1-2次作业答案

华东理工大学

复变函数与积分变换作业（第1册）

班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________

第一次作业

教学内容：1.1复数及其运算 1.2平面点集的一般概念

1．填空题：

（1）

35,?,2235?i,22345,2k??arctan 23(2)1,?3,1?3i,10,2k??arctan3

（3）?1(1?3i) 2(4) x??1,y?13。

2．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。

(1)1?i3;

13??)?2(cos?isin)?2e3 解：1?i3?2(?i2233i?(2)1?cos??isin?(0????) 解：1?cos??isin??2sin[cos(?)?isin(?)]?2sin222222??????i(?)e22??

1

(cos5??isin5?)2(3). (cos3??isin3?)3(cos5??isin5?)2ei10?i5?2?i3?3i19??(e)/(e)??e解： 3?i9?(cos3??isin3?)ecos19??isin19?

3．求复数

z?1的实部与虚部 z?1解：w?z?1(z?1)(z?1)(z?1)(z?1)?? 2z?1(z?1)(z?1)|z?1|?(zz?z?z?1)zz?12Imz ??i|z?1|2|z?1|2|z?1|2zz?12Imz， Imw?22|z?1||z?1|所以，Rew?4. 求方程z?8?0的所有的根. 解：z?(?8)?2e13i(1?2k)33?,k?0,1,2.

即原方程有如下三个解：

1?i3,?2,1?i3

5. 若 z1?z2?z3且z1?z2?z3?0，证明：以z1,z2,z3为顶点的三角形是正三角形. 证明：记|z1|?a，则

z1?|z2?z3|2?2(|z2|2?|z3|2?z2?z3结论，所以5,6题应该顺序颠倒比较合理）

得|z222（平行四边形法则，既6题

?z3|2?3a2?(|z1|?|z2|)2，同样，

2|z2?z1|2?z1?z2?3a2

所以|z1?z2|?|z3?z2|?z1?z2.

6. 设z1,z2是两个复数，试证明.

2

z1?z2 +z1?z2并说明此等式的几何意义.

证明： 左式=(z122?2(z1?z2).

22?z2)(z1?z2)+(z1?z2)(z1?z2)

)

=(z1 =z1?z2)(z1?z2)+(z1?z2)(z1?z2?z1?z2?z2?z1?z2?z1?z2?z1?z1?z2?z2?z1?z2?z1?z2 =2(z1?z2?z2?z2)=2(z221?z2)

7．求下列各式的值: (1)(3?i)5;

5解：(3?i)5=??2(3?i)??i??i5???(2e6)5?32e6

?22? =32??cos(?5?6)?isin(?5???6)????163?16i 1(2)(1?i)3； 111i(??解: (1?i)3?4?2k?)??2(13?2?i3?i?42)????(2e)?62e3,k?0,1,2.

1可知(1?i)3的3个值分别是

?i?62e2?62(cos?12?isin?12)；

i7?62e2?62(cos7?12?isin7?12) 5i?62e4?62(cos5?4?isin5?4) （3）求6?1 1解：6?1=(ei??2k?)6?ei?(1?2k)/6,k?0,1,2,3,4,5.可知6?1的6个值分别是

3

ei?6i7?63i??,e2i??1,223i???,e22i3?2eii5?6??i11?43i? 223i? 22100e(4)

??i,e????????????cos+isin+2cos-isin?1+i?+?1-i?=?2????????4444???????? =250?cos25?+isin25??+250?cos25?-isin25??100100100

=-251(1?i)n8．化简 n?2(1?i)?1?i?解：原式?(1?i)????2ie?1?i?2nn?i2??2in?1

第二次作业

教学内容：1.2 平面点集的一般概念 1.3复变函数

1. 填空题

(1)连接点1?i与?1?4i的直线断的参数方程为z?1?i?(?2?5i)t0?t?1

(2)以原点为中心，焦点在实轴上，长轴为a，短轴为b的椭圆的参数方程为

z?acost?ibsint0?t?2?

2．指出下列各题中点z的轨迹，并作图. (1)z?2i?1;

中心在?2i半径为1的圆周及其外部。 (2）Re(z?2)??1. 直线x??3 (3)z?3?z?1?4

以-3与-1为焦点，长轴为4的椭圆 (4)arg(z?i)??4

（y-1）/x=arctan

?=1，所以是以i为起点的射线y?x?1 44

(5)

z?3?1 z?2直线x?5及其右半平面 23．指出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指出是有界区域还是无界区域，多连通还是单连通的。 (1)

z?a?1;

1?az解：z?a?1?az

(z?a)(z?a)?(1?az)(1?az) (z?1)(1?a)?0

22a?1时，表示单位圆的内部，有界单连通域。

a?1时，表示单位圆的外部，无界单连通域，a?1不表示任何区域。

(2)zz?(2?i)z?(2?i)z?4

圆(x?2)?(y?1)?9及其内部区域，有界，单连通区域。 (3)z?1?4z?1 中心在z??(4)

22178，半径为的圆外部区域，无界，多连通 1515?6?arg(z?2i)??2且z?2.

解：（解一）z?2i?x?(y?2)i?tan??y?2y?2 ?arg(z?2i)?arctanxx且有z?x2?y2?2?x2?y2?4。故图形为以?2i为顶点，两边分别与正实轴成角

度

（解二）由于

??与的角形域内部，且以原点为圆心，半径为2的圆外部分，无界单连通区域。 62?6?arg(z?2i)??2知复数x?(y?2)i在第一象限，因此x?0且

3y?2y?2????。 当???，有y?2?0,x?0 3xx

5

当3y?23，有y?x??2。故区域为以原点为圆心，半径为2的

3x33?2之间。 3圆外部分且夹在直线y?2?0和y?x4．设 t 是实参数，指出下列曲线表示什么图形 (1)z?t?;

itt?i?x?1z?x?iy?t???,即为双曲线xy?1;

y?t?t?(2)z?ae?beit?it。

x2y2??1，为椭圆。

(a?b)2(a?b)25．已知函 数w?221 ，求以下曲线的像曲线. z (1)x?y?4; 解：w?11xyx?y??2?i,u?,v?, 2222222zx?iyx?yx?yx?yx?y2x2?y211u?v?2??，是w平面上一圆周。 22224(x?y)x?y2(2)x?1； 解：由x?1,知u?1?y122u?v??u ,v?,从而2221?y1?y1?y2此为(u?)?v?()，是平面上一圆周。 （3）y?x；

122122w?11?i11，则，u??,v??，像曲线为u??v。

x(1?i)2x2x2x 6

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