第十章 圆锥曲线与方程

第十章 圆锥曲线与方程

考点41 椭 圆

经典示例

x2y2

（2012，5年经典考点41，经典示例，例1）例1 (2010镇江期末)P为椭圆＋＝1

2516上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，则△PF1F2周长为________．

答案 16

解析 根据椭圆第一定义，PF1＋PF2＝2a＝10，F1F2＝2c＝6. 所以△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2(a＋c)＝16.

点击 本题考查对椭圆定义的运用．对于由椭圆两个焦点和椭圆上一点所形成的三角形，其周长为定义2a＋2c，其面积为S＝c| yp|≤bc.

（2012，5年经典考点41，经典示例，例2）例2 (2009江苏高考)如图，在平面直角坐x2y2

标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的四个顶点，F为其右焦点，直线

abA1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．

答案 27－5

?

解析 由题得?xy

＋＝1，?c－b

所以M?

xy

＋＝1，－ab

2ac?a＋c?b

解得交点T，.

a－ca－c

?ac，?a＋c?b?，又M在椭圆上，所以

??a－c2?a－c??

＋＝1，化简得c2＋10ac－3a2＝0.

有

?a＋c?b?2

?ac?2????a－c??2?a－c??a

2b

2即e2＋10e－3＝0，解得e＝27－5.

点击 本题考查两直线的交点求解以及点和椭圆的位置关系和离心率的求解．本题在求解时要注意先通过直线方程求出交点T后，再利用中点得出点M代入椭圆方程得到关于离心率的方程．如果先设直线方程再与椭圆联立，这样计算难度要大一点，合理的运算途径是解析几何的关键．

（2012，5年经典考点41，经典示例，例3）例3 (2012南京二模)如图，在平面直角坐x2y23标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆C的短半轴

ab2长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切.

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同的两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．

解析 (1) 由题知b＝

2

＝2. 2

c?211－??a?＝2. c3b

因为离心率e＝＝，所以＝a2a所以a＝22.

x2y2

所以椭圆C的方程为＋＝1.

82

(2) 由题可设点M，N的坐标分别为M(x0，y0)，N(－x0，y0)，则 y0－1

直线PM的方程为y＝x＋1，①

x0y0－2

直线QN的方程为y＝x＋2.②

－x0

3y0－4x0证法1 联立①②解得x＝，y＝，

2y0－32y0－3即T?

?x0，3y0－4?. ??2y0－32y0－3?

2x0y202由＋＝1可得x20＝8－4y0. 82

22

1?x0?21?3y0－4?2x0＋4?3y0－4?因为2y－3＋?＝ 8?0?2?2y0－3?8?2y0－3?2?28－4y0＋4?3y0－4?232y20－96y0＋72＝＝ 28?2y0－3?8?2y0－3?28?2y0－3?2

＝＝1， 8?2y0－3?2所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上． 证法2 设T(x，y)．

3y－4x

联立①②解得x0＝，y0＝.

2y－32y－3

2

x2y01x1?3y－4?20因为＋＝1，所以?2y－3?2＋?＝1.

828??2?2y－3??

2x2?3y－4?x29y2x2y222

整理得＋＝(2y－3)，所以＋－12y＋8＝4y－12y＋9，即＋＝1.

828282

所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．

点击 本题第(1)小问为求椭圆标准方程，第(2)小问为判断两个直线的交点在椭圆上． 由于椭圆标准方程中有两个未知数，故只需要建立两个相互独立的方程，再结合a2＝b2

＋c2，即可解出．判断点是否在椭圆上，只需要将点坐标代入方程并化简即可判断，第(2)小问的难度主要是在式子的化简上．

（2012，5年经典考点41，经典示例，例4）例4 (2011常州期末)在平面直角坐标系x2y2

xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(4m,0)(m>0，m为常数)，离心率等于0.8，

ab过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M，N两点．

(1) 求椭圆C的标准方程；

1152

(2) 若θ＝90°时，＋＝，求实数m的值；

MFNF9

11

(3) 试判断＋的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．

MFNFc4

解析 (1) 因为c＝4m，椭圆离心率e＝＝，

a5所以a＝5m，所以b＝3m.

x2y2

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

25m29m2x2y29m

(2) 在椭圆方程2＋2＝1中，令x＝4m，解得y＝±. 25m9m59m因为当θ＝90°时，即直线MN⊥x轴，此时MF＝NF＝.

51110所以＋＝.

