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别在同一平面内.

(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.

证明：如图，设AB ∩A 1B 1＝P ；

AC ∩A 1C 1＝R ；

∴ 面ABC ∩面A 1B 1C 1＝PR.

∵ BC ?面ABC ；B 1C 1?面A 1B 1C 1，

且 BC ∩B 1C 1＝Q ∴ Q ∈PR,

即 P 、R 、Q 在同一直线上.

410. 点P 、Q 、R

分别在三棱锥A-BCD 的三条侧棱上，且PQ ∩BC ＝X,QR ∩CD ＝Z,PR ∩BD ＝Y.求证：X 、Y 、Z 三点共线.

解析： 证明点共线的基本方法是利用公理2，证明这些点是两个平面的公共点.

证明 ∵P 、Q 、R 三点不共线，∴P 、Q 、R 三点可以确定一个平面α.

∵ X ∈PQ ，PQ ?α，∴X ∈α，又X ∈BC ，BC ?面BCD ，∴X ∈平面BCD.

∴ 点X 是平面α和平面BCD 的公共点.同理可证，点Y 、Z 都是这两个平面的公共点，即点X 、Y 、Z 都在平面α和平面BCD 的交线上.

411. 直线m 、n 分别和平行直线a 、b 、c 都相交，交点为A 、B 、C 、D 、E 、F ，如图，求证：直线a 、b 、c 、m 、n 共面.

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解析： 证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.

证明 ∵a ∥b,∴过a 、b 可以确定一个平面α.

∵A ∈a,a ?α，∴A ∈α,同理B ∈a.

又∵A ∈m ，B ∈m,∴m ?α.同理可证n ?α.

∵b ∥c,∴过b,c 可以确定平面β，同理可证m ?β.

∵平面α、β都经过相交直线b 、m,

∴平面α和平面β重合，即直线a 、b 、c 、m 、n 共面.

412. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.

已知：如图，直线l 1，l

2，l 3，l 4两两相交，且不共点.

求证：直线l 1，l 2，l 3，l 4在同一平面内

解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内. 证明：图①中，l 1∩l 2＝P ，

∴ l 1,l 2确定平面α.

又 l 1∩l 3＝A,l 2∩l 3＝C, ∴ C,A ∈α.

故 l 3?α.

同理 l 4?α.

∴ l 1,l 2,l 3,l 4共面.

图②中，l 1,l 2,l

3,l 4的位置关系，同理可证l 1,l 2,l 3,l 4共面.

所以结论成立.

413. 证明推论3成立.（如图）

已知：a ∥b ，求证：经过a,b 的平面有且只有一个.

证明：(存在性)∵a ∥b ，由平行线的定义知：a 、b 共面，所以经过a 、b 的平面有一个.

(唯一性)，在a 上取两点A 、B ，在b 上取一点C.

∵a ∥b,∴A 、B 、C 三点不共线，由公理3知过A 、B 、C 三点的平面只有一个，从而过a,b 两直线的平面也是惟一的.

414.一条直线过平面内一点与平面外一点，它和这个平面有几个公共点?为什么?

解析：只有一个，假设有两个公共点，由公理1知该直线上所有点都在这个平面内，这和直线过平面外一点矛盾.

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415.过已知直线外一点与这条直线上的三点分别画三条直线，证明：这三条直线在同一平面内. 解答：已知：A a ，如图，B 、C 、D ∈a ，证明：AB 、AC 、AD 共面.

证明：∵A a ，∴A ，a 确定平面α，∵B 、C 、D ∈a ，a ?α.

∴B 、C 、D ∈α

又A ∈α.

∴AB 、AC 、AD ?α.

即AB 、AC 、AD 共面.

416. 空间可以确定一个平面的条件是( )

A.两条直线

B.一点和一直线

C.一个三角形

D.三个点

解析： 由推论2和推论3知两条相交直线或者两条平行直线才确定一个平面，两条直线还有位置关系异面.故排除A ，由推论1知点必在线外才合适，排除B.由公理3知不共线三点可确定一个平面，D 中三个点不一定不共线，排除D.公理3结合公理1，知选C.

417. 下列命题正确的是( )

A.经过两条直线有且只有一个平面

B.经过一条直线和一个点有且只有一个平面

C.如果平面α与β有三个公共点，则两个平面一定是重合平面

D.两个平面α、β有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线

解析：根据公理2、公理3知选D.

418. 已知四点，无三点共线，则可以确定( )

A.1个平面

B.4个平面

C.1个或4个平面

D.无法确定

解析： 因为无三点共线，所以任意三个点都可以确定平面α，若第四个点也在α内，四个点确定一个平面，当第四个点在α外，由公理3知可确定4个平面.故选C.

419.

已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( )

A.4

B.3

C.2

D.5

解析： 如图，设球的半径是r ，则πBD 2＝5π，πAC 2＝8π，

∴BD 2＝5，AC 2＝8.又AB ＝1，设OA ＝x.

∴x 2+8＝r 2,(x+1)2+5＝r 2.

解之，得r ＝3

故选B.

420. 在桌面上有三个球两两相切，且半径都为1，在桌面与三球间放置一个小球，使它与三个球相切.求此小球半径. 解析： 如图，球O 为放置在桌面上与已知三球相切的半径为r 的小球，过O 作O 1O 2O 3平面的垂线，垂足为H ，它一定

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选校网 d650bb1a10a6f524ccbf85b8 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 是ΔO 1O 2O 3的中心，连接O 1H ，O 1O ，在Rt ΔO 1OH 中，O 1H ＝3

32，OH ＝1-r,OO 1＝1+r,∴OO 12＝O 1H 2+OH 2

，即(1+r)2＝(3

32)2+(1-r)2，解得r ＝31

.

421. 地球半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度差为2

π，求球面上A 、B 两点间球面距离.

解析：本题关键是求出∠AOB 的大小，(如图1)现在我们将这个球的截面问题转化为较为熟悉的长方体问题.如图2，以O 1O ，O 1A ，O 1B 为三条相互垂直的棱，可构造一个长方体，问题转化为长方体截面ABO 内求∠BOA 的问题.

解： 如图2，∵∠O 1OA ＝4π＝∠O 1OB ，OA ＝OB ＝R ，∴OO 1＝O 1A ＝O 1B ＝2

2R ∴AB 2＝O 1A 2+O 1B 2＝R ， ∴ΔAOB 为等边Δ， ∴∠AOB ＝3π，A 、B 间的球面距离为3

πR. 422. 一个圆在平面上的射影图形是( )

A.圆

B.椭圆

C.线段

D.圆或椭圆或线段

解析：D

423. 两面都是凸形的镜中，它的面都是球冠形，球半径分别为10cm 和17cm ，两球心间的距离为21cm ，求此镜面的表面积和体积.

解析：轴截面如图，设O 2C ＝x ，则CO 1＝21-x,∵AB ⊥O 1O 2 ∴AO 22-O 2C 2＝AO 12-CO 12，即102-x 2＝172-(21-x)2，解得x ＝6,CO 1＝15,又设左边球缺的高为h 1,右边的球缺高为h 2，则h 1＝17-15＝2,h 2＝10-6＝4,∴S 表＝2π(17·2+10·4)＝148π(cm)2,V ＝3

1π［22(3·10-2)+42(3·17-4)］＝288π(cm 3).

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