高考导数解答题中常见的放缩大法

(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法

相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论

⑴sinx?x,x?(0,?)，变形即为原点连线斜率小于1.

⑵ex?x?1⑶x?ln(x?1)⑷lnx?x?ex,x?0. 将这些不等式简单变形如下：

sinx?1，其几何意义为y?sinx,x?(0,?)上的的点与x1?11?lnx?x?1,ex?x?1,ex?ex,lnx??那么很多问题将迎刃而解。 xex例析：（2018年广州一模）设f(x)?ax?lnx?1,若对任意的x?0,f(x)?x?e2x恒成立，求a的取值范围。

放缩法：由e?x?1可得：

xlnx?1xex?(lnx?1)e2x?lnx?(lnx?1)2x?lnx?1?(lnx?1)e?????2

xxxx2x

高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。 第一组：对数放缩

（放缩成一次函数）lnx?x?1，lnx?x，ln?1?x??x （放缩成双撇函数）lnx?1?1?1?1?x?x?1lnx?x?，???????0?x?1?， 2?x?2?x?lnx?x?

11?x?1?，lnx?x??0?x?1?， xx（放缩成二次函数）lnx?x2?x，ln?1?x??x?12x??1?x?0?，21ln?1?x??x?x2?x?0?

2（放缩成类反比例函数）lnx?1?2?x?1?2?x?1?1，lnx? ?x?1?，lnx??0?x?1?，

x?1x?1xln?1?x??

x2x2x，ln?1?x???x?0?，ln?1?x???x?0?1?x1?x1?x

第二组：指数放缩

（放缩成一次函数）ex?x?1，ex?x，ex?ex，

11x，x?0e?????x?0?，

1?xx111（放缩成二次函数）ex?1?x?x2?x?0?，ex?1?x?x2?x3，

226（放缩成类反比例函数）ex?第三组：指对放缩

ex?lnx??x?1???x?1??2

第四组：三角函数放缩

111sinx?x?tanx?x?0?，sinx?x?x2，1?x2?cosx?1?sin2x.

222第五组：以直线y?x?1为切线的函数

1y?lnx，y?ex?1?1，y?x2?x，y?1?，y?xlnx.

x拓展阅读：为何高考中总是考e和lnx这些超越函数呢？因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。作为学生没有多大必要去去了解大学的知识，但是作为老师却是有很大的必要去理解感悟高考题命题的背景。超越函数本质上就是高等数学中的泰勒公式。即从某个点x0处，我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，如果这个点是0，就是形式比较简单的麦克劳林级数。简而言之，它的功能就是把超越式近似表示为幂函数。常见的幂级数展示式有：

x

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