数字信号处理期末复习资料终极版

3?【1】 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。（1）x(n)?Acos(?n?)，A

78是常数；

32?14?，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； 解：w??,7w3【2】.设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。（1）y(n)?x(n)?2x(n?1)?3x(n?2)； 解 令：输入为x(n?n0)，输出为故该系统是时不变系统。

y'(n)?x(n?n0)?2x(n?n0?1)?3x(n?n0?2)y(n?n0)?x(n?n0)?2x(n?n0?1)?3x(n?n0?2)?y'(n)

y(n)?T[ax1(n)?bx2(n)] ?ax1(n)?bx2(n)?2(ax1(n?1)?bx2(n?1))?3(ax1(n?2)?bx2(n?2))T[bx2(n)]?bx2(n)?2bx2(n?1)?3bx2(n?2)

T[a1x(n)?b(n)?]2xa1T[x(?n)]2 bT[故该系统是线性系统。x(n)] （2）y(n)=x(n)sin(ωn) 解：令输入为x(n－n0) 输出为 y′(n)=x(n－n0) sin(ωn)

y(n－n0)=x(n－n0) sin［ω(n－n0)］≠y′(n) 故系统不是非时变系统。 由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n) sin(ωn)+bx2(n) sin(ωn)

=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故系统是线性系统。

【3】.给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。  y(n)=x(n)+x(n+1)

解： 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, 因此系统是稳定系统

【4】.用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨率F≤50 Hz， 信号最高频率为 1 kHz， 试确定以下各参数：(1) 最小记录时间Tp min；(2) 最大取样间隔Tmax； (3) 最少采样点数Nmin； (4) 在频带宽度不变的情况下，使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N值。 解：（1）已知F=50 Hz，因而Tpmin?11??0.02s F50 （2）Tmax?1fsminTp min0.02s11??40 ???0.5ms （3）Nmin?32fmax2?10Tmax0.5ms0.04s?80 0.5ms （4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大1倍，即为0.04 s， 实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）。Nmin?

【5】设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示， 要求画出y(n)输出的波形。

x(n)???(n?2)??(n?1)?2?(n?3)按照图写出x(n)和h(n)的表达式:h(n)?2?(n)??(n?1)?1 2?(n?2)x(n)*y(n)?x(n)*?[2n?(?)?n(1?21?)n?(因为 ?(n?)x(n)x(n)*A?(?nk?)Ax(?n k ) 所以

? xn2?(x)n?(?121)xn?(2)将x(n)的表达式代入上式，得到y(n)??2?(n?2)??(n?1)?0.5?(n)?2?(n?1)??(n?2) ?4.5?(n?3)?2?(n?4)??(n?5)

【6】两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为 x(n)=0 n<0, 8≤n y(n)=0 n<0, 20≤n

对每个序列作20点DFT， 即 X(k)=DFT［x(n)］ k=0, 1, …, 19 Y(k)=DFT［y(n)］ k=0, 1, …, 19 试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等, 为什么？

解: 如前所述， 记fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFT［F(k)］=x(n) 20 y(n)。 fl(n)长度为27，长度为20。 由教材中式（3.4.3）知道f(n)与fl(n)的关系为

?f(n)?fl(n?20m)R20(n)m???? 只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上， 才满足f(n)=fl(n),

所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7≤n≤19

)] f(n)2

【7】设系统由下面差分方程描述： y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1) （1） 求系统的系统函数H(z)， 并画出极零点分布图；

（2） 限定系统是因果的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n)； （3） 限定系统是稳定性的， 写出H(z)的收敛域， 并求出其单位脉冲响应h(n)。  解：（1）y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1)进行Z变换，得到 Y(z)=Y(z)z－1+Y(z)z－2+X(z)z－1

因此

)?z?1H(zz1?z?1?z?2?z2?z?1，零点为z=0 1?5 令z2－z－1=0， 求出极点： z1?2，

z2?1?52

(2) 由于限定系统是因果的，收敛域需选包含∞点在内的收敛域，即

z?(1?5)/2。

h(n)?Z?1T[H(z)]?12πj?cH(z)zn?1dzH(z)?zz2?z?1?z?z?z 由

，得

1??z?z2?

