12-1高等数学同济大学第六版本

习题12?1 1? 试说出下列各微分方程的阶数? (1)x(y?)2?2yy??x?0? 解 一阶? (2)x2y??xy??y?0? 解 一阶? (3)xy????2y??x2y?0? 解 三阶? (4)(7x?6y)dx?(x?y)dy?0? 解 一阶? d2QdQQ??0? (5)L2?RdtCdt 解 二阶? d????sin2?? d? 解 一阶? (6) 2? 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解? (1)xy??2y? y?5x2? 解 y??10x? 因为xy??10x2?2(5x2)?2y? 所以y?5x2是所给微分方程的解? (2)y??y?0? y?3sin x?4cos x? 解 y??3cos x?4sin x? 因为y??y?3cos x?4sin x?3sin x?4cos x?7sin x?cos x?0? 所以y?3sin x?4cos x不是所给微分方程的解? (3)y???2y??y?0? y?x2ex? 解 y??2xex?x2ex? y???2ex?2xex?2xex?x2ex?2ex?4xex?x2ex ? 因为y???2y??y?2ex?4xex?x2ex?2(2xex?x2ex)?x2ex?2ex?0? 所以y?x2ex不是所给微分方程的解? (4)y???(?1??2)y???1?2y?0? y?C1e?1x?C2e?2x? 解 y??C1?1e?1x?C2?2e?2x? y???C1?12e?1x?C2?22e?2x?

因为y???(?1??2)y???1?2y

?C1?12e?1x?C2?22e?2x?(?1??2)(C1?1e?1x?C2?2e?2x)??1?2(C1e?1x?C2e?2x) ?0?

所以y?C1e?1x?C2e?2x是所给微分方程的解?

3? 在下列各题中? 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解? (1)(x?2y)y??2x?y? x2?xy?y2?C? 解 将x2?xy?y2?C的两边对x求导得 2x?y?xy??2y y??0? 即 (x?2y)y??2x?y? 所以由x2?xy?y2?C所确定的函数是所给微分方程的解? (2)(xy?x)y???xy?2?yy??2y??0? y?ln(xy)? 解 将y?ln(xy)的两边对x求导得 y y??1?1y?? 即y??? xyxy?x再次求导得 y?(xy?x)?y(y?xy??1)?xy??y2?y1?(?xy?2?yy??y?)? y?????xy?xy(xy?x)2(xy?x)2注意到由y??1?1y?可得xy??xy??1? 所以 xyy y???1?[?(xy??1)y??yy??y?]?1?(?xy?2?yy??2y?)? xy?xxy?x从而 (xy?x)y???xy?2?yy??2y??0? 即由y?ln(xy)所确定的函数是所给微分方程的解? 4? 在下列各题中? 确定函数关系式中所含的参数? 使函数满足所给的初始条件? (1)x2?y2?C? y|x?0?5? 解 由y|x?0?0得02?52?C? C??25? 故x2?y2??25? (2)y?(C1?C2x)e2x? y|x?0?0? y?|x?0?1?

解 y??C2e2x?2(C1?C2x)e2x ? 由y|x?0?0? y?|x?0?1得

?C?0 ?1?

C?C?1?21解之得C1?0? C2?1? 故y?xe2x ? (3)y?C1sin(x?C2)? y|x???1? y?|x???0? 解 y??C1cos(x?C2)? 由y|x???1? y?|x???0得

?(?C2)?1?Csin?CsinC2?1 ?1? 即?1?

Ccos?(?C)?0?CcosC?022?1?1解之得C1?1? C2??? 故y?sin(x??)? 即y??cos x ? 22 5? 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程? (1)曲线在点(x? y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方? 解 设曲线为y?y(x)? 则曲线上点(x? y)处的切线斜率为y?? 由条件y??x2? 这便是所求微分方程? (2)曲线上点P(x? y)处的法线与x轴的交点为Q? 且线段PQ被y轴平分? 1 解 设曲线为y?y(x)? 则曲线上点P(x? y)处的法线斜率为?? 由条件第PQy?中点的横坐标为0? 所以Q点的坐标为(?x? 0)? 从而有 y?0??1? 即yy??2x?0? x?xy? 6? 用微分方程表示一物理命题? 某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比? 所温度的平方成反比? 解 dP?kP? 其中k为比例系数? dTT2

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