MFNF9m

11521052因为＋＝，所以＝，解得m＝2.

MFNF99m9(3)

11

＋的值与θ的大小无关． MFNF

证明如下：

证法1 设点M，N到右准线的距离分别为d1，d2.

MF4NF411511因为＝，＝，所以＋＝＋.

d15d25MFNF4d1d2a29m又由图可知，MFcosθ＋d1＝－c＝，

c449m144

cosθ＋1?＝，即＝?cosθ＋1?. 所以d1??5?4?d19m?514444

同理，＝cos(π－θ)＋1＝－cosθ＋1.

d29m59m5114444

cosθ＋1?＋－cosθ＋1 所以＋＝??9m5d1d29m?5＝8

. 9m

115810所以＋＝·＝. MFNF49m9m显然该值与θ的大小无关．

11

证法2 当直线MN的斜率不存在时，由(2)知，＋的值与θ的大小无关；

MFNF当直线MN的斜率存在时，

x2y2

设直线MN的方程为y＝k(x－4m)，代入椭圆方程＋＝1，得

25m29m2(25k2＋9)x2－200mk2x＋25m2(16k2－9)＝0.

设点M(x1，y1)，N(x2，y2)． 因为Δ＞0恒成立，

25m2?16k2－9?200mk2

所以x1＋x2＝2，x1·x2＝. 25k＋925k2＋9MF4NF4

因为＝，＝，

25m525m5

－x1－x24444所以MF＝5m－x1，NF＝5m－x2.

551111

所以＋＝＋ MFNF44

5m－x15m－x2

55

4

10m－?x1＋x2?

5

＝

162

xx－4m?x1＋x2?＋25m2512

90k2＋9010＝＝. 281mk＋81m9m

显然该值与θ的大小无关．

点击 本题第(1)小问求椭圆标准方程，第(2)小问为过交点的特殊直线与椭圆相交所得弦长的问题，第(3)小问为第(2)小问的推广．在计算椭圆上任意一点到焦点的距离时，应该用相应准线距离进行转化．第(3)小问中论证

11

＋的值与θ的大小无关，即求该式的值为常MFNF

数．可以θ构造三角形来计算如证法1，也可以转化为坐标如证法2.

考点集训 A 组

（2012，5年经典考点41，A组第1题）1. (2008南通三调)若椭圆x2＋my2＝1(0＜m＜1)的离心率为

3，则它的长轴长为________． 2

2

2

2

y21c3

1. 4 由x＋my＝1得x＋＝1，又0＜m＜1，可知a2＝，b2＝1，又e＝＝，所1ma2mc23b21

以2＝，即2＝(因为a2＝b2＋c2)，得a2＝4，解得a＝2，所以长轴长为2a＝4. a4a4

点睛 先定位，再定量；注意求长轴．若去掉条件0＜m＜1，则需考虑两种情形. x2y2

（2012，5年经典考点41，A组第2题）2. (2012镇江期末)已知P是椭圆 ＋＝1上

124→→

的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1·PF2的取值范围为________．

?x0＝23cosθ，

2. [－4,4] 解法1 (利用三角代换)设椭圆上任意一点为P(x0，y0)，所以?)

?y0＝2sinθ

→

(其中θ为参数)，椭圆的左、右焦点分别为F1(－22，0)，F2(22，0)，所以PF1＝(－22－→→→2222

x0，－y0)，PF2＝(22－x0，－y0)．所以PF1·PF2＝x20＋y0－8＝12cosθ＋4sinθ－8＝8cosθ－4∈[－4,4]．

解法2 (转换成二次函数)设椭圆上任意一点为P(x0，y0)，椭圆的左、右焦点分别为F1(－→→→→

22，0)，F2(22，0)，所以PF1＝(－22－x0，－y0)，PF2＝(22－x0，－y0)．所以PF1·PF2＝

2x20＋y0－8，该式表示椭圆上任意一点到原点的距离的平方与8的差．因为椭圆上任意一点到2椭圆的距离最小值为短半轴b＝2，距离最大值为长半轴a＝23.所以x20＋y0∈[4,12]，所以

→→2PF1·PF2＝x0＋y20－8∈[－4,4]．

x2y2

（2012，5年经典考点41，A组第3题）3. (2012南京、盐城一模)设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)

ab恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值是________．

14a2a2

3. 5＋2 由题知2＋2＝1，准线方程为x＝，所以椭圆的中心到准线的距离为d＝，abcc

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