F(z)?H(z)zn?1?zn1?5z1?5 令

?z?z21??z?z2?z，得1?2?，2 n≥0时，h(n)=Res［F(z), z1］+Res［F(z), z2］

?znzn?z?z?z?z1?z?z1??z?z2?1??z?z?z?z?z2?z?z1??z2?2nn?z?1z21??1?5nn

?zz???????1?5????1?2??z2?z1?5????2?????2????

h(n)?1????1?5?n????1?5?n???u(n) 因为h(n)是因果序列，n<0时，h(n)=0，故5????2????2????

（3）由于限定系统是稳定的，收敛域需选包含单位圆在内的收敛域，即|z2|<|z|<|z1|。

nF(z)?H(z)zn?1?z

?z?z1??z?z2?

h(n)?Res[F(z),z2]??1(1?5n ① n≥0时，c内只有极点z2，只需求z2点的留数，

52)。 ②n<0时，c内只有两个极点：z2和z=0，因为z=0是一个n阶极点，改成求圆外极点

nh(n)??Res[F(z),z1?1]???1?5?? 留数，圆外极点只有一个，即z1, 那么

5??2??。 y(n)??1?1?5?n?1?15?n 最后得：

5????2?u(n)??5??u(?n?1)???2?。

【8】频域循环移位定理证明 ：DFT的频域循环卷积定理重写如下: 

设h(n)和x(n)的长度分别为N和M

ym(n)?h(n)x(n)

H(k)?DFT[h(n)]L L，X(k)?DFT[x(n)]11L?1 则Ym(k)?DFT[ym(n)]L?H(k)?X(k)??H(j)X((j?k))LRL(k)，

LLj?0 其中 L≥max［N，M］

根据DFT的惟一性，只要证明ym(n)?IDFT[Ym(k)，就证明了DFT的频域循环卷积定理。 ]?h(n)x(n)?1L?1?ym(n)?IDFT[Ym(k)]?IDFT??H(j)X((j?k))LRL(k)????Lj?0???kn1N?1?1L?1 ????H(j)X((k?j))L?WNLk?0???Lj?0?N?11L?1?jn1?(k?j)n ??H(j)WNX((k?j))LWN ?Lj?0Lk?0 令m?k?j?1N?1?j1N?1?mn?mnh(n)?X((m))LWN?h(n)?X((m))LWNLm??jLm?01N?1?mn ?h(n)?X(m)LWN?h(n)x(n)Lm?0

【9】已知模拟滤波器的系统函数：Ha(s)?其转换为数字滤波器。设T=2 s。 解：①用脉冲响应不变法： Ha(s)?

1，试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将

2s2?3s?111?1??

2s2?3s?1s?1s?12T?2? H(z)?11?e1?T2?z?1?11?e?Tz?11?1?

1?e?1z?11?e?2z?1?1?1?z?1?1?z?12??1?z?1???31?z?1?1???12?2?122H(z)?Ha(s) ②用双线性变换法：

s?1?z?11?z?1

?

21?z?1??1?z???3?1?z???1?z?21?2z?1?z?2?6?2z?1

【10】已知f(n)=x(n)+jy(n)， x(n)与y(n)均为长度为N的实序列。设F(k)=DFT［f(n)]n,0≤k≤N－1

1?bN1?aNF(k)??jkk1?aW1?bWNN(1)

a,b为实数

(2) F(k)=1+jN

试求X(k)=DFT［x(n)］N， Y(k)=DFT［y(n)］N以及x(n)和y(n)。 解: 由DFT的共轭对称性可知 x(n) X(k)=Fep(k) jy(n) jY(k)=Fop(k)

1?aN1?bNA(k)?, B(k)?jk?k1?aW1?bWNN 令

只要证明A(k)为共轭对称的，B(k)为共轭反对称， 则就会有

A(k)=Fep(k)=X(k), B(k)=Fop(k)=jY(k)

?1?aNA(N?k)???1?aW(N?k)N?因为

*?1?aN???1?aWk?A(k)N?，共轭对称

NN??1?a1?bB*(N?k)???j1?bW(N?k)????j1?bWk??B(k)NN??共轭反对称

1?aNX(k)?Fep(k)?A(k)?1?aWNk所以

111?bNY(k)?Fop(k)?B(k)?kjj1?bWN

H(z)?【11】已知FIR滤波器的系统函数为

1(1?0.9z?1?2.1z?2?0.9z?3?z?4)10试画出该滤

波器的直接型结构和线性相位结构。 

解： 画出滤波器的直接型结构、 线性相位结构分别如题9解图(a)、 (b)所示。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6af